第二節(jié) 證明不等式的基本方法1.1.三個正數(shù)的算術(shù)三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式幾何平均值不等式(1)(1)如果如果a,b,cRa,b,cR+ +, ,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_3abc_3abc，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立時，等號成立. .(2)(2)如果如果a,b,ca,b,c_，那么，那么 _ _ 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立時，等號成立. .即：三個正數(shù)的算術(shù)平均值即：三個正數(shù)的算術(shù)平均值_它們的幾何平均值它們的幾何平均值. .a=b=ca=b=cR R+ +abc33abc，a=b=ca=b=c不小于不小于(3)(3)對于對于n n個正數(shù)個正數(shù)a a1 1,a,a2 2,，a an n，它們的算術(shù)平均值，它們的算術(shù)平均值_它們它們的幾何平均值，即的幾何平均值，即 _ _ 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立時，等號成立. .不小于不小于12naaann12na aa，a a1 1=a=a2 2=a=an n2.2.比較法比較法比較法是證明不等式最基本的方法，有作差比較法和作商比較比較法是證明不等式最基本的方法，有作差比較法和作商比較法兩種法兩種. .名稱名稱理論依據(jù)理論依據(jù)證明步驟證明步驟作差作差比較法比較法abab_;a_;ab0, 1b0, 1_;_;b1b1aba0a-b0a-b0a-bbababab3.3.綜合法與分析法綜合法與分析法(1)(1)綜合法：綜合法：一般地，從一般地，從_出發(fā)，利用出發(fā)，利用_、公理、公理、_、性質(zhì)、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的等，經(jīng)過一系列的_、_而得出命題成立，這種證明方而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法法叫做綜合法. .綜合法又叫綜合法又叫_或由因?qū)Чɑ蛴梢驅(qū)Ч? .已知條件已知條件定義定義定理定理推理推理論證論證順推證法順推證法(2)(2)分析法：分析法：證明命題時，從證明命題時，從_出發(fā)，逐步尋求使它成立的出發(fā)，逐步尋求使它成立的_，直至所需條件為，直至所需條件為_或或_(_(定定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等) )，從而得出要證的命題成，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法明方法. .要證的結(jié)論要證的結(jié)論條件條件已知條件已知條件一個明顯成立的事實一個明顯成立的事實充分充分4.4.反證法反證法(1)(1)假設(shè)要證的命題假設(shè)要證的命題_，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和_(_(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等) )矛矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明_，我們，我們把它稱為反證法把它稱為反證法. .(2)(2)證明步驟：反設(shè)證明步驟：反設(shè)歸謬歸謬肯定原結(jié)論肯定原結(jié)論. .不成立不成立命題的條件命題的條件原命題成立原命題成立5.5.放縮法放縮法(1)(1)證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值_或或_，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法稱為放縮法. .(2)(2)理論依據(jù)理論依據(jù)a ab,bb,bc ca_ca_c. .放大放大縮小縮小判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號內(nèi)打請在括號內(nèi)打“”或或“”).”).(1)(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.( ).( )(2)(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.( ).( )(3)(3)分析法又叫遞推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，分析法又叫遞推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實件或已被證明的事實.( ).( )(4)(4)使用反證法時，使用反證法時，“反設(shè)反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用不能作為推理的條件應(yīng)用.( ).( )(5)(5)放縮法就是把分式的分子放大，分母縮小放縮法就是把分式的分子放大，分母縮小.( ).( )【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .