第第3講運(yùn)動(dòng)圖象追及相遇問題講運(yùn)動(dòng)圖象追及相遇問題01主干回顧固基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1勻變速直線運(yùn)動(dòng)的圖象1. 直線運(yùn)動(dòng)的xt圖象(1)意義：反映了直線運(yùn)動(dòng)的物體 隨 變化的規(guī)律(2)圖線上某點(diǎn)切線的斜率的意義斜率大小：表示物體速度的斜率的正負(fù)：表示物體速度的 位移位移時(shí)間時(shí)間大小大小方向方向(3)兩種特殊的xt圖象若xt圖象是一條平行于時(shí)間軸的直線，說明物體處于_狀態(tài)(如圖甲所示)若xt圖象是一條傾斜的直線，說明物體在做_運(yùn)動(dòng)(如圖乙所示)靜止靜止勻速直線勻速直線2. 直線運(yùn)動(dòng)的vt圖象(1)意義：反映了直線運(yùn)動(dòng)的物體 隨 變化的規(guī)律(2)圖線上某點(diǎn)切線的斜率的意義斜率的大?。罕硎疚矬w加速度的 斜率的正負(fù)：表示物體加速度的 速度速度時(shí)間時(shí)間大小大小方向方向(3)兩種特殊的vt圖象勻速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖象是與橫軸的直線(如圖甲所示)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的vt圖象是一條的直線(如圖乙所示)平行平行傾斜傾斜(4)圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”的意義圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”表示相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的_若此面積在時(shí)間軸的上方，表示這段時(shí)間內(nèi)的位移方向?yàn)?；若此面積在時(shí)間軸的下方，表示這段時(shí)間內(nèi)的位移方向?yàn)?.位移位移正方向正方向負(fù)方向負(fù)方向知識(shí)點(diǎn)2追及和相遇問題1.追及問題的兩類情況(1)若后者能追上前者，追上時(shí)，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度(2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者速度與前者速度相等時(shí)，兩者相距最近同向運(yùn)動(dòng)相隔一定的初始距離s0的問題：速度大者減速(如勻減速直線運(yùn)動(dòng))追速度小者(如勻速運(yùn)動(dòng))a若兩者速度相等時(shí)，追者位移仍小于被追者位移與s0之和，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間有最小距離b若兩者位移相等時(shí)，速度也相等，則恰能追上，也是兩者避免碰撞的臨界條件c若兩者位移相等時(shí)，追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)兩者間距有一個(gè)最大值從同一地點(diǎn)出發(fā)開始同向運(yùn)動(dòng)的問題：速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng))追速度大者(如勻速運(yùn)動(dòng))a當(dāng)兩者速度相等時(shí)兩者間有最大距離b若兩者位移相等時(shí)，則追上2. 相遇問題同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追上即相遇相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體的距離時(shí)即相遇一、基礎(chǔ)知識(shí)題組1. 對位移圖象的理解一遙控玩具汽車在平直路上運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間圖象如圖所示，則()A. 15 s內(nèi)汽車的位移為300 mB. 前10 s內(nèi)汽車的加速度為3 m/s2C. 20 s末汽車的速度為1 m/sD. 前25 s內(nèi)汽車做單方向直線運(yùn)動(dòng)解析：因?yàn)槭俏灰茣r(shí)間圖象，15 s末的位移為30 m，前10 s內(nèi)汽車的速度為3 m/s，加速度為零，A、B均錯(cuò)；20 s末的速度v1 m/s，C正確；由xt圖線的斜率表示速度可知汽車在010 s沿正方向運(yùn)動(dòng)，10 s15 s靜止，15 s25 s沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)答案：C2. 對速度圖象的理解亞丁灣索馬里海域六艘海盜快艇試圖靠近中國海軍護(hù)航編隊(duì)保護(hù)的商船，中國特戰(zhàn)隊(duì)員發(fā)射爆震彈成功將其驅(qū)離假如其中一艘海盜快艇在海面上運(yùn)動(dòng)的vt圖象如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中海盜快艇所受阻力不變則下列說法正確的是()A海盜快艇在066 s內(nèi)從靜止出發(fā)做加速度增大的加速直線運(yùn)動(dòng)B海盜快艇在96 s末開始調(diào)頭逃離C海盜快艇在66 s末離商船最近D海盜快艇在96 s116 s內(nèi)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)解析：在066 s內(nèi)圖象的斜率越來越小，加速度越來越小，故海盜快艇做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；海盜快艇在96 s末，速度由正變負(fù)，即改變運(yùn)動(dòng)的方向，開始掉頭逃跑，此時(shí)海盜快艇離商船最近，B正確，C錯(cuò)誤；海盜快艇在96 s116 s內(nèi)，沿反方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤答案：B3. 