第第3講萬有引力定律及其應(yīng)用講萬有引力定律及其應(yīng)用 知識建構(gòu)技能建構(gòu)一、開普勒行星運動定律定律內(nèi)容圖示開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點上知識建構(gòu)技能建構(gòu)定律內(nèi)容圖示開普勒第二定律(面積定律)對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等,即=k32aT(續(xù)表)知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)開普勒第三定律中的k是一個與運動天體無關(guān)的量,它只與被環(huán)繞的中心天體有關(guān),取決于中心天體的質(zhì)量.二、萬有引力定律注意:(1)開普勒定律雖然是根據(jù)行星繞太陽的運動總結(jié)出來的,但也適用于衛(wèi)星、飛船繞行星的運動.知識建構(gòu)技能建構(gòu)2.公式:F=G,其中G=6.6710-11 Nm2/kg2叫做引力常量.引力方向:沿兩質(zhì)點的連線指向施力物體.122m mr1.內(nèi)容: 自然界中任何兩個物體間都是相互吸引的,引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比,跟它們之間距離的二次方成反比.知識建構(gòu)技能建構(gòu)3.適用條件:公式適用于質(zhì)點間的相互作用,當(dāng)兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時,物體可視為質(zhì)點.兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力可用公式求解,式中r即兩球心之間的距離;一個均勻球體與球外一質(zhì)點間的萬有引力亦可用上式求解,r即質(zhì)點到球心的距離.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)萬有引力常量是宇宙普適恒量.它在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1 kg的物體相距1 m時相互吸引力的大小,G值十分微小,表明通常情況下,一般兩物體之間的萬有引力非常小,但在質(zhì)量巨大的天體之間,萬有引力具有較大的數(shù)值.4.引力常量(2)在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年后,英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置巧妙地測出了引力常量,為萬有引力定律的實際應(yīng)用起到實質(zhì)性的作用.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(3)萬有引力定律的“四性”相互性:萬有引力同樣遵循牛頓第三定律,質(zhì)量很大和質(zhì)量很小的物體間的相互吸引力大小是相等的.普適性:存在于任何兩個有質(zhì)量的物體之間.客觀性:正常情況下,F引很小,一般涉及天體運動時,才考慮萬有引力.特殊性:F引與m1、m2、r有關(guān),與空間性質(zhì)無關(guān),與周圍有無其他物體無關(guān).知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.關(guān)于行星繞太陽運動的下列說法中正確的是( )A.所有行星都在同一橢圓軌道上繞太陽運動B.所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等C.離太陽越近的行星運動周期越大D.行星繞太陽運動時太陽位于行星軌道的中心處【解析】所有行星都沿不同的橢圓軌道繞太陽運動,太陽位于橢圓軌道的一個公共焦點上,故A、D均錯誤;由開普勒第三定律知,所有行星的軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等,而且半長軸越大,行星運動周期越大,B正確,C錯誤.【答案】B知識建構(gòu)技能建構(gòu)2.設(shè)地球表面的重力加速度為g,物體在距地心4R(R是地球半徑)處,由于地球的引力作用而產(chǎn)生的重力加速度為g,則為( )A.1B.C.D. 【解析】因為g=G,g=G ,所以=,即D選項正確.【答案】Dgg19141162MR2(3 )MRRgg116知識建構(gòu)技能建構(gòu)3.(2012年石景山模擬)我國月球探測計劃“嫦娥工程”已經(jīng)啟動,科學(xué)家對月球的探索會越來越深入.2009年下半年發(fā)射了“嫦娥1號”探月衛(wèi)星,2010年又發(fā)射了“嫦娥2號”.(1)若已知地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運動的周期為T,月球繞地球的運動近似看作勻速圓周運動,試求出月球繞地球運動的軌道半徑.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)若宇航員隨登月飛船登陸月球后,在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個小球,經(jīng)過時間t,小球落回拋出點.已知月球半徑為r,引力常量為G,試求出月球的質(zhì)量M月.【解析】(1)根據(jù)萬有引力定律和向心力公式:G=M月()2rmg=G 解得:r=.2M Mr月2T2MmR2232gR T4知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)設(shè)月球表面處的重力加速度為g月,根據(jù)題意:v0=g月 mg月=G 解得:M月=.【答案】(1) (2) 2t2M mr月202v rGt2232gR T4202v rGt知識建構(gòu)技能建構(gòu)4.中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果,它的密度很大.