當(dāng)使用作商比較法時要判斷與當(dāng)使用作商比較法時要判斷與1 1的大小關(guān)系的大小關(guān)系才能得出結(jié)論才能得出結(jié)論. .(2)(2)正確正確. .根據(jù)綜合法的定義可得結(jié)論正確根據(jù)綜合法的定義可得結(jié)論正確. .(3)(3)錯誤錯誤. .根據(jù)分析法的定義，應(yīng)把根據(jù)分析法的定義，應(yīng)把“必要條件必要條件”改為改為“充分條充分條件件”才是正確的結(jié)論才是正確的結(jié)論. .(4)(4)錯誤錯誤. .根據(jù)反證法的定義，根據(jù)反證法的定義，“反設(shè)反設(shè)”能作為已知條件充分使能作為已知條件充分使用用. .(5)(5)錯誤錯誤. .不符合放縮法的定義不符合放縮法的定義. .答案答案: :(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4) (5) (5) 1.1.設(shè)設(shè)t=a+2b,s=a+bt=a+2b,s=a+b2 2+1+1，則，則s s與與t t的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( )( )(A)st (B)st (C)st (D)s(A)st (B)st (C)st (D)stbc,abc,則一定成立的不等式是則一定成立的不等式是( )( )(A)a|c|b|c| (B)ab(A)a|c|b|c| (B)abacac(C)a-|c|b-|c(C)a-|c|b-|c| (D) | (D) 【解析【解析】選選C.C.當(dāng)當(dāng)c=0c=0時，選項時，選項A A不成立；當(dāng)不成立；當(dāng)a0ab,ab,選項選項C C成立成立. .111abc3.3.已知已知0a,b0a,b10,y0, x0,y0, 則則P P，Q Q的大小關(guān)系的大小關(guān)系是是( )( )(A)P=Q (B)PQ(A)P=Q (B)PQ【解析【解析】選選B.B.即即PQ.P0)=3x+ (x0)的最小值為的最小值為_._.【解析【解析】 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即x=2x=2時等號成立時等號成立. .答案答案: :9 9212x 3222123x3x123x 3x 12f x3x39x22x22 x ，23x12,2x考向考向 1 1 用比較法證明不等式用比較法證明不等式【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013荊門模擬荊門模擬) )已知已知p=xp=x6 6+1,q=x+1,q=x4 4+x+x2 2,xR,xR，則，則有有( )( )(A)pq (B)p(A)pq (B)pqq(C)pq (D)p(C)pq (D)pqq,pqpq,pq, ,故選故選A.A.(2)(2)方法一方法一:M-N=:M-N=由已知由已知a a0,b0,b0 0且且abab1,1-ab1,1-ab0 0，即，即M MN.N.方法二方法二: 0a ,0ab: 0a ,0ab1,1,2ab2,a+b+2ab2+a+b,2ab2,a+b+2ab0,N0,MN.M0,N0,MN.答案答案: :M MN N11ab1a1b1a1b1 a1b1a1b2 1 ab,1a1bM2ab,Nab2ab1b2ab1.ab2ab(3)(3)方法一：方法一：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2) )=2x=2x3 3(x-1)-(x+1)(x-1)(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x=(x-1)(2x3 3-x-1)-x-1)=(x-1)(2x=(x-1)(2x3 3-2x+x-1)-2x+x-1)=(x-1)=(x-1)2x(x2x(x2 2-1)+(x-1)-1)+(x-1)=(x-1)=(x-1)2 2(2x(2x2 2+2x+1)+2x+1)=(x-1)=(x-1)2 22(x+ )2(x+ )2 2+ + 0,0,1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2. .1212方法二：方法二：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2) )=x=x4 4-2x-2x3 3+x+x2 2+x+x4 4-2x-2x2 2+1+1=(x-1)=(x-1)2 2x x2 2+(x+(x2 2-1)-1)2 200，1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2. .當(dāng)當(dāng)a=ba=b時，時，當(dāng)當(dāng)ab0ab0時，時， 1, 0, 1, 0, 當(dāng)當(dāng)ba0ba0時，時，0 1, 0, 0 1, 0, a bb aa bab222a b2a baab( ),baba b2a( )1b ；abab2a b2a( )1b ；abab2a b2a( )1.ba bab2a bab.【互動探究【互動探究】保持例保持例(3)(3)第第小題的條件不變小題的條件不變. .若若ab,ab,則則(a(a2 2+b+b2 2)(a-b)(a-b)與與(a(a2 2-b-b2 2)(a+b)(a+b)的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_._.