利用vt圖象分析追及問題(多選)兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛t0時(shí)兩車都在同一計(jì)時(shí)線處，此時(shí)比賽開始它們在四次比賽中的vt圖如圖所示則下列圖對應(yīng)的比賽中，有一輛賽車能夠追上另一輛的是()答案：AC二、規(guī)律方法題組4. 追及問題的處理方法一輛汽車在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一人騎自行車以v06 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車，試問：(1)汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多大？(2)當(dāng)汽車與自行車距離最近時(shí)汽車的速度是多大？解析：審題畫出過程示意圖：答案：(1)2 s6 m(2)12 m/s5(多選)甲乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng)，其vt圖象如圖所示，圖中OPQ和OQT的面積分別為s1和s2(s2s1)初始時(shí)，甲車在乙車前方s0處()A若s0s1s2，兩車不會(huì)相遇B若s0s1，兩車相遇2次C若s0s1，兩車相遇1次D若s0s2，兩車相遇1次解析：由圖可知甲的加速度a1比乙a2大，在達(dá)到速度相等的時(shí)間T內(nèi)兩車相對位移為s1.若s0s1s2，速度相等時(shí)乙比甲位移多s1s0，乙車還沒有追上甲車，此后甲車比乙車快，不可能追上，A項(xiàng)對；若s0s1)，兩車速度相等時(shí)還沒有追上，并且甲車在前，故不會(huì)追上，D項(xiàng)錯(cuò)答案：ABC1在分析追及與相遇問題時(shí)，可用以下方法：(1)臨界條件法：當(dāng)二者速度相等時(shí)，二者相距最遠(yuǎn)(最近)(2)圖象法：畫出xt圖象或vt圖象，然后利用圖象進(jìn)行分析求解(3)數(shù)學(xué)判別式法：設(shè)相遇時(shí)間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論，若0，即有兩個(gè)解，說明可以相遇兩次；若0，說明剛好追上或相遇；若0，說明追不上或不能相遇2. 在追及問題中，若后者能追上前者，則追上時(shí)，兩者處于同一位置，后者的速度一定大于前者的速度；若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者相等時(shí)，兩者相距最近3. 在相遇問題中，同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇；相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體之間的距離時(shí)即相遇02典例突破知規(guī)律考點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)圖象的應(yīng)用考點(diǎn)解讀：1應(yīng)用運(yùn)動(dòng)圖象的三點(diǎn)注意(1)無論是xt圖象還是vt圖象都只能描述直線運(yùn)動(dòng)(2)xt圖象和vt圖象都不表示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡(3)xt圖象和vt圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關(guān)系決定2應(yīng)用運(yùn)動(dòng)圖象解題“六看”xt圖象圖象 vt圖象圖象軸軸 橫軸為時(shí)間橫軸為時(shí)間t，縱軸為位移，縱軸為位移x橫軸為時(shí)間橫軸為時(shí)間t，縱軸為速度，縱軸為速度v線線傾斜直線表示勻速直線運(yùn)動(dòng)傾斜直線表示勻速直線運(yùn)動(dòng)傾斜直線表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)傾斜直線表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)斜率斜率 表示速度表示速度 表示加速度表示加速度面積面積 無實(shí)際意義無實(shí)際意義圖線和時(shí)間軸圍成的面積表示圖線和時(shí)間軸圍成的面積表示位移位移縱截距縱截距 表示初位置表示初位置 