第5課時(shí)橢圓第八章平面解析幾何第八章平面解析幾何回歸教材回歸教材 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1橢圓的定義橢圓的定義(1)平面內(nèi)一點(diǎn)平面內(nèi)一點(diǎn)P與兩定點(diǎn)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)于常數(shù)(大于大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡，即的點(diǎn)的軌跡，即_.PF1PF22aF1F2若常數(shù)等于若常數(shù)等于F1F2，則軌跡是，則軌跡是_.若常數(shù)小于若常數(shù)小于F1F2，則軌跡，則軌跡_注意：一定要注意橢圓定義中限制條注意：一定要注意橢圓定義中限制條件件“大于大于F1F2”是否滿足是否滿足線段線段F1F2不存在不存在(2)平面內(nèi)點(diǎn)平面內(nèi)點(diǎn)M與定點(diǎn)與定點(diǎn)F的距離和它到的距離和它到定直線定直線l的距離的距離d的比是常數(shù)的比是常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡，即的點(diǎn)的軌跡，即_.定點(diǎn)定點(diǎn)F為橢圓的為橢圓的_，定直線，定直線l為橢為橢圓的圓的_焦點(diǎn)焦點(diǎn)該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線2橢圓中的幾何量橢圓中的幾何量(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸A1A2_，短軸，短軸B1B2_，焦距焦距F1F2_，且滿足，且滿足_.(2)離心率：離心率：e_(0e0)，c2a2b2離離心心率率_通徑通徑_提示：提示：不對(duì)，此處并沒(méi)有指明不對(duì)，此處并沒(méi)有指明ab0，即此方程中，即此方程中a2，b2與標(biāo)準(zhǔn)方程中與標(biāo)準(zhǔn)方程中a2，b2的意義不同的意義不同答案：答案：(3,4)(4,5)答案：答案：16或或144橢圓橢圓25x29y2225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是短軸長(zhǎng)、離心率依次是_考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動(dòng)講練互動(dòng)考點(diǎn)考點(diǎn)1橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例例1(1)求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(2,0)且與圓且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程；(2)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，并且過(guò)點(diǎn)倍，并且過(guò)點(diǎn)P(3,0)，求，求橢圓的方程；橢圓的方程；【解解】(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x2)2y262，圓心坐標(biāo)為，圓心坐標(biāo)為B(2,0)，半徑為，半徑為6.作出草圖如下作出草圖如下設(shè)動(dòng)圓圓心設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，由于動(dòng)，由于動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為C.已知已知圓圓(大圓大圓)半徑與動(dòng)圓半徑與動(dòng)圓(小圓小圓)半徑之差等半徑之差等于兩圓心的距離，即于兩圓心的距離，即|BC|MC|BM|，而，而|BC|6，|BM|CM|6，又又|CM|AM|，|BM|AM|6，根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)和點(diǎn)和點(diǎn)A(2,0)為焦點(diǎn)、線段為焦點(diǎn)、線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓為中心的橢圓(3)設(shè)橢圓的方程為設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0且且mn)橢圓經(jīng)過(guò)橢圓經(jīng)過(guò)P1、P2點(diǎn)，點(diǎn)，P1、P2點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程，坐標(biāo)適合橢圓方程，【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】(1)根據(jù)已知條件求橢根據(jù)已知條件求橢圓方程時(shí)，主要有以下幾個(gè)步驟：圓方程時(shí)，主要有以下幾個(gè)步驟：定位：由條件確定橢圓的中心、焦點(diǎn)定位：由條件確定橢圓的中心、焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定所求的方程所在的坐標(biāo)軸，從而確定所求的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程如無(wú)法確定焦點(diǎn)所在的是標(biāo)準(zhǔn)方程如無(wú)法確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則要分焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸，則要分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