第五章數(shù)列第五章數(shù)列第五章數(shù)列第五章數(shù)列第1課時(shí)數(shù)列的概念第五章數(shù)列第五章數(shù)列回歸教材回歸教材 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1數(shù)列的定義數(shù)列的定義數(shù)列是按數(shù)列是按_排成的一列數(shù)，從排成的一列數(shù)，從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集或它的有限子集)的函數(shù)的函數(shù)f(n)，一定次序一定次序當(dāng)自變量當(dāng)自變量n從從1開始依次取正整數(shù)時(shí)所開始依次取正整數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，f(n)，.通常用通常用an代替代替f(n)于是數(shù)列于是數(shù)列的一般形式為的一般形式為a1，a2，an，簡記為簡記為_an2數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列一個(gè)數(shù)列an的第的第n項(xiàng)項(xiàng)an與與_之之間的間的_，如果可以用一個(gè)公式，如果可以用一個(gè)公式_來表示，我們把這個(gè)公式來表示，我們把這個(gè)公式_叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系anf(n)anf(n)思考探究思考探究數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎？如果有是惟一數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎？如果有是惟一的嗎？的嗎？提示：提示：數(shù)列不一定都有通項(xiàng)公式，只數(shù)列不一定都有通項(xiàng)公式，只要按一定次序排成的一列數(shù)就可以稱要按一定次序排成的一列數(shù)就可以稱之為一個(gè)數(shù)列因而排列成的這一列之為一個(gè)數(shù)列因而排列成的這一列“數(shù)數(shù)”，就不一定能寫出一個(gè)，就不一定能寫出一個(gè)an與與n的函數(shù)關(guān)系，而數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)的函數(shù)關(guān)系，而數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)也不一定是惟一的也不一定是惟一的3數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有數(shù)列的表示方法有_、_、_列舉法列舉法公式法公式法圖象法圖象法課前熱身課前熱身1(2012揚(yáng)州質(zhì)檢揚(yáng)州質(zhì)檢)下列說法不正確下列說法不正確的是的是_數(shù)列可以用圖象來表示；數(shù)列可以用圖象來表示；數(shù)列的通項(xiàng)公式不惟一；數(shù)列的通項(xiàng)公式不惟一；數(shù)列中的項(xiàng)不能相等；數(shù)列中的項(xiàng)不能相等；數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示答案：答案：答案：答案：234已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Snn22n2，nN*，則，則an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為_考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動(dòng)講練互動(dòng)根據(jù)下列各數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，根據(jù)下列各數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：例例1考點(diǎn)考點(diǎn)1由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式項(xiàng)公式(4)觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)，數(shù)列可改寫成：觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)，數(shù)列可改寫成：21,41,81,161,321，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n1.【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出其通項(xiàng)公式應(yīng)先觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)其通項(xiàng)公式應(yīng)先觀察哪些因素隨項(xiàng)數(shù)n的變化而變化，哪些因素不變；分析的變化而變化，哪些因素不變；分析符號(hào)、數(shù)字、字母與項(xiàng)數(shù)符號(hào)、數(shù)字、字母與項(xiàng)數(shù)n在變化過程在變化過程中的聯(lián)系，初步歸納出公式，再取中的聯(lián)系，初步歸納出公式，再取n的的特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，如果有誤差再做調(diào)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，如果有誤差再做調(diào)整整變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(1)如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)大會(huì)(簡稱簡稱ICME7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記去，記OA1，OA2，OAn，的的長度構(gòu)成數(shù)列長度構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的通項(xiàng)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為公式為an_.(2)下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_ 考點(diǎn)2利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例例2當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5.又又a11符合該式，符合該式，an6n5(nN*)【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】(1)已知已知an的前的前n項(xiàng)項(xiàng)和和Sn，求，求an時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)：應(yīng)重視分類討論的應(yīng)用，分應(yīng)重視分類討論的應(yīng)用，分n1和和n2兩種情況討論，特別注意用兩種情況討論，特別注意用anSnSn1時(shí)需時(shí)需n2.由由SnSn1an推得的推得的an，若當(dāng)，若當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1也適合也適合“an式式”，則需統(tǒng)一，則需統(tǒng)一“合寫合寫”由由SnSn1an推得的推得的an，若當(dāng)，若當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1不適合不適合“an式式”，則數(shù)列的，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫分寫”)，變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2已知下面各數(shù)列已知下面各數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的公式，求的公式，求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2；(3)Sn3an2.解：解：(1)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S11，當(dāng)當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.