表示初速度表示初速度特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)拐點(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱砉拯c(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪环N運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)表示相遇一種運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)表示相遇拐點(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪还拯c(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪环N運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)表示速度相等種運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)表示速度相等典例透析(多選)一物體自t0時(shí)開始做直線運(yùn)動(dòng)，其速度時(shí)間圖象如圖所示下列選項(xiàng)正確的是()A在06 s內(nèi)，物體離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)為30 mB在06 s內(nèi)，物體經(jīng)過的路程為40 mC在04 s內(nèi)，物體的平均速度為7.5 m/sD在56 s內(nèi)，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)解題探究請分析物體運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間圖象，回答下列問題：(1)06 s內(nèi)，物體的運(yùn)動(dòng)方向是否發(fā)生變化？什么時(shí)刻離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)？ 提示：當(dāng)圖象過時(shí)間軸時(shí)物體運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變，t5秒時(shí)速度圖象過時(shí)間軸，即方向發(fā)生了改變t5秒時(shí)離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)(2)vt圖象中“面積”的含義是什么？如何根據(jù)vt圖象求平均速度？用速度時(shí)間圖象巧得四個(gè)運(yùn)動(dòng)量(1)運(yùn)動(dòng)速度：從速度軸上直接讀出(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：從時(shí)間軸上直接讀出時(shí)刻，取差得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間(3)運(yùn)動(dòng)加速度：從圖線的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正負(fù)反映了加速度的方向(4)運(yùn)動(dòng)的位移：從圖線與時(shí)間軸圍成的面積得到位移，圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示位移的大小，第一象限的面積表示與規(guī)定的正方向相同，第四象限的面積表示與規(guī)定的正方向相反變式訓(xùn)練如圖所示，A、B分別是甲、乙兩球從同一地點(diǎn)沿同一直線運(yùn)動(dòng)的vt圖線，根據(jù)圖象可以判斷下列說法正確的是()A兩球在t2 s時(shí)速率相等B兩球在t8 s時(shí)相距最遠(yuǎn)C兩球運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)相遇D兩球做初速度方向相反的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小相等、方向相反解析：根據(jù)題圖，在t2 s時(shí)，甲球速度為20 m/s，乙球速度為20 m/s，所以它們速率相等，選項(xiàng)A正確；利用“面積”求位移，可知甲、乙兩球在t8 s時(shí)同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)相遇，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，兩條圖線的斜率保持不變，這表示它們運(yùn)動(dòng)時(shí)做的都是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，甲、乙兩球做初速度方向相反的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們速度減為零后，又反向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閮蓷l圖線的斜率一正一負(fù)，絕對值不同，這說明它們的加速度方向相反，大小不等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤答案：A考點(diǎn)2追及和相遇問題考點(diǎn)解讀：討論追及、相遇的問題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在同一時(shí)刻能否到達(dá)相同的空間位置問題1. 追及相遇問題中的兩個(gè)關(guān)系和一個(gè)條件(1)兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個(gè)關(guān)系可通過畫運(yùn)動(dòng)示意圖得到(2)一個(gè)條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)2. 