第第11節(jié)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用節(jié)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用基 礎(chǔ) 梳 理 1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_；若f(x)0嗎？f(x)0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)極小值的概念滿足函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ；f(a) ；在點(diǎn)xa附近的左側(cè) ，右側(cè) ；則點(diǎn)xa叫做函數(shù)yf(x)的 ，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的 0f(x)0極小值點(diǎn)極小值小(2)函數(shù)極大值的概念滿足函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ；f(b) ；在點(diǎn)xb附近的左側(cè) ，右側(cè) ；則點(diǎn)xb叫做函數(shù)yf(x)的 ，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的 ；極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為 ，極小值與極大值統(tǒng)稱為 0f(x)0f(x)0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是_解析：f(x)3x2a，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，3x2a0在1，)上恒成立x1，)時(shí)，a(3x2)min3，a3.答案：3考 點(diǎn) 突 破 例1(2014安徽省六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR)，a為實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若f(x)在閉區(qū)間1,1上為減函數(shù)，求a的取值范圍思維導(dǎo)引(1)求導(dǎo)，由f(x)0可得單調(diào)增區(qū)間；(2)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為f(x)0在區(qū)間1,1上恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(x22x)ex，由f(x)0 x0或x0(或f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù)從而函數(shù)f(x)在x12處取得極大值f(2)21，在x21處取得極小值f(1)6. 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的極值的步驟：(1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)檢查f(x)在方程根的左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值如果左右符號(hào)相同，則在這個(gè)根處不存在極值即時(shí)突破2 (2013年高考新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ex.(1)求f(x)的極小值和極大值；(2)當(dāng)曲線yf(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，)f(x)exx(x2)，(*)令f(x)0得，x0或x2.當(dāng)x(，0)或x(2，)時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)在(，0)，(2，)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，即f(0)0.當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極大值，即f(2)4e2.例3(2012年高考重慶卷)已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點(diǎn)x2處取得極值c16.(1)求a、b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)思維導(dǎo)引(1)求f(x)；(2)由f(x)在x2處取得極值c16，列方程求得a，b.(3)由f(x)極大值為28，對(duì)f(x)求出其極大值，令其等于28求出c；(4)求f(x)在3,3上的最小值(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)16c，f(x)在x2處取得極小值f(2)c16.由題設(shè)條件知16c28，解得c12.此時(shí)f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值為f(2)4. 求函數(shù)f(x)在a，b上最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值，與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)所以函數(shù)f(x)在x1處取得最小值f(1)0.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用典題(13分)(2013年高考安徽卷，文20)設(shè)函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a0，區(qū)間Ix|f(x)0(1)求I的長度(注：區(qū)間(，)的長度定義為)；(2)給定常數(shù)k(0,1)，當(dāng)1ka1k時(shí)，求I長度的最小值答題模板失分警示第一步：求二次方程的根，寫出不等式的解集；第二步：求出區(qū)間I的長度；第三步：用d(a)表示I的長度，并求d(a)；第四步：討論d(a)的單調(diào)性；第五步：求函數(shù)d(a)在區(qū)間1k,1k上的最小值；第六步：寫出結(jié)論(1)不理解I的含義；(2)求錯(cuò)導(dǎo)數(shù)或單調(diào)區(qū)間；(3)不會(huì)利用單調(diào)性確定數(shù)值；(4)不會(huì)比較d(1k)和d(1k)的大??；(5)不寫結(jié)論