現(xiàn)有一中子星,觀測到它的自轉(zhuǎn)周期T= s.問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定,不致因自轉(zhuǎn)而瓦解.計算時星體可視為均勻球體.(引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2 )【解析】設(shè)中子星的密度為,質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為,位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m,則有 =m2R= M=R31302GMmR2T43知識建構(gòu)技能建構(gòu)由以上各式得= 代入數(shù)據(jù)解得:=1.271014 kg/m3.【答案】1.271014 kg/m3 23GT知識建構(gòu)技能建構(gòu)一、萬有引力與重力的關(guān)系例1據(jù)報道,最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星,其質(zhì)量為地球質(zhì)量的6.4倍,一個在地球表面重為600 N的人在這個行星表面將變?yōu)橹?60 N.則該行星的半徑與地球半徑之比約為( )A.0.5 B.2 C.3.2 D.4知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】由題意可知地球表面的重力加速度與行星表面的重力加速度之比為=,由黃金代換可知:g地 =GM地,g行 =GM行可知=.【答案】B60096015242R地2R行RR行地21【名師點金】在忽略行星自轉(zhuǎn)的情況下,行星對人的萬有引力等于人所受到的重力.根據(jù)萬有引力定律列式,代入行星質(zhì)量之比,即可求得行星半徑之比.知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.重力是由萬有引力產(chǎn)生的,由于地球的自轉(zhuǎn),地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要向心力.重力實際上是萬有引力的一個分力.另一個分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要的向心力.如圖所示,由于緯度的變化,物體做圓周運動的向心力F也不斷變化,因而地球表面物體的重力隨緯度的變化而變化,即重力加速度g隨緯度變化而變化,從赤道到兩極逐漸增大.通常的計算中因重力和萬有引力相差不大,可認為兩者相等.即mg=G,g=G常用來計算星球表面重力加速度的大小.在地球的同一緯度上,g隨物體離地面高度的增大而減小,因為物體所受引力隨物體離地面高度的增大而減小,g=.注意:g=G和g=G不僅適用于地球,也適用于其他星球.2Mmr2Mr2()GMrh2Mr2()Mrh方法概述知識建構(gòu)技能建構(gòu)2.在赤道處,物體的萬有引力分解的兩個分力f向和mg剛好在一條直線上,則有F=f向+mg.所以,mg=F-f向=G -mR .2MmR2自(1)因地球自轉(zhuǎn)角速度很小,GmR,所以mg=(一般情況下不考慮自轉(zhuǎn)帶來的影響,認為重力等于萬有引力).2MmR2自2GMmR知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快,即由mg=G-mR知物體的重力將變小.當(dāng)mR=G時,mg=0,此時地球上的物體無重力,但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度自=,比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多,同學(xué)們可以自己計算其數(shù)值.二、萬有引力定律的直接應(yīng)用2MmR2自2自2MmR3MGR知識建構(gòu)技能建構(gòu)例2如圖所示,在一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖去一個半徑為的球形空穴后,對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大?2R知識建構(gòu)技能建構(gòu)【名師點金】把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質(zhì)點的引力之和.其中完整的均質(zhì)球體對球外質(zhì)點m的引力可以看成是F=G,M挖去球穴后的剩余部分對質(zhì)點的引力F1與半徑為的小球?qū)|(zhì)點的引力F2之和,即F=F1+F2.2Mmd2R知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】因半徑為的小球質(zhì)量M=()3=()3=M則F2=G=G 所以挖去球穴后的剩余部分對球外質(zhì)點m的引力F1=F-F2=G -G =GMm.【答案】GMm 2R432R432R3M4R3182()2M mRd 28()2MmRd 2Mmd28()2MmRd 22227828()2ddRRRdd22227828()2ddRRRdd知識建構(gòu)技能建構(gòu)例3中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預(yù)計在2017年送機器人上月球,實地采樣送回地球,為載人登月及月球基地選址做準備.設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行,飛船上備有以下實驗儀器:A.計時表一只;B.彈簧測力計一只;C.已知質(zhì)量為m的物體一個;D.天平一只(附砝碼一盒).在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月做勻速圓周運動,宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用時間為t,飛船的登月艙在月球上著陸后,遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行第二次測量,科學(xué)家利用上述兩次測量數(shù)據(jù)便可計算出月球的半徑和質(zhì)量.