由于由于a1也適合此式，因此也適合此式，因此an4n5(nN*) 考點(diǎn)3數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例例3n9或或n10時(shí)，時(shí)，an最大，即數(shù)列最大，即數(shù)列an有最大項(xiàng)，此時(shí)有最大項(xiàng)，此時(shí)n9或或n10.當(dāng)當(dāng)n9時(shí)，時(shí)，an1an0，即，即an1an；當(dāng)當(dāng)n9時(shí)，時(shí)，an1an0，即，即an1an.故故a1a2a3a11a12，數(shù)列數(shù)列an中有最大項(xiàng)，為第中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)項(xiàng)【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，解題時(shí)注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)數(shù)，解題時(shí)注意函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想也是解題的常用方法用，轉(zhuǎn)化思想也是解題的常用方法(2)數(shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之?dāng)?shù)列的單調(diào)性是高考?？純?nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用作差法，作差法，作商法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法結(jié)合函數(shù)圖象等方法 0 x1故故02an120，an0，ann，nN*.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3(2012連云港調(diào)研連云港調(diào)研)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，已知已知a12，a23，當(dāng)，當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，an1是是anan 1的個(gè)位數(shù)，則的個(gè)位數(shù)，則 a2 0 1 32 0 1 3_. 解 析 ： 數(shù) 列解 析 ： 數(shù) 列 an的 前 幾 項(xiàng) 依 次 是的 前 幾 項(xiàng) 依 次 是2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8，去掉前兩，去掉前兩項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)周期為項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)周期為6的數(shù)列，的數(shù)列，2013233561，a20136.答案：答案：6方法技巧方法技巧1根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判定數(shù)列的單根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式判定數(shù)列的單調(diào)性調(diào)性(1)已知已知anf(n)，若，若f(n)的單調(diào)性可的單調(diào)性可以確定，則以確定，則an的單調(diào)性可以確定的單調(diào)性可以確定2求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見類型及其求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見類型及其方法方法(1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求其通項(xiàng)公式已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求其通項(xiàng)公式常用方法有：觀察分析法、逐差法、常用方法有：觀察分析法、逐差法、待定系數(shù)法、特殊數(shù)列法、轉(zhuǎn)化法、待定系數(shù)法、特殊數(shù)列法、轉(zhuǎn)化法、歸納遞推法等歸納遞推法等(2)已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)求通項(xiàng)(3)已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這類問題要求不高，主要掌握由這類問題要求不高，主要掌握由a1和和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想想an的方法，以及的方法，以及“化歸法化歸法”、“累累加法加法”等常見的解題規(guī)律有：等常見的解題規(guī)律有：anan1f(n)滿足一定規(guī)律時(shí)，可滿足一定規(guī)律時(shí)，可有有an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.an為周期數(shù)列，則周期為為周期數(shù)列，則周期為T(T為正為正整數(shù)整數(shù))時(shí)，時(shí)，ananT，可將，可將an轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為a1，a2，aT處理處理失誤防范失誤防范1在在an與與an1有關(guān)的遞推關(guān)系中，有關(guān)的遞推關(guān)系中，序號(hào)序號(hào)“n”的范圍易出錯(cuò)，如的范圍易出錯(cuò)，如an1中，中，n2，nN*，才有意義，才有意義考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測1在近幾年的江蘇高考中，本部分主在近幾年的江蘇高考中，本部分主要考查數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、求通項(xiàng)公式要考查數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、求通項(xiàng)公式、an與與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列、等的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列等求通項(xiàng)公式，比數(shù)列等求通項(xiàng)公式，或把數(shù)列看作是一種特殊的函數(shù)，結(jié)或把數(shù)列看作是一種特殊的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì)，如考合函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì)，如考查數(shù)列的最大項(xiàng)、通項(xiàng)或前查數(shù)列的最大項(xiàng)、通項(xiàng)或前n項(xiàng)和的最項(xiàng)和的最值問題值問題2預(yù)測預(yù)測2013年江蘇高考中仍重點(diǎn)關(guān)年江蘇高考中仍重點(diǎn)關(guān)注前注前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn和和an之間的相互轉(zhuǎn)化，但之間的相互轉(zhuǎn)化，但按新課標(biāo)的要求，考查的難度有可能按新課標(biāo)的要求，考查的難度有可能會(huì)適當(dāng)?shù)慕档蜁?huì)適當(dāng)?shù)慕档?典例透析 例例【答案答案】4【得分技巧得分技巧】解決本題的關(guān)鍵，抓解決本題的關(guān)鍵，抓住住ak是數(shù)列是數(shù)列an的最大項(xiàng)等價(jià)于對(duì)任的最大項(xiàng)等價(jià)于對(duì)任意意k2(kN*)，ak都比它的前后兩項(xiàng)都比它的前后兩項(xiàng)大，從而列出大，從而列出k的不等式，求出的不等式，求出k的范的范圍，再根據(jù)圍，再根據(jù)kN*，求出，求出k值值【失分溯源失分溯源】本題失分的主要原因本題失分的主要原因(1)不能把原題等價(jià)轉(zhuǎn)換成第不能把原題等價(jià)轉(zhuǎn)換成第k項(xiàng)比它項(xiàng)比它前后兩項(xiàng)都大前后兩項(xiàng)都大(2)不能正確解出所列的不等式組不能正確解出所列的不等式組