證明證明a ab bb ba a【解析【解析】(a(a2 2+b+b2 2)(a-b)-(a)(a-b)-(a2 2-b-b2 2)(a+b)(a+b)=(a-b)=(a-b)(a(a2 2+b+b2 2)-(a+b)-(a+b)2 2=-2ab(a-b),=-2ab(a-b),又又0ab,-2ab0,a-b0,0ab,-2ab0,a-b0,-2ab(a-b)0,即即(a(a2 2+b+b2 2)(a-b)(a)(a-b)(a2 2-b-b2 2)(a+b).)(a+b).答案答案: :(a(a2 2+b+b2 2)(a-b)(a)(a-b)(a2 2-b-b2 2)(a+b)(a+b)a b2ab.當(dāng)當(dāng)a=ba=b時，時，當(dāng)當(dāng)ab0ab0時，時，0 1, 0 a0ba0時，時， 1, 1, a ba ba bbaba222a b2a bbab( ).aaba b2b( )1a ；baa b2abb0,( )1;2abaa b2abb0,( )1,2abaa bba2a b2a b1,a bab.ab即【拓展提升【拓展提升】1.1.作差比較法作差比較法(1)(1)作差比較法證明不等式的一般步驟作差比較法證明不等式的一般步驟作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個整體進(jìn)行作差；作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個整體進(jìn)行作差；變形：將差式進(jìn)行變形，化簡為一個常數(shù)，或通分，因式分變形：將差式進(jìn)行變形，化簡為一個常數(shù)，或通分，因式分解變形為若干個因式的積，或配方變形為一個或幾個平方和等；解變形為若干個因式的積，或配方變形為一個或幾個平方和等；判號：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的判號：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號；正負(fù)號；結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論. .(2)(2)作差比較法的應(yīng)用范圍作差比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法差比較法. .2.2.作商比較法作商比較法(1)(1)作商比較法證明不等式的一般步驟作商比較法證明不等式的一般步驟作商：將不等式左右兩邊的式子，進(jìn)行作商；作商：將不等式左右兩邊的式子，進(jìn)行作商；變形：將商式的分子放變形：將商式的分子放( (縮縮) )，分母不變，或分子不變，分母，分母不變，或分子不變，分母放放( (縮縮) )，或分子放，或分子放( (縮縮) )，分母縮，分母縮( (放放) )，從而化簡商式為容易和，從而化簡商式為容易和1 1比較大小的形式；比較大小的形式；判斷：判斷商與判斷：判斷商與1 1的大小關(guān)系，就是判斷商大于的大小關(guān)系，就是判斷商大于1 1或小于或小于1 1或或等于等于1 1；結(jié)論結(jié)論. .(2)(2)作商比較法的應(yīng)用范圍作商比較法的應(yīng)用范圍當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法作商比較法. .【提醒【提醒】在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號. .【變式備選【變式備選】(1)(1)求證求證:(x+1)(x:(x+1)(x2 2+ +1)+ +1)(x+ )(x(x+ )(x2 2+x+1).+x+1).【證明【證明】因為因為(x+1)(x(x+1)(x2 2+ +1)+ +1)=(x+1)(x=(x+1)(x2 2+x+1- )+x+1- )=(x+1)(x=(x+1)(x2 2+x+1)- (x+1),+x+1)- (x+1),(x+ )(x(x+ )(x2 2+x+1)+x+1)=(x+1- )(x=(x+1- )(x2 2+x+1)+x+1)=(x+1)(x=(x+1)(x2 2+x+1)- (x+x+1)- (x2 2+x+1).+x+1).x212x2x2x2121212作差得作差得(x+1)(x(x+1)(x2 2+ +1)-(x+ )(x+ +1)-(x+ )(x2 2+x+1)+x+1)=(x+1)(x=(x+1)(x2 2+x+1)- (x+1)-(x+1)(x+x+1)- (x+1)-(x+1)(x2 2+x+1)+ (x+x+1)+ (x2 2+x+1)+x+1)= (x= (x2 2+x+1)- (x+x+1)- (x2 2+x)= +x)= 0,0,(x+1)(x(x+1)(x2 2+ +1)+ +1)(x+ )(x(x+ )(x2 2+x+1).+x+1).x21212x212121212x2(2)(2)設(shè)設(shè)ab0ab0，求證：，求證：【證明【證明】方法一：方法一：ab0,ab0,左邊左邊- -右邊右邊= =故原不等式成立故原不等式成立. .2222abab.abab 22222abababab(ab)222ab ab0,abab方法二：方法二：且由且由ab0ab0，知，知22222222abababababababab22222abab2ab11,ab ab0,ab2222abab.abab考向考向 2 2 用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式【典例【典例2 2】已知已知a,b,ca,b,c0 0且互不相等且互不相等,abc,abc=1.