1911111111.ABCDABC DMNAABBCMD N正方體中， 分別是與的中點，則直線與的夾角的余弦值等于11111120,2,02,0,10,0,22,2,1(22,1)(2,21)1cos91.9CMDNCMD NCM D NCM D NCM D NCMD N 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為 ， 則點， 所以向量， ， 所以， 所以異面直線與的夾角的余弦值等于解析：22(1,2 )(1)|2.A nnnBnnAB 若點， ， ，則的最小值為22222|121126()|22ABnnnnAB 解因為，所以的最小值為析：10511111111423.ABCDABC DABBCCCBCDBB D已知長方體中，則直線和平面所成角的正弦值為1111111114,0,04,4,04,4,24,4,00,4,2cos1610.516416 16BCCACBB D DACBB D DBCBCACBC ACBCAC 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，顯然平面，所以為平面的一個法向解量又，所以， 析：231111114.ABCDABC DEBBAEDABCD在正方體中，點 為的中點，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為11111.0,0,1(1,0 )0,1,01(0,11)(1,0)2(1)AAEDADAEDnyz 為原點建系，設(shè)棱長為 則， ， 所以， ， 設(shè)平面的法向量為，解，析：121202.121021,2,20,0,122cos.3 132.3yzyzzABCD則，所以所以，因為平面的一個法向量為所以 ， 即所成的銳二面角的余弦值為nnnn6 1111425.ABCDCGABCDCGEFABADCGEF已知正方形的邊長為 ，平面， ， 分別是，的中點，則點 到平面的距離為0,0,21,1,366 111111CxyzOGGEFCGEFOGd建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 由題意易得平面的一個法向量 所以點 到平面：距解析的離為nnn異面直線所成的角異面直線所成的角111111 21.ABCABCABBBABC B在正三棱柱中，求與所成角【】的大小例111111111116261(0)(22221)(021)26262(1)(1)22220.90 .ABBBBCABBCAB BCABBCABC B 以 為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系取，則， ，所以，所以，則所以與所成角的大小是【解析】用向量法求異面直線所成的角的關(guān)鍵是構(gòu)造直線的方向向量，利用向量的數(shù)量積進行計算.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,E ,H分別是A1B1和BB1的中點.求：(1)異面直線EH與AD1所成的角的余弦值；(2)異面直線AC1與B1C所成的角的余弦值.【變式練習(xí)1】11112,0,02,2,00,2,00,0,110,2,12,1,1(2,2)2,2,12DADCDDxyzABCDCEHB分別以、所在直線為 、 、 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則，析，：，解， 1111111111(01)2,0,1 |522,2,12,0,1 | 3 |5.112112cos.55521.5HEADHEADACCBACCBHE ADHE ADEHAD 所以， ， ，因為，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為 11114152cos|5355.5AC CBACBC 因為， ，所以異面直線與所成的角的余弦值為直線與平面所成的角直線與平面所成的角 .2 23.2.SABCDABCDSBCABCDABCABBCSASBSABCSDSAB45212四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，證明：；求直線與平面所成【】角的正弦值例解析：(1)證明：作SOBC，垂足為O，連結(jié)AO.由側(cè)面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD.因為SA=SB，所以AO=BO.又ABC=45，所以AOB為等腰直角三角形所以AOOB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x 軸正向，建立直角坐標(biāo)系Oxyz.( 2 0,0)(02 0)(00)0,0,1( 2 01)(0,2 0)0.ABCSSACBSA CBSABC 則， ， ， ， 所以， 所以 222(0)2222 1()44222 122()(1)(22 0)4422200.ABEESESEGOGGOGOG SEAB OGOGSABSEABOGSABOGDSSDS 取的中點 ，則，連接，取的中點 ，連接，則， 故， ， ， ， 所以， 所以與平面內(nèi)兩條相交直線、垂直， 所以平面與的夾角記為 ，與平面 AB所成的角記為，則 與 互余( 22 2 0)(2 2 21)cos22 122 212244 211111222sin1122.11DOG DSDSOGDSSDSAB 因為，所以，所以，則所以，直線與平面所成的角的正弦值為利用向量法求直線與平面所成的角是通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為直線與平面所成的角，這一過程中向量的數(shù)量積發(fā)揮了重要作用.