若已知引力常量為G,則:三、萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)試利用測量數(shù)據(jù)(用符號表示)求月球的半徑和質(zhì)量.【名師點金】萬有引力定律在天文上的典型應(yīng)用就是計算天體的質(zhì)量、密度、半徑,此時要緊扣兩個關(guān)鍵:一是緊扣一個物理模型,就是將天體(或衛(wèi)星)的運動看成是勻速圓周運動;二是緊扣一個物體做圓周運動的動力學(xué)特征,即天體(或衛(wèi)星)的向心力由萬有引力提供.(1)簡述機器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)在月球近地表面有:G=m()2RT= 在月球表面有:G=F則有R= ,M=.【答案】(1)見解析 (2)R= M= 2MmR2TtN2MmR222Ft4N m3 4443F t16N m222Ft4N m3 4443F t16N m【規(guī)范全解】(1)利用彈簧測力計測量物體m的重力F.知識建構(gòu)技能建構(gòu)1.基本方法:把天體(或人造衛(wèi)星)的運動看成勻速圓周運動,其所需的向心力由萬有引力提供.方法概述2.解決天體圓周運動問題的兩條思路(1)在地面附近萬有引力近似等于物體的重力,F引=mg,即G=mg,得GM=gR2.2MmR知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)天體運動都可以近似地看成勻速圓周運動,其向心力由萬有引力提供,即F引=F向.一般有以下幾種表達形式:G=m;G=m2r;G=mr.2Mmr2vr2Mmr2Mmr224T知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于G =mg,故天體質(zhì)量M=,天體密度= = .2MmR2gRGMV3M4R33g4 GR3.天體質(zhì)量和密度的計算知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T、軌道半徑r.由萬有引力等于向心力,即G=mr,得出中心天體質(zhì)量M=.若已知天體的半徑R,則天體的平均密度=.若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動,可認為其軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度=.可見,只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估測出中心天體的密度.說明:不考慮天體自轉(zhuǎn),對任何天體表面都可以認為mg=G,從而得出GM=gR2(通常稱為黃金代換).其中M為該天體的質(zhì)量,R為該天體的半徑,g為相應(yīng)天體表面的重力加速度.2Mmr224T2 324rGTMV3M4R33233 rGT R23GT2MmR知識建構(gòu)技能建構(gòu)例4宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng),四星系統(tǒng)離其他恒星較遠,通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上,均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動;另一種形式是有三顆星位于邊長為a的等邊三角形的三個項點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行,而第四顆星剛好位于三角形的中心不動.設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m.試求二種形式下,星體運動的周期T1和T2.四、雙星及多星問題知識建構(gòu)技能建構(gòu)【名師點金】本題用隔離法求解,即對其中的某星體進行研究,其他星球?qū)υ撔乔虻囊Φ暮狭μ峁┳鰣A周運動的向心力.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】對于第一種形式: 一個星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動,其軌道半徑為:r1=a由萬有引力定律和向心力公式得:G+2Gcos 45=ma 解得:T1=2a 對于第二種形式,其軌道半徑為:r2=a由萬有引力定律和向心力公式得:G+2Gcos 30=mr2 22222ma22ma222214T2(42)aGm33222mr22ma2224T知識建構(gòu)技能建構(gòu)解得周期:T2=2a.【答案】2a 2a 3(13)aGm2(42)aGm3(13)aGm知識建構(gòu)技能建構(gòu)(1)運動天體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供;方法概述解決此類雙星、三星、四星等多星天體的運動問題,要注意:(2)運動天體的角速度相等;(3)天體運動的軌道半徑不是天體間的距離,要利用幾何知識,尋找兩者之間的關(guān)系,正確計算萬有引力和向心力.知識建構(gòu)技能建構(gòu)變式訓(xùn)練兩個質(zhì)量均為m的物體,由輕質(zhì)硬桿相連,形如一個“啞鈴”,圍繞一個質(zhì)量為M的天體旋轉(zhuǎn),如圖所示,兩物體和天體質(zhì)心在一條直線上,兩物體分別以r1和r2為半徑繞M做圓周運動,兩物體成為了M的衛(wèi)星,已知引力常量為G,求此衛(wèi)星的運動周期.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】設(shè)輕質(zhì)硬桿對A、B的彈力大小均為F,則對A、B分別根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律可得:G-F-G =mr1 G+F+G =mr2 由以上各式得:T=2r1r2.