況討論；軸上兩種情況討論；定量：當(dāng)根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后定量：當(dāng)根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程后，要設(shè)法建立基本量，要設(shè)法建立基本量a、b、c滿足的滿足的方程組，解方程組求出基本量方程組，解方程組求出基本量(2)若解題過(guò)程中不涉及橢圓的焦點(diǎn)坐若解題過(guò)程中不涉及橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等量時(shí)，可設(shè)橢圓方程標(biāo)、準(zhǔn)線方程等量時(shí)，可設(shè)橢圓方程是是mx2ny21(m0，n0，mn)這樣可避開(kāi)討論這樣可避開(kāi)討論變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1在在ABC中，已知中，已知B、C坐標(biāo)，分坐標(biāo)，分別為別為B(3,0)和和C(3,0)且且ABC的周的周長(zhǎng)為長(zhǎng)為16，則頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為的軌跡方程為_(kāi)考點(diǎn)考點(diǎn)2橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用主要問(wèn)題有兩類：一類根據(jù)橢圓方程主要問(wèn)題有兩類：一類根據(jù)橢圓方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，另一類根據(jù)橢研究橢圓的幾何性質(zhì)，另一類根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，綜合其他知識(shí)求橢圓方圓幾何性質(zhì)，綜合其他知識(shí)求橢圓方程或者研究其他問(wèn)題程或者研究其他問(wèn)題例例2 (1)若F1PF260，求PF1F2的面積； (2)若存在點(diǎn)P，使F1PF290，求橢圓離心率的取值范圍； (3)若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，求橢圓離心率【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】題中題中PF1F2稱為橢圓稱為橢圓的的“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”，根據(jù)，根據(jù)“焦點(diǎn)三角焦點(diǎn)三角形形”的特征，解題的主要途徑是：橢的特征，解題的主要途徑是：橢圓的兩個(gè)定義圓的兩個(gè)定義(或焦半徑公式或焦半徑公式)和正、和正、余弦余弦(或勾股或勾股)定理，以及數(shù)形結(jié)合思定理，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用想的應(yīng)用考點(diǎn)考點(diǎn)3與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題已知圓已知圓O：x2y28交交x軸于軸于A，B兩點(diǎn)，曲線兩點(diǎn)，曲線C是以是以AB為長(zhǎng)軸，直為長(zhǎng)軸，直線線l：x4為準(zhǔn)線的橢圓為準(zhǔn)線的橢圓例例3(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若若M是直線是直線l上的任意一點(diǎn)，以上的任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓為直徑的圓K與圓與圓O相交于相交于P，Q兩點(diǎn)兩點(diǎn)，求證：直線，求證：直線PQ必過(guò)定點(diǎn)必過(guò)定點(diǎn)E，并求出，并求出點(diǎn)點(diǎn)E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】解決橢圓綜合題往往解決橢圓綜合題往往要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，為避免較為復(fù)雜要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，為避免較為復(fù)雜的計(jì)算要注意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算或的計(jì)算要注意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算或韋達(dá)定理韋達(dá)定理(1)求橢圓求橢圓C的方程；的方程；(2)若圓若圓M與與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)是否存在定圓是否存在定圓N，使得圓，使得圓N與圓與圓M恒相切？若存在，求出圓恒相切？若存在，求出圓N的方程；的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)存在圓存在圓N：(x1)2y216與圓與圓M恒相切，圓心恒相切，圓心N為橢圓的左焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)F1.由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，|MF1|MF2|2a4，|MF1|4|MF2|.兩圓相內(nèi)切兩圓相內(nèi)切方法技巧方法技巧1橢圓的定義有兩種形式，習(xí)慣上稱橢圓的定義有兩種形式，習(xí)慣上稱為第一定義和第二定義在第一定義中為第一定義和第二定義在第一定義中，描述橢圓為，描述橢圓為“到兩定點(diǎn)的距離之和等到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡軌跡)”，其中限制，其中限制條件為條件為“兩定點(diǎn)間距離小于定長(zhǎng)兩定點(diǎn)間距離小于定長(zhǎng)”，這，這個(gè)定義中的條件是?？