=1.試證明試證明: :【思路點撥【思路點撥】本題可用本題可用abcabc=1=1代換代換 中的中的a,b,ca,b,c，然后，然后利用基本不等式證明或者利用基本不等式從右向左證明利用基本不等式證明或者利用基本不等式從右向左證明. .111abc.abca, b, c【規(guī)范解答【規(guī)范解答】方法一：方法一：a,b,ca,b,c0 0，且互不相等，且互不相等，abcabc=1=1，方法二：方法二：111111111bcacababcbcacab222111111,abc.abcabc即11122 c;abab11122 a;bcbc11122 b.caac以上三式相加，得以上三式相加，得又又a,b,ca,b,c互不相等互不相等, ,方法三方法三:a,b,c:a,b,c是互不相等的正數(shù)，且是互不相等的正數(shù)，且abcabc=1,=1,111abc.abc111abc.abc111abc.abc111bccacaabbccaababc22222abbcabca bcab cabc2，【拓展提升【拓展提升】綜合法證明時常用的不等式綜合法證明時常用的不等式(1)a(1)a2 20.0.(2)|a|0.(2)|a|0.(3)a(3)a2 2+b+b2 22ab2ab，它的變形形式有，它的變形形式有a a2 2+b+b2 22|ab|;a2|ab|;a2 2+b+b2 2-2ab;(a+b)-2ab;(a+b)2 24ab;4ab;a a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2; ;12222abab.22 （）(4) (4) 它的變形形式有它的變形形式有(5)(a(5)(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2. .abab,21aba2 a0 ;2 ab0 ;abaab2 ab0 .ba 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(1)(2013(1)(2013黃岡模擬黃岡模擬) )函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=)=g(xg(x)= (x0),)= (x0),則則f(xf(x) )與與g(xg(x) )的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( )( )(A)f(x)g(x) (B)f(x)g(x(A)f(x)g(x) (B)f(x)g(x) )(C)f(x)g(x) (D)f(x)g(x(C)f(x)2,x-20,(x-2)+ 2,x2,x-20,(x-2)+ 2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=3x=3時等號成時等號成立立,f(x)4.,f(x)4.又又x0,xx0,x2 2-2-2,-2-2,g(xg(x)= ( )= g(xf(x)g(x).).1xx21x21x22x212（ ）12(2)(2)已知已知a0,b0,c0a0,b0,c0，且，且a+b+ca+b+c=1=1，求證：，求證：abcabc 9; 9;ab+bc+caab+bc+ca1;27111abc1;3abc3.【證明【證明】由已知得由已知得1=a+b+c1=a+b+cabc( )abc( )3 3= =a+b+ca+b+c=1,=1,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= a=b=c= 時取等號，時取等號， 9.9.33 abc,131.27bacacb3()()()32229,abacbc111abcabcabcabcabc13111abca+b+ca+b+c=1,=1,aa2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)=1(+2(ab+bc+ca)=1(* *) )又又a a2 2+b+b2 2+c+c2 2= = (a(a2 2+b+b2 2)+(b)+(b2 2+c+c2 2)+(c)+(c2 2+a+a2 2) )ab+bc+caab+bc+ca, ,(* *) )式變?yōu)槭阶優(yōu)?ab+bc+ca+2(ab+bc+ca),1ab+bc+ca+2(ab+bc+ca),即即ab+bc+caab+bc+ca121.3a0,b0,c0,a+b b+c c+aa0,b0,c0,a+b b+c c+a 三式相加得三式相加得2(a+b+c)2(a+b+c)兩邊同加兩邊同加a+b+ca+b+c得得3(a+b+c)a+b+c+ 3(a+b+c)a+b+c+ 又又a+b+c=1,3a+b+c=1,32 ab,2 bc,2 ca，2 ab2 bc2 ca，2 ab2 bc2 ca2abc，2abc，abc3.考向考向 3 3 用分析法證明不等式用分析法證明不等式【典例典例3 3】(2013(2013十堰模擬十堰模擬) )設(shè)設(shè)a,b,c0a,b,c0，且，且ab+bc+ca=1.ab+bc+ca=1.求證：求證：(1)a+b+c(1)a+b+c(2) (2) 【思路點撥【思路點撥】(1)(1)不好直接用比較法和綜合法，可選擇用分析不好直接用比較法和綜合法，可選擇用分析法證明法證明.(2).(2)先將不等式左邊通分變形后利用分析法證明，注意先將不等式左邊通分變形后利用分析法證明，注意使用使用(1)(1)中已證得的結(jié)論中已證得的結(jié)論. .3.abc3abc .bcacab【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)要證要證a+b+ca+b+c由于由于a,b,ca,b,c0,0,因此只需證明因此只需證明(a+b+c)(a+b+c)2 23.3.