【變式練習(xí)2】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，如圖.BEB1C，E在C1C上，BE交B1C于F.求A1B與平面BED所成角的正弦值.1111(02)0,2,4(02)0,2,44401.CCDCBCCxyzCEcBEc CBBECBBE CBccc 以 為原點，取直線、分別為 軸、 軸、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)， 則， ， ， 因為， 所以， ，得解析：111112,0,11,1,22,0,41030|cos|62 56DEBEDBAABBEDBABABA 又， 則平面的一個法向量為，且 所以與平面所成角的正弦值等于 ， nnnn二面角二面角【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：EF平面PAD；(2)設(shè)PD=2CD，求二面角AEFD的正切值. .1,0,0(0,0)(,0)(0,0)(0)(0)22 2(,0)(0,0)22(,0)2DxyzA aPbaa bB aaCaE aFbaaPDGaaEFAG 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系證明：設(shè)， ，則， ，故， 取的中點， ，則， 顯然解析：， .21,0,01,1,00,1,0110,0,2(10)(01)221 1 1()2 2 2111()1,0,12220.1(00)0.2EFAGAGPADEFPADEFPADABCPEFEFMMD EFMDEFEA EFEAEF 故又平面，平面，所以平面不妨設(shè)，則，易知的中點， ，則，所以，所以又，所以，所以2cos11110032222=3312236sin1.33.AEFDMD EAMD EAMDEAMP EAMP EAMPEAAEFD 所以向量和的夾角等于二面角的平面角而， ，所以， 所以二面角的正切值為 利用向量的方法求二面角的大小，先求兩個面的法向量，再用向量的數(shù)量積求出二面角或其補角.【變式練習(xí)3】(2010江蘇省無錫市質(zhì)量調(diào)研)如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF90，BECF，CEEF，AD，EF2.(1)求異面直線AD與EF所成的角；(2)當(dāng)AB的長為何值時，二面角AEFC的大小為45？3.() 0,0,0( 3 0)( 3 0,0)( 3,0)(0,0)(0,0)CCBCFCDxyzCxyzABaBEbCFc bcCAaBEbFcDa如圖，以點 為坐標(biāo)原點，以，和分別為 軸， 軸和 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè) ， ，則， ， ，析】，【解 21( 3 0,0)( 3 0,0)( 3,0)| 23()41( 31,0)33cos2| |3230 .DACBFEbcFEbcbcFEDA FEDAFEDAFEADEF ， =， =，由，得，所以，所以，-所以， =，所以異面直線與成 22222(1)00|343 3(13)nyzAEFAEEFBCBECFEFbca 設(shè)， ，為平面的法向量，則，由，得 ， ，解得， ，nnn2(0,0)3 32cos2| |4273 3.245 .BABEFC BAaBAn BABAaaABAEFC 又因為平面， ，所以 ， =，得到 所以當(dāng)為時，二面角的大小為nn點到平面的距離點到平面的距離 111144.(4).ABCDABC DOA B C DPCCCCCPOD APHD HAPPABD11111111112在邊長為 的正方體中， 是正方形的中心，點 在棱上，且設(shè) 在平面上的射影為 ，求證：；求 到平面【】的距離例 111111110,0,42,2,40,4,14,0,02,2,0(441)880.DDADCDDxyzDOPADOPAPA DOPADOPAOHOHDOOPADOH 以 為原點，取直線、分別為 、 、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系證明：易解析：知， 所以， ， ， 則 于是又，且， 所以平面，所 1111.20,4,04,0,41,0,1| 4 1|3 2223 2.2PAD HABADABDAPPABD 以因為，所以平面的一個法向量為，所以在 上的射影為，即點 到平面的距離為nnnn求點到平面的距離的向量方法是利用向量數(shù)量積的幾何意義，這是用向量方法求距離的重要應(yīng)用. 11111111114 (2011(2)12ABCDABC DABA AECCAEBDDAB E在正四棱柱中，點 是棱的中點求異面直線與所成角的余弦值；【變式練習(xí) 】蘇、錫、求點到平面常、鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查 二的距離11111,0,00,1,11,1,11,1,00,0,2( 11,2)1 122|3 |6AEAEBDBDAE BDAEBD 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則解析，所以，所以，所以，又，：，1111112cos.32.3(2)(,1)0,1,2002010AEAE BDAE BDAEBDAB EabABABAEbab 所以，所以異面直線與所成角的余弦值等于設(shè)平面的一個法向量為，因為，由及，得，nnn1111111112( 12,1)1,1,01 236.2abD BD BD BDAB Ed 所以，則，因為，所以，所以點到平面的距離nnnn1.