追及相遇問題常見的情況假設(shè)物體A追物體B，開始時(shí)，兩個(gè)物體相距x0，有兩種常見情況：(1)A追上B時(shí)，必有xAxBx0，且vAvB.(2)要使兩物體恰好不相撞，兩物體同時(shí)到達(dá)同一位置時(shí)速度相同，必有xAxBx0，vAvB.若使兩物體保證不相撞，此時(shí)應(yīng)有vAvB.典例透析如圖所示，物體A、B相距x7 m，A在水平拉力和滑動(dòng)摩擦力的作用下，正以vA4 m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，而B此時(shí)正以vB10 m/s的速度向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度a2 m/s2，則A追上B所用的時(shí)間為多少？解題探究物體A、B的位移關(guān)系為_提示：xAxBx物體A一直是運(yùn)動(dòng)的，位移xA_提示：vAt物體B經(jīng)時(shí)間tB后會(huì)_提示：停下要考慮物體A是在物體B停止之前還是停止之后追上物體B的提示：物體A在物體B停止運(yùn)動(dòng)以后才追上B嘗試解答8 s設(shè)B停下來所用的時(shí)間為tB，發(fā)生的位移為xB，則0vBatB0v2axB解得tB5 s，xB25 m前5 s內(nèi)A發(fā)生的位移為xAvAtB45 m20 m此時(shí)A、B相距x25 m7 m20 m12 m故A繼續(xù)前進(jìn)x所需要的時(shí)間為追及相遇問題的求解方法(1)解題思路(2)解題技巧緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式審題應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)，另外還要注意最后對解的討論分析變式訓(xùn)練2013福建六校聯(lián)考一列貨車以28.8 km/h的速度在鐵路上運(yùn)行，由于調(diào)度事故，在后方700 m處有一列快車以72 km/h的速度行駛，快車司機(jī)發(fā)覺后立即合上制動(dòng)器，但快車要滑行2000 m才能停下，試通過計(jì)算判斷兩車是否會(huì)相撞解析：v快72 km/h20 m/sv貨28.8 km/h8 m/s因快車要滑行2000 m才能停下，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：答案：兩車將會(huì)發(fā)生碰撞03特色培優(yōu)增素養(yǎng)思想方法：圖象法在解決追及相遇問題中的應(yīng)用1方法概述(1)圖象可以直觀地?cái)⑹鑫锢磉^程，并鮮明地表示物理量間的各種關(guān)系利用圖象解決物理問題，是學(xué)好物理的一種重要方法(2)追及相遇問題涉及的過程比較復(fù)雜，如果用公式法求解，有時(shí)不僅計(jì)算量大，而且難以將過程敘述清楚，而使用圖象法求解，往往會(huì)比較直觀2常見類型(1)兩個(gè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體的追及相遇問題(2)兩個(gè)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)物體的追及相遇問題(3)求追及相遇過程中距離的極值問題3解題思路用圖象法解決追及相遇問題時(shí)應(yīng)把握的三個(gè)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)基本要求基本要求畫圖畫圖定量畫圖時(shí)需根據(jù)物體在不同階段的運(yùn)動(dòng)情況，通過定量畫圖時(shí)需根據(jù)物體在不同階段的運(yùn)動(dòng)情況，通過定量計(jì)算分階段、分區(qū)間逐一描圖定量計(jì)算分階段、分區(qū)間逐一描圖轉(zhuǎn)換圖轉(zhuǎn)換圖從不同的角度描繪同一物理過程所進(jìn)行的變換，如將從不同的角度描繪同一物理過程所進(jìn)行的變換，如將xt圖象轉(zhuǎn)換成圖象轉(zhuǎn)換成vt圖象等圖象等用圖用圖利用圖象中斜率、面積、截距、交點(diǎn)等的含義進(jìn)行定利用圖象中斜率、面積、截距、交點(diǎn)等的含義進(jìn)行定性分析或定量計(jì)算，進(jìn)而解決相關(guān)問題性分析或定量計(jì)算，進(jìn)而解決相關(guān)問題典題例證在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件名師指津圖象法解決追及相遇問題的方法技巧(1)兩個(gè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)物體的追及相遇問題，過程較為復(fù)雜如果兩物體的加速度沒有給出具體的數(shù)值，并且兩個(gè)加速度的大小也不相同，如果用公式法，運(yùn)算量比較大，且過程不夠直觀，若應(yīng)用vt圖象進(jìn)行討論，則會(huì)使問題簡化(2)根據(jù)物體在不同階段的運(yùn)動(dòng)過程，利用圖象的斜率、面積、交點(diǎn)等含義分別畫出相應(yīng)圖象，以便直觀地得到結(jié)論針對訓(xùn)練甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為v18 m/s，乙車在后，速度為v216 m/s，當(dāng)兩車相距s08 m時(shí)，甲車因故開始剎車，加速度大小為a12 m/s2，為避免相撞，乙車立即開始剎車，為不使相撞，則乙車的加速度至少為多大？答案：至少為6 m/s2