即證：即證：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)3,+2(ab+bc+ca)3,而而ab+bc+caab+bc+ca=1=1，故需證明：故需證明：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).3,即證：即證：a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.而這可以由而這可以由ab+bc+caab+bc+ca =a =a2 2+b+b2 2+c+c2 2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=ca=b=c時等號成立時等號成立) )證得證得. .原不等式成立原不等式成立. .(2)(2)在在(1)(1)中已證中已證a+b+ca+b+c222222abbcca222abcabc.bcacababc3,因此要證原不等式成立，因此要證原不等式成立，只需證明只需證明即證即證即證即證而而 ab+bc+caab+bc+ca( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= a=b=c= 時等號時等號成立成立).).原不等式成立原不等式成立. .1abcabc，a bcb acc ab1,a bcb acc ababbcca.abaca bcab ac,2abbcbcacb ac,c ab.22a bcb acc ab33【拓展提升【拓展提升】 1.1.用分析法證用分析法證“若若A A則則B”B”這個命題的模式這個命題的模式為了證明命題為了證明命題B B為真，為真，只需證明命題只需證明命題B B1 1為真，從而有為真，從而有只需證明命題只需證明命題B B2 2為真，從而有為真，從而有只需證明命題只需證明命題A A為真，而已知為真，而已知A A為真，故為真，故B B必真必真. .2.2.分析法的應(yīng)用分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆步必須可逆. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】1.1.已知已知m0,m0,求證：求證： 22222ambamb1 ().1m1m112m2m2. mm【證明【證明】(1)(1)因為因為m0,m0,所以所以1+m0.1+m0.所以要證所以要證即證即證(a+mb)(a+mb)2 2(1+m)(a(1+m)(a2 2+mb+mb2 2),),即證即證m(am(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)0)0，即證，即證(a-b)(a-b)2 20,0,而而(a-b)(a-b)2 200顯然成立，顯然成立，故故222ambamb(),1m1m222ambamb().1m1m(2)(2)因為因為m0m0，所以為了證明，所以為了證明只需證明只需證明即只需證明即只需證明即即即只需證明即只需證明2211m2m2,mm2211m2m2,mm222211( m2)(m2) ,mm2222221111m4 m4m2 2(m)4,mmmm22112 m2(m).mm只需證明只需證明即即因為因為 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)m=1m=1時，等號成立，時，等號成立，所以所以2222114(m)2(m2)mm，221m2.m222211m2 m2mm ，2211m2m2. mm2.2.已知不等式已知不等式|x+1|+|x-2|m|x+1|+|x-2|m的解集是的解集是R.R.(1)(1)求實數(shù)求實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)在在(1)(1)的條件下，當(dāng)實數(shù)的條件下，當(dāng)實數(shù)m m取得最大值時，試判斷取得最大值時，試判斷 是否成立？并證明你的結(jié)論是否成立？并證明你的結(jié)論. .67m10【解析【解析】(1)(1)由絕對值不等式性質(zhì)知：由絕對值不等式性質(zhì)知：|x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3|x+1|+|x-2|x+1+2-x|=3對對xRxR恒成立恒成立. .故故|x+1|+|x-2|m|x+1|+|x-2|m的解集為的解集為R R，只需，只需m3m3即可，即可，mm的取值范圍是的取值范圍是(-,3(-,3. .(2)(2)由由(1)(1)知實數(shù)知實數(shù)m m的最大值為的最大值為3,3,當(dāng)當(dāng)m=3m=3時，不等式時，不等式 成立成立. .證明如下：證明如下：要使要使 成立成立, ,只需只需等價于等價于 等價于等價于等價于等價于42304230，而，而42304230顯然成立，故所證不等式成立顯然成立，故所證不等式成立. .67m106731022( 67)( 310)132 42132 30,4230,考向考向 4 4 用反證法或放縮法證明不等式用反證法或放縮法證明不等式【典例【典例4 4】(1)(1)已知已知 n1n1且且nNnN+ +, ,則有則有( )( )(A)PQ (B)PQ(A)PQ (B)PQ(C)PQ (D)PQ(C)PQ.PQ.