純?nèi)容；個(gè)定義中的條件是?？純?nèi)容；在第二定義中，描述橢圓為在第二定義中，描述橢圓為“到定點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù)和定直線的距離之比等于常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡”，其中定點(diǎn)和，其中定點(diǎn)和定直線被稱為橢圓的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線定直線被稱為橢圓的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線兩種定義形式各有側(cè)重，兩種定義形式各有側(cè)重， 前者對(duì)從圓到橢圓的過(guò)渡起到一定作用，容易形成距離之和為定值的“焦點(diǎn)三角形”；后者的作用是將兩種不同性質(zhì)的距離(到定點(diǎn)的距離，到定直線的距離)進(jìn)行了轉(zhuǎn)化(特別提示：“化斜為直”的應(yīng)用)因此，在解題中凡涉及點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，可先想到用定義來(lái)解決，往往有事半功倍之效2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義構(gòu)簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時(shí)要防止遺漏明確，在解題時(shí)要防止遺漏 并能熟練地應(yīng)用于解題若已知焦點(diǎn)在x軸或y軸上，則標(biāo)準(zhǔn)方程惟一；若無(wú)法確定焦點(diǎn)位置，則需考慮兩種形式3求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法定義外，常用待定系數(shù)法(先定性、再先定性、再定型、后定參定型、后定參)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，4熟練掌握常用基本方法的同時(shí)，注熟練掌握常用基本方法的同時(shí)，注意體會(huì)解題過(guò)程，并優(yōu)化解題思維，意體會(huì)解題過(guò)程，并優(yōu)化解題思維，特別是化簡(jiǎn)的過(guò)程需仔細(xì)揣摩特別是化簡(jiǎn)的過(guò)程需仔細(xì)揣摩失誤防范失誤防范1在橢圓類型不確定時(shí)，忘記討論在橢圓類型不確定時(shí)，忘記討論焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸和軸和y軸上兩種形式軸上兩種形式2直線與橢圓相交，聯(lián)立方程后，直線與橢圓相交，聯(lián)立方程后，判別式判別式0，此條件易漏掉，此條件易漏掉3橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2b，應(yīng)用時(shí)，錯(cuò)記為，應(yīng)用時(shí)，錯(cuò)記為a、b.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測(cè)命題預(yù)測(cè)本節(jié)內(nèi)容是高考必考內(nèi)容之一，對(duì)近幾本節(jié)內(nèi)容是高考必考內(nèi)容之一，對(duì)近幾年江蘇高考試題分析可以看出，對(duì)橢圓年江蘇高考試題分析可以看出，對(duì)橢圓的考查常在大題中，主要是以橢圓為載的考查常在大題中，主要是以橢圓為載體，利用橢圓的基本量及性質(zhì)，研究直體，利用橢圓的基本量及性質(zhì)，研究直線、圓等相關(guān)圖形的性質(zhì)及位置關(guān)系，線、圓等相關(guān)圖形的性質(zhì)及位置關(guān)系，難度中等偏難，對(duì)計(jì)算能力要求較高難度中等偏難，對(duì)計(jì)算能力要求較高，預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)2013年高考可能仍延續(xù)這一方年高考可能仍延續(xù)這一方向，但向量等知識(shí)和橢圓綜合考查的向，但向量等知識(shí)和橢圓綜合考查的命題趨勢(shì)較強(qiáng)應(yīng)予以高度關(guān)注命題趨勢(shì)較強(qiáng)應(yīng)予以高度關(guān)注規(guī)范解答規(guī)范解答例例 設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.【解解】由題設(shè)得由題設(shè)得A(3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則則PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由由PF2PB24，2分分得得(x2)2y2(x3)2y24， 得kMDkND，所以直線MN過(guò)D點(diǎn) 因此，直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1,0).16分【得分技巧得分技巧】解決本題的關(guān)鍵在于解決本題的關(guān)鍵在于(1)會(huì)用直接法求曲線的軌跡方程，會(huì)用直接法求曲線的軌跡方程，(2)會(huì)求兩曲線交點(diǎn)，會(huì)求兩曲線交點(diǎn)，(3)能發(fā)現(xiàn)能發(fā)現(xiàn)kMDkND.【失分溯源失分溯源】本題難度不大，但對(duì)本題難度不大，但對(duì)計(jì)算能力要求較高，本題絕大部分考計(jì)算能力要求較高，本題絕大部分考生失分都在計(jì)算不準(zhǔn)確生失分都在計(jì)算不準(zhǔn)確