【答案】2r1r2 21Mmr2221()mrr224T22Mmr2221()mrr224T122212()rrGM rr122212()rrGM rr知識建構(gòu)技能建構(gòu)高考真題1 (2011年高考福建理綜卷)“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星.若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期T,已知引力常量為G,半徑為R的球體體積公式V=R3,則可估算月球的( )A.密度 B.質(zhì)量 C.半徑 D.自轉(zhuǎn)周期43知識建構(gòu)技能建構(gòu)【解析提示】根據(jù)月球?qū)ο葘?dǎo)星的萬有引力提供向心力求解.【命題分析】本題以“嫦娥二號”為背景考查萬有引力定律的應(yīng)用.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】由萬有引力提供向心力,得:G =mR,解得M= ,根據(jù)=及V=R3,可求出密度= ,選項A正確.【答案】A2MmR224T2324RGTMV4323GT知識建構(gòu)技能建構(gòu)考向預(yù)測1“伽利略”號木星探測器,從1989年10月進入太空起,歷經(jīng)6年,行程37億千米,終于到達木星周圍.此后在t秒內(nèi)繞木星運行N圈后,對木星及其衛(wèi)星進行考察,最后墜入木星大氣層燒毀.設(shè)這N圈都是繞木星在同一個圓周上運行,其運行速率為v ,探測器上的照相機正對木星拍攝到整個木星時的視角為(如圖所示),設(shè)木星為一球體.求:知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)若人類能在木星表面著陸,至少以多大的速度將物體從其表面水平拋出,才不至于使物體再落回木星表面.【解析】(1)由v=得,r= 由題意T= 解得r=.2 rTvT2tNvt2 N(1)木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)探測器在圓形軌道上運行時G=m 從木星表面水平拋出,恰好不再落回木星表面時G=m 解得:v0=v由題意知R=rsin 解得:v0=.2Mmr2vr2m MR20vRrR2vsin2【答案】(1) (2) vt2 Nvsin2知識建構(gòu)技能建構(gòu)高考真題2 (2010年高考全國理綜卷)如圖所示,質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動,星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線,A和B分別在O的兩側(cè).引力常量為G.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)在地月系統(tǒng)中,若忽略其他星球的影響,可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運行的周期記為T1.但在近似處理問題時,常常認為月球是繞地心做圓周運動的,這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.981024 kg和7.351022 kg.求T2與T1兩者平方之比.(結(jié)果保留3位小數(shù))【命題分析】本題考查雙星的分析與計算,雙星系統(tǒng)在宇宙中是比較普遍的,如果兩顆星的質(zhì)量相差懸殊,如mM,則可以把大質(zhì)量星看作靜止的,小質(zhì)量星圍繞大質(zhì)量星運動.(1)求兩星球做圓周運動的周期.【解析提示】A和B繞O做勻速圓周運動,它們之間的萬有引力提供向心力,A和B有相同的角速度和周期.知識建構(gòu)技能建構(gòu)【規(guī)范全解】(1)A和B繞O點做勻速圓周運動,它們之間的萬有引力提供向心力,則A和B的向心力相等.且A和B和O始終共線,說明A和B有相同的角速度和周期.則有:m2r=M2R,r+R=L解得:R= L,r= L對A,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得: =m()2 L化簡得:T=2.mmMMmM2GMmL2TMMm3()LG Mm知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)將地月看成雙星,由(1)得:T1=2 將月球看做繞地心做圓周運動,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得: =m()2L化簡得:T2=2 所以兩種周期的平方比值為:()2= = =1.01.【答案】(1)T=2 (2)1.013()LG Mm2GMmL2T3LGM21TTmMM2422245.98 107.35 105.98 103()LG Mm知識建構(gòu)技能建構(gòu)考向預(yù)測2 (1)一物體靜置在某半徑為R的球形天體表面的赤道上,若當(dāng)該天體的自轉(zhuǎn)周期為T時,物體對天體表面的壓力恰好為零,已知引力常量為G,試求該天體的質(zhì)量.知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)對于第(1)問中天體,若該天體的自轉(zhuǎn)周期實為2T,試求該天體同步衛(wèi)星離地面的高度.【解析】(1)赤道表面的物體對天體表面的壓力為零,說明天體對物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉(zhuǎn)動所需要的向心力,有G=mR 解得:M=.22MmR224T2324RGT知識建構(gòu)技能建構(gòu)(2)設(shè)該天體同步衛(wèi)星離地面的高度為h,則根據(jù)牛頓第二定律可得:G =m(R+h) 解得:h=R.【答案】(1) (2)R2()MmRh2248T2324RGT知識建構(gòu)技能建構(gòu)