(2)(2)方法一方法一: :假設(shè)假設(shè)a+ba+b2,2,而而2112n1 2n12n111112n1 2n12 2n12n1()，1 111111P1()2 35572n12n1 1 11711()Q,2 32n162 2n1 222213aabb(ab)b0.24但取等號的條件為但取等號的條件為a=b=0,a=b=0,顯然不可能顯然不可能, ,aa2 2-ab+b-ab+b2 20,0,則則a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2) )2(a2(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.1.1+ab1+aba a2 2+b+b2 22ab.2ab.從而從而abab1.1.aa2 2+b+b2 21+ab1+ab2,2,(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab2+2ab2+2ab4.4.a+ba+b2.2.這與假設(shè)矛盾，故這與假設(shè)矛盾，故a+b2.a+b2.方法二方法二: :假設(shè)假設(shè)a+ba+b2 2，則，則a a2-b,2-b,故故2=a2=a3 3+b+b3 3(2-b)(2-b)3 3+b+b3 3，即，即2 28-12b+6b8-12b+6b2 2, ,即即(b-1)(b-1)2 20 0，這不可能，從而，這不可能，從而a+b2.a+b2.方法三方法三: :假設(shè)假設(shè)a+ba+b2,2,則則(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+b+b3 3+3ab(a+b)+3ab(a+b)8.8.由由a a3 3+b+b3 3=2,=2,得得3ab(a+b)3ab(a+b)6.6.故故ab(a+bab(a+b) )2.2.又又a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=2.)=2.ab(a+b)ab(a+b)(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),aa2 2-ab+b-ab+b2 2ab,ab,即即(a-b)(a-b)2 20.0.這不可能，故這不可能，故a+b2.a+b2.【拓展提升【拓展提升】 1.1.適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題(1)(1)結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)( (如所證結(jié)論涉及如所證結(jié)論涉及“不可不可能能”“”“不是不是”等字眼等字眼) )的一類命題的一類命題. .(2)(2)關(guān)于唯一性、存在性的命題關(guān)于唯一性、存在性的命題. .(3)(3)結(jié)論以結(jié)論以“至多至多”“”“至少至少”等形式出現(xiàn)的命題等形式出現(xiàn)的命題. .(4)(4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題. .2.2.常見的常見的“結(jié)論詞結(jié)論詞”與與“反設(shè)詞反設(shè)詞”結(jié)論詞結(jié)論詞反設(shè)詞反設(shè)詞結(jié)論詞結(jié)論詞反設(shè)詞反設(shè)詞至少有一個至少有一個一個也沒有一個也沒有對所有對所有x x成立成立存在某個存在某個x x不成立不成立至多有一個至多有一個至少有兩個至少有兩個對任意對任意x x不成立不成立存在某個存在某個x x成立成立至少有至少有n n個個至多有至多有n-1n-1個個p p或或q q至多有至多有n n個個至少有至少有n+1n+1個個p p且且q qpq且pq或3.3.用放縮法證明不等式的常用方法用放縮法證明不等式的常用方法(1)(1)添加或舍去一些項，如添加或舍去一些項，如a a2 2+a+1=(a+ )+a+1=(a+ )2 2+ (a+ )+ (a+ )2 2. .(2)(2)將分子或分母放大將分子或分母放大( (或縮小或縮小) )，如，如1212341222k1kkkkkk1 ；1222kk1kN ,k1 .kkkkk1(3)(3)利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若利用真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若0ab,m0a00，則，則 (4)(4)利用基本不等式，如利用基本不等式，如a a2 2+b+b2 22ab.2ab.(5)(5)利用絕對值不等式定理：利用絕對值不等式定理：|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|bb|a|+|b|.|.(6)(6)利用函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的單調(diào)性. .2211111111;.kk k1k1k kk k1kk122111111().kk1k1 k12 k1k1aam.bbm【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(1) (x0,y0,z0)(1) (x0,y0,z0)與與3 3的大的大小關(guān)系是小關(guān)系是( )( )(A)P3 (B)P=3(A)P3 (B)P=3(C)P3(C)P3【解析【解析】選選C.xC.x0,y0,z0,0,y0,z0,xyzPx1y1z1xyzx1y1z1P3.x1y1z1x1y1z1(2)(2013(2)(2013長沙模擬長沙模擬) )已知已知|a|b|a|b|, |, 則則m,nm,n之間的關(guān)系是之間的關(guān)系是_._.