第2課時(shí)平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示教材回扣夯實(shí)雙基教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使使_.其中不共線的向量其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底面內(nèi)所有向量的一組基底a1e12e20或或18090(2)平面向量的正交分解：把一個(gè)向量平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解向量正交分解(3)平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與系中，分別取與x軸、軸、y軸方向相同的軸方向相同的兩個(gè)單位向量?jī)蓚€(gè)單位向量i，j作為基底，由平面向作為基底，由平面向量基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量量基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成可表示成axiyj，由于，由于a與數(shù)對(duì)與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(_)叫做向量叫做向量a的坐標(biāo)，記作的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中其中x叫做叫做a在在x軸上的坐標(biāo)，軸上的坐標(biāo)，y叫做叫做a在在y軸上的坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)x，y(4)規(guī)定：規(guī)定：相等的向量坐標(biāo)相等的向量坐標(biāo)_，坐標(biāo)，坐標(biāo)_的向量是相等的向量；的向量是相等的向量；向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系與其相對(duì)位置有關(guān)系相同相同相同相同x1x2，y1y2x2x1，y2y1x1y2x2y10 課前熱身 1e1，e2是平面內(nèi)一組基底,那么() A若實(shí)數(shù)1，2，使1e12e20,則120 B空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù)) C對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi) D對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無(wú)數(shù)對(duì) 答案：A 2若三點(diǎn)A(2,3)，B(3，a)，C(4，b)共線，則有() Aa3，b5Bab10 C2ab3 Da2b0答案：答案：(1,2)(0，1)答案：答案：(4，2)考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)探究講練互動(dòng)平面向量的基本定理平面向量的基本定理例例1【題后感悟題后感悟】用向量基本定理解決用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.在基底未給出的情況下，合理地選取在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理 備選例題(教師用書(shū)獨(dú)具) 如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()例例【答案】【答案】D平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例例2 【解】由已知得a(5，5)， b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c 3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) 【題后感悟】(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，從而使幾何問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算 (2)兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同此時(shí)注意方程(組)思想的應(yīng)用例例平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算例例3 【題后感悟】向量平行(共線)的充要條件的兩種表達(dá)形式是：ab(b0)ab，或x1y2x2y10,至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定利用兩個(gè)向量共線的條件列方程(組)，還可求未知數(shù)的值 備選例題(教師用書(shū)獨(dú)具) 已知a(1,0)，b(2,1) (1)求|a3b|； (2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí),kab與a3b平行,平行時(shí)它們是同向還是反向？例例 方法技巧 對(duì)平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ) (2)平面向量的一組基底是兩個(gè)不共線向量,平面向量的基底可以有無(wú)窮多組 (3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式,是向量線性運(yùn)算知識(shí)的延伸 失誤防范 2平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0. ab的充要條件ab與x1y2x2y10在本質(zhì)上是相同的，只是形式上有差異. (2)要記準(zhǔn)坐標(biāo)公式特點(diǎn),不要用錯(cuò)公式考向瞭望把脈高考考向瞭望把脈高考 命題預(yù)測(cè) 從近幾年的高考試題來(lái)看，向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，屬于中、低檔題目，常與向量的數(shù)量積運(yùn)算等交匯命題，主 要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件的應(yīng)用.同時(shí)又注重對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法的考查 預(yù)測(cè)2013年高考仍將以向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示為主要考點(diǎn),重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與應(yīng)用能力 典例透析 (2010高考山東卷)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“ ”如下：對(duì)任意的a(m，n)，b(p，q), 令a bmqnp，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()例例 A若a與b共線，則a b0 Ba bb a C對(duì)任意的R，有(a) b(a b) D(a b)2(ab)2|a|2|b|2 【解析】若a與b共線， 則有a bmqnp0，故A正確； 因?yàn)閎 apnqm， 而a bmqnp， 所以只有當(dāng)mqnp0時(shí)， a bb a，故B錯(cuò)誤； (a) bmqnp(mqnp)(a b)，故C正確； (a b)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2 m2q2n2p2m2p2n2q2 (m2n2)(p2q2) |a|2|b|2，故D正確 【答案】B 【得分技巧】解答這類問(wèn)題時(shí)，要通過(guò)聯(lián)想類比，仔細(xì)分析題目中所提供的信息，找出其中與已學(xué)知識(shí)的相似性和一致性，把新問(wèn)題化歸為自己熟悉的問(wèn)題加以解決 【失分溯源】解答本題的失分點(diǎn)：一是不理解題中給出的運(yùn)算法則；二是題中運(yùn)算符號(hào)混用