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分別平行于平面、且都與此兩平面的交線l 垂直，則二面角-l-的大小是. 60或1202.在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成角的正切值是_.1111,1,1(0 )22OA OB OCABCnOM 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可求得平面的一個法向量是， ， ，【解析】，6sin|cos|3|3costan23.OMABCn OMn OMn OMOMABC 設(shè)與平面所成角為 ，則 ， ，則，所以，即與平面所成角的正切值是11111111111190.3.ABCABCBCADFABACBCCACCBDAF直三棱柱中，、分別是、的中點若，則與所成角 的余弦值是301011111111111 11,0,00,1,0(1)(01)2 21 11(1)(01)2 223304cos.10|3524CCBCACCxyzBCCACCBADFBDBD AFBDAF 以 為原點，取、所在直線分別為 、 、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，= ，【解析】-，所以11111111111 11,0,00,1,0(1)(01)2 21 11(1)(01)2 223304cos.10|3524CCBCACCxyzBCCACCBADFBDBD AFBDAF 以 為原點，取、所在直線分別為 、 、 軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，= ，【解析】-，所以 2.1. 2.4ABCDPDABCDPDADPCBDPBEPCADEE如圖所示，已知四邊形是正方形，平面，求異面直線與所成的角的大??；在線段上是否存在一點 ，使平面？若存在，確定 點的位置；若不存在，說明理由 0,0,02,0,00,2,00,0,22,2,01(0,22)2,2,041cos22 22 2DACPBPCDBPC DBPC DBPCDB 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， 因為， 所以， 解析：， 6060 .2.(2,22)(222 )(2222 )(22,222 )PC DBPCBDPBEPCADEPEPBPBPEE 所以， ，所以異面直線與所成的角為假設(shè)在上存在 點，使平面記因為，所以， ，所以， ，所以，184021,1,1.PCADEPCAEPC AEEADPDCPCADAEADAPCADEEEPBPCADE 若平面，則有， 即，所以，則 又因為平面，所以 而，所以平面 所以存在 點，且 為的中點時，能使平面 5.(2011)1212OABCOAOBOCOAOBOCEOCBEACABEC在三棱錐 中，、兩兩垂直，且，點 是棱的中點求異面直線與所成角的余弦值；求二面角 江蘇省海的門期末考試余弦值 1OOBOCOAxyz以 為原點，所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角【解析】坐標(biāo)系，0,0,12,0,00,2,00,1,0( 2,1,0)(0,21)|2cos.5| |ABCEBEACBEACBE ACBEAC 則，所以，- 設(shè)異面直線與所成角為 ，則 122221220,0,1()( 2,1,0)(0,11)20.021,2,2cos.3231212BECnnxyzABEBEAEn BExyn ACyzn nnnn|n |n |ABECABEC 易知平面的一個法向量為，不妨設(shè)， ， 為平面的一個法向量又， =，- ，則取， ， =因為所求二面角 為鈍二面角，所以所求二面角 的余弦值為-.1.空間中的角空間的各種角可以看作是通過平移來實現(xiàn)的.在向量方法中，根據(jù)向量的數(shù)量積研究角的大小，如直線所成的角，確定直線的方向向量，利用向量的數(shù)量積求角；直線與平面所成的角，確定直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的數(shù)量積求角；對于二面角，確定兩平面的法向量，利用向量的數(shù)量積求角.2.“”“”.(APddP空間中的距離 空間的各種距離都是通過垂線或公垂線，按最 短原則定義的，因此 轉(zhuǎn)化 是求各種距離最重要的思想方法在空間距離中，點到平面的距離最重要從幾何方法來看，線面距離和面面距離都是轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來表示的異面直線的距離是通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為面面或線面距離獲得的在向量方法中，距離是通過射影來體現(xiàn)的求 點到平面的距離：是點 到平 面的nn).An距離，在平面上， 為平面的法向量