【解析【解析】|a|-|b|a|a|-|b|ab|a|+|bb|a|+|b|,|,m1n,m1n,即即mnmn. .答案答案: :mnmnababm,n,ababababm1,ababababn1,abab(3)(3)已知已知f(xf(x)=x)=x2 2+px+q+px+q，求證：，求證：f(1)+f(3)-2f(2)=2;f(1)+f(3)-2f(2)=2;|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于1.2【證明【證明】f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.用反證法證明用反證法證明. .方法一：假設(shè)方法一：假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于則有則有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2出現(xiàn)矛盾出現(xiàn)矛盾. .|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于中至少有一個不小于12，1.2方法二：假設(shè)方法二：假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 則有則有由由得得-4p-2,-4p-2,由由得得-6p-4.-6pf(|a-4|+1),f(|a|+3)f(|a-4|+1),試求實數(shù)試求實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍. . x1f xe2.718.eex2121f xf x0.xx【思路點撥【思路點撥】已已 知知 條條 件件條條 件件 分分 析析可把可把f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )進(jìn)行因式分進(jìn)行因式分解運算，因此也可判斷出函解運算，因此也可判斷出函數(shù)數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性x x1 1,x,x2 21,+)1,+)且且x x1 1xx2 2表示出表示出x x1 1x x2 2的范圍的范圍f(|a|+3)f(|a-4|+1)f(|a|+3)f(|a-4|+1)利用利用f(xf(x) )的單調(diào)性得含有兩的單調(diào)性得含有兩個絕對值的不等式，再利用個絕對值的不等式，再利用“零點分類討論法零點分類討論法”求解求解 x1f xeex【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 2 2分分x x1 1,x,x2 21,+),x1,+),x1 1xx2 2, ,xx1 1x x2 210,10, 4 4分分 5 5分分212121212111xxf xf xxxxxe(xx )2112211(1) xxx xe xx12121 x x1ex.x()1212x x10 x x,2121f xf x0.xx(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，f(xf(x) )在在1 1，+)+)上為單調(diào)增函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù). .6 6分分|a|+31,|a-4|+11|a|+31,|a-4|+11且且f(|a|+3)f(|a-4|+1)f(|a|+3)f(|a-4|+1)，|a|+3|a-4|+1.|a|+3|a-4|+1.8 8分分當(dāng)當(dāng)a0a0時，時，-a+34-a+1,-a+34-a+1,35,a 35,a 9 9分分;當(dāng)當(dāng)0a40a4-a+1,a1,1a4-a+1,a1,1aa-4+1,3-3,a+3a-4+1,3-3,a4.a4.1111分分綜上所述，綜上所述，a1.a1.1212分分【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(2013廣州模擬廣州模擬) )已知已知a,ba,b均為正數(shù)，均為正數(shù)，x=ax=a5 5+b+b5 5,y=a,y=a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3，則有則有( )( )(A)xy (D)xy(A)xy (D)xy【解析【解析】選選D.x-yD.x-y=a=a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=a)=a5 5-a-a3 3b b2 2+b+b5 5-a-a2 2b b3 3=a=a3 3(a(a2 2-b-b2 2)+b)+b3 3(b(b2 2-a-a2 2) )=(a=(a2 2-b-b2 2)(a)(a3 3-b-b3 3)=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)2 2(a(a2 2+ab+b+ab+b2 2),),a0,b0,a0,b0,a+b0,aa+b0,a2 2+ab+b+ab+b2 20,(a-b)0,(a-b)2 20,0,(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2(a(a2 2+ab+b+ab+b2 2)0,)0,因此，因此，x-y0,xy.x-y0,xy.2.