4.1.2 圓的一般方程圓的一般方程1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).2.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并能熟練地指出圓心的位置和半徑的并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小大小.3.能根據(jù)某些具體條件能根據(jù)某些具體條件,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程確定圓的方程.自主學(xué)習(xí)：自主學(xué)習(xí)：閱讀教材閱讀教材P121-122頁(yè)上方，回答下列問(wèn)題：頁(yè)上方，回答下列問(wèn)題：1.任何一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都能化成形如下面任何一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都能化成形如下面的二元二次方程嗎？的二元二次方程嗎？2.任何一個(gè)形如任何一個(gè)形如的二元二次方程都表示圓嗎？的二元二次方程都表示圓嗎？022FEyDxyx022FEyDxyx1是肯定的如：圓心為（是肯定的如：圓心為（1，-2），半徑為），半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是可化為：可化為：4)2() 1(22yx014222yxyx2是不一定的如：是不一定的如：064222yxyx這個(gè)方程就不表示任何圖形這個(gè)方程就不表示任何圖形022FEyDxyx這個(gè)方程在什么條件下表示圓？這個(gè)方程在什么條件下表示圓？022FEyDxyx圓的一般方程圓的一般方程鞏固訓(xùn)練：鞏固訓(xùn)練：1.判斷下列方程是否表示圓判斷下列方程是否表示圓020120912444222222axyxxyxyxyx2.方程方程表示一個(gè)圓，則表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是的取值范圍是_3.如果圓的方程為如果圓的方程為那么當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為那么當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為_(kāi)022myxyx02222kykxyx3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點(diǎn)？特點(diǎn)？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)和半徑大小，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)和半徑大小，幾何特征明顯；幾何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。二元二次方程，代數(shù)特征明顯。比較二元二次方程比較二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圓的一般方和圓的一般方程程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下結(jié)論可以得出如下結(jié)論:當(dāng)二元二次方程具條件當(dāng)二元二次方程具條件:(1)x2和和y2的系數(shù)相同的系數(shù)相同,且不等于且不等于0,即即_(2)沒(méi)有沒(méi)有xy項(xiàng)項(xiàng),即即_;(3)_時(shí)時(shí),它才表示圓它才表示圓.A=C0B=0D2+E2-4AF0鞏固訓(xùn)練：鞏固訓(xùn)練：P123頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)1,2題題例例1.求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn)O（0,0），），A(1,1), B(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)達(dá)標(biāo)檢測(cè)：教材達(dá)標(biāo)檢測(cè)：教材P123頁(yè)練習(xí)的第頁(yè)練習(xí)的第3題題第二課時(shí)第二課時(shí)目標(biāo)：目標(biāo)：會(huì)求點(diǎn)的軌跡方程會(huì)求點(diǎn)的軌跡方程例例1.平面直角坐標(biāo)系中有平面直角坐標(biāo)系中有A（0,1），），B（2,1），），C（3,4），），D（-1，2）四）四點(diǎn)，判斷這四點(diǎn)是否共圓？點(diǎn)，判斷這四點(diǎn)是否共圓？例例2.已知線段已知線段AB的端點(diǎn)的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（4,3），端點(diǎn)），端點(diǎn)A在圓在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程4) 1(22yxBAA（4,3）達(dá)標(biāo)檢測(cè)：教材達(dá)標(biāo)檢測(cè)：教材P124頁(yè)頁(yè)B組組1-3題題1.方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)當(dāng)當(dāng)_時(shí)時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn)方程表示一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)的坐標(biāo)為該點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi);(2)當(dāng)當(dāng)_時(shí)時(shí),方程不表示任何圖形方程不表示任何圖形;(3)當(dāng)當(dāng)_時(shí)時(shí),方程表示的曲線為圓方程表示的曲線為圓,它的圓心坐它的圓心坐標(biāo)為標(biāo)為_(kāi),半徑等于半徑等于_,上述上述方程稱(chēng)為圓的一般式方程方程稱(chēng)為圓的一般式方程.D2+E2-4F=0 (,)22DED2+E2-4F0 (,)22DE22142DEF名名 師師 講講 解解 (學(xué)生用書(shū)學(xué)生用書(shū)P86) 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2明確了圓心明確了圓心C(a,b),半徑半徑r,把標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)就可得圓的一般把標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)就可得圓的一般方程方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).僅當(dāng)僅當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)時(shí),方程才表示一個(gè)圓方程才表示一個(gè)圓.2.求圓的方程求圓的方程,需知三個(gè)條件需知三個(gè)條件,知過(guò)不共線三點(diǎn)求圓的方程知過(guò)不共線三點(diǎn)求圓的方程,用用一般式簡(jiǎn)單一般式簡(jiǎn)單.知圓心和半徑用標(biāo)準(zhǔn)形式簡(jiǎn)單知圓心和半徑用標(biāo)準(zhǔn)形式簡(jiǎn)單.典典 例例 剖剖 析析 (學(xué)生用書(shū)學(xué)生用書(shū)P86) 題型一題型一 圓的方程的判斷圓的方程的判斷例例1:判斷下列方程是否表示圓判斷下列方程是否表示圓,若是若是,化成標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20 x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.分析分析:先將方程配方先將方程配方,化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式,然后再作出判斷然后再作出判斷.