(20132.(2013云浮模擬云浮模擬) )設(shè)設(shè)0ab0ab，且，且f(xf(x)= )= 則下列結(jié)論則下列結(jié)論中正確的是中正確的是( )( )(A)f(a(A)f(a)f( )f( )f( )f( )(B)f( )f(b(B)f( )f(b)f( )f( )(C)f( )f( )f(a(C)f( )f( )f(a) )(D)f(b(D)f(b)f( )f( )f( )f( )x1xx，ab2abab2ab2ab2ababab【解析【解析】選選D.f(xD.f(x)= )= 在在(0,+)(0,+)上是關(guān)上是關(guān)于于x x的減函數(shù)的減函數(shù). .因為因為0ab0ab，據(jù)不等式性質(zhì)及基本不等式，得，據(jù)不等式性質(zhì)及基本不等式，得 所以所以f(bf(b)f( )f( )f( )f( )，故選，故選D.D.2x1x111xxx abbab,2ab2ab3.(20133.(2013深圳模擬深圳模擬) )記記 則則S S與與1 1的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( )( )(A)S1 (B)S1 (D)S1(A)S1 (B)S1 (D)S1【解析【解析】選選B.B.用放縮法，用放縮法，101010111111S2212221，101011,212101011,22211101010111,212212101010111010101111111S1.22122212224.(20134.(2013恩施模擬恩施模擬) )已知已知|a+b|-c(a,b,cR|a+b|-c(a,b,cR) )，給出下列不等，給出下列不等式：式：a-b-c;a-b+c;a-b+c;ab-cab-c; ;|a|b|-c;|a|b|-c;|a|-|b|-c|a|-|b|-c. .其中一定成立的不等式是其中一定成立的不等式是_.(_.(把所有成立的不等式的序號把所有成立的不等式的序號都填上都填上) )【解析【解析】|a+b|-c,ca+b|a+b|-c,ca+b-c.-c.-b+ca-b-c-b+ca-b-c. .故故成立成立. .|a+b|-c,|a+b|a|-|b|a+b|-c,|a+b|a|-|b|,|,|a|-|b|-c|a|-|b|-c，|a|b|-c|a|0,a- 0,a3 3+b+b3 3- 0,- 0,|a|a2 2b+abb+ab2 2- |-|a- |-|a3 3+b+b3 3- |- |=a=a2 2b+abb+ab2 2- -a- -a3 3-b-b3 3+ =a+ =a2 2b+abb+ab2 2-a-a3 3-b-b3 3=a=a2 2(b-a)+b(b-a)+b2 2(a-b)=-(a+b)(a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)2 20,0,所以所以|a|a2 2b+abb+ab2 2- |- |a|a3 3+b+b3 3- |,- |,即即a a2 2b+abb+ab2 2比比a a3 3+b+b3 3接近接近 . .2ab ab,2ab ab,2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab2ab ab1.1.如果正數(shù)如果正數(shù)a,b,c,da,b,c,d滿足滿足a+b=cda+b=cd=4=4，那么，那么( )( )(A)abc+d(A)abc+d，且等號成立時，且等號成立時,a,b,c,d,a,b,c,d的取值唯一的取值唯一(B)abc+d(B)abc+d，且等號成立時，且等號成立時,a,b,c,d,a,b,c,d的取值唯一的取值唯一(C)abc+d(C)abc+d, ,且等號成立時且等號成立時,a,b,c,d,a,b,c,d的取值不唯一的取值不唯一(D)abc+d(D)abc+d，且等號成立時，且等號成立時,a,b,c,d,a,b,c,d的取值不唯一的取值不唯一【解析【解析】選選A.aA.a0,b0,a+b=4,0,b0,a+b=4,ab( )ab( )2 2=( )=( )2 2=4=4，即，即ab4 ab4 , ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2a=b=2時，等號成立時，等號成立. .又又c0,d0,cd=4,c0,d0,cd=4,c+dc+d =4, =4,即即c+d4 c+d4 , ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2c=d=2時等號成立，時等號成立，由由可知可知ab4c+dab4c+d且等號成立時且等號成立時,a,b,c,d,a,b,c,d的取值唯一，均的取值唯一，均等于等于2.2.ab2422 cd2 42.2.若若f(xf(x)= )= 且記且記A=4logA=4loga a(x-1),B=4+(x-1),B=4+logloga a(x-1)(x-1)2 2，若若a a1 1，則，則 與與1 1的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.【解析【解析】f(xf(x)= )= 的定義域為的定義域為x|xx|x33，又又a a1 1，AA0,B0,B0.0.又又B-A=B-A=logloga a(x-1)-2(x-1)-22 20,BA,0,BA,即即 1.1.答案答案: : 1123xx3，ABABAB23xx3