解解:(1)原方程可化為原方程可化為(x+1)2+y2=0,它表示點(diǎn)它表示點(diǎn)(-1,0),不表示圓不表示圓.(2)原方程可化為原方程可化為x2+(y+a)2=a2+1,它表示圓心在它表示圓心在(0,-a),半徑半徑為為 的圓的圓,標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+a)2= (3)原方程可化為原方程可化為:(x+10)2+y2=-210,m-2.錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析:本題錯(cuò)誤根本原因沒(méi)理解圓的一般式方程的定義本題錯(cuò)誤根本原因沒(méi)理解圓的一般式方程的定義.二元二次方程二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時(shí)表示圓時(shí),應(yīng)有應(yīng)有D2+E2-4F0這個(gè)條件這個(gè)條件,錯(cuò)解中丟掉了這個(gè)隱含條件錯(cuò)解中丟掉了這個(gè)隱含條件.正解正解:點(diǎn)點(diǎn)P(m,2)在圓外在圓外,技技 能能 演演 練練(學(xué)生用書(shū)學(xué)生用書(shū)P87)基礎(chǔ)強(qiáng)化基礎(chǔ)強(qiáng)化1.若方程若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓表示圓,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是( )答案答案:A1.0211.22AmB mC mDm2.方程方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲線為圓表示的曲線為圓,則有則有( )A.A=C0B.D2+E2-4AF0C.A=C0且且D2+E2-4AF0D.A=C0且且D2+E2-4AF0答案答案:C3.圓圓x2+y2-2x+6y+8=0的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于( )A. B.2C. D.4解析解析:將圓的方程配方得將圓的方程配方得(x-1)2+(y+3)2=2,圓的半徑圓的半徑 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為2r= 答案答案:C22 22,r 2 2 .4.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)是三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)是( )A.(5,1)B.(4,-1)C.(5,-1)D.(-5,-1)解析解析:圓心到圓心到P,Q,R的距離相等的距離相等,代入選項(xiàng)的坐標(biāo)代入選項(xiàng)的坐標(biāo),知知C成立成立.答案答案:C5.圓圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析解析:點(diǎn)點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-x,-y),因此圓心因此圓心(-2,0)關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2,0),半徑不變半徑不變,所以方程為所以方程為(x-2)2+y2=5.答案答案:A6.圓心為圓心為(2,-3),一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別落在一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別落在x軸和軸和y軸上的軸上的圓的方程為圓的方程為( )A.(x+2)2+(y+3)2=52B.(x-2)2+(y+3)2=C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y-3)2=2 132 13解析解析:設(shè)一條直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為設(shè)一條直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x0,0),(0,y0).由題意得由題意得, =-3,x0=4,y0=-6,圓的半徑為圓的半徑為所求圓的方程為所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.答案答案:C00002,22xy22(42)(03)13.r 7.(2006上海上海)已知圓已知圓x2-4x-4+y2=0的圓心是的圓心是P,則點(diǎn)則點(diǎn)P到直到直線線x-y-1=0的距離是的距離是_.解析解析:已知圓的圓心已知圓的圓心P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(2,0),P到直線到直線x-y-1=0的距離的距離為為|20 1|2.22d228.點(diǎn)點(diǎn)A(1,0)在圓在圓x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上上,則則a的值為的值為_(kāi).-2能力提升能力提升9.圓心在直線圓心在直線2x-y-7=0上的圓上的圓C與與y軸交于軸交于A(0,-4),B(0,-2)兩點(diǎn)兩點(diǎn),求圓求圓C的方程的方程.解解:設(shè)圓設(shè)圓C的方程為的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心則圓心 在直線上在直線上.(,)22DEC 由解得由解得D=-4,E=6,F=8.圓的方程為圓的方程為x2+y2-4x+6y+8=0.10.已知圓已知圓C:x2+y2-4x-14y+45=0及點(diǎn)及點(diǎn)Q(-2,3),(1)若若P(m,m+1)在圓在圓C上上,求線段求線段PQ的長(zhǎng)及直線的長(zhǎng)及直線PQ的斜率的斜率;(2)若若P為圓為圓C上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn),求求|PQ|的最大值和最小值的最大值和最小值.解解:(1)點(diǎn)點(diǎn)P在圓在圓C上代入得上代入得m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得解得m=4.點(diǎn)點(diǎn)P為為(4,5),故故|PQ|=22531(42)(53)2 10,.423PQk (2)由題意知由題意知|PQ|取得最大值或最小值時(shí)取得最大值或最小值時(shí),P點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)為過(guò)Q與圓心與圓心C的直線與圓的直線與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn).易知易知:|PQ|最大值為最大值為|QC|+R= (R為圓為圓C半徑半徑).最小值為最小值為|QC|-R=6 22 2.品品 味味 高高 考考(學(xué)生用書(shū)學(xué)生用書(shū)P87)11.(2007安徽安徽)若圓若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線的圓心到直線x-y+a=0的距離為的距離為 則則a的值為的值為( )A.-2或或2B. C.2或或0D.-2或或0解析解析:已知圓的方程為已知圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5,圓心圓心C(1,2),由題意得由題意得, |a-1|=1,a=2或或0.答案答案:C2,21322或|12|2,22a12.(2008廣東廣東)經(jīng)過(guò)圓經(jīng)過(guò)圓x2+2x+y2=0的圓心的圓心C,且與直線且與直線x+y=0垂直的直線方程是垂直的直線方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0解析解析:由題知圓心由題知圓心C(-1,0),斜率斜率k=1,故所求的直線方程為故所求的直線方程為y=x+1,即即x-y+1=0.答案答案:C