第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題. 1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線和此平面垂直相交(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)直線垂直于同一直線的兩平面2斜線和平面所成的角斜線和所成的銳角任意平行它在平面內(nèi)的射影3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：一個平面過另一個平面的，則這兩個平面垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于的直線垂直于另一個平面一條垂線交線4二面角的平面角從二面角的棱上一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱 的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角垂直1設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)l時，lm且ln.但當(dāng)lm，ln時，若m、n不是相交直線，則得不到l.答案：A2已知兩條直線m，n，兩個平面，給出下面四個命題：mn，mn，m，nmnmn，mn，mn，mn其中正確命題的序號是()A BC D解析：由線面垂直的性質(zhì)知正確；由面面平行的定義知，m、n可能平行，也可能異面，所以錯誤；對于中n也可能n，正確答案：D3設(shè)平面，且l，直線a，直線b，且a不與l垂直，b不與l垂直，則a與b()A可能垂直，不可能平行B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行D不可能垂直，也不可能平行解析：當(dāng)al，bl時，ab.假設(shè)ab，如右圖：過a上一點作cl，則c.bc.b.bl，與已知矛盾答案：B4三棱錐PABC的頂點P在底面的射影為O，若PAPBPC，則點O為ABC的_心，若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為ABC的_心解析：當(dāng)PAPBPC時，OAOBOC，O為外心當(dāng)PA、PB、PC兩兩垂直時，AOBC，BOAC，COAB.O為垂心答案：外垂5m、n是空間兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下面四個命題中，真命題的序號是_m，n，mn.mn，mn.mn，mn.m，mn，n.答案： 熱點之一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明直線和平面垂直的常用方法有1利用判定定理2利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)3利用面面平行的性質(zhì)(a，a)4利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直思路探究要證BD平面PAC，只需在平面PAC內(nèi)尋求兩相交直線與BD垂直，而PA顯然與BD垂直，故只需證BDAC.課堂記錄設(shè)AC與BD交于點E.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.即時訓(xùn)練 如右圖所示，P為ABC所在平面外一點，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求證：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PCEF.證明：(1)PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ABBC，ABPAA，BC平面PAB.(2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面PBC.(3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC，AFPC，AEAFA，PC平面AEF.而EF平面AEF，PCEF. 熱點之二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90)(2)面面垂直的判定定理(a，a)2關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶注意：在求平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，要熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件和轉(zhuǎn)化運用，這種轉(zhuǎn)化方法是本章內(nèi)容的顯著特征掌握轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類問題的關(guān)鍵例2(2010蘇北四市調(diào)研)如右圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，ABBC1，E、F、G分別為線段AC1、A1C1、BB1的中點，求證：(1)平面ABC平面ABC1；(2)FG平面AB1C1.思路探究(1)由面面垂直判定定理易證；(2)先證FGAC1，再證明BCB1C1，B1C1BE，B1C1平面ABC1可得FGB1C1，則結(jié)論得證課堂記錄(1)ABBC，BCBC1，ABBC1B，BC平面ABC1，又BC平面ABC，平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中，E、F分別為AC1、A1C1的中點，EFBG，且EFBG，連接BE，四邊形BEFG為平行四邊形，F(xiàn)GEB. ABBC1，E為AC1的中點，BEAC1，則FGAC1.BCAB，BCBC1，B1C1BC，B1C1AB，B1C1BC1，又ABBC1B，B1C1平面ABC1.BE平面ABC1，B1C1BE，則B1C1FG，AC1B1C1C1，F(xiàn)G平面AB1C1.即時訓(xùn)練 (2010湛江模擬)如右圖，已知三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB中點，D為PB中點，且PMB為正三角形(1)求證：DM平面APC；(2)求證：平面ABC平面APC.證明：(1)M為AB中點，D為PB中點，MDAP，又MD 平面APC，DM平面APC.(2)PMB為正三角形，且D為PB中點MDPB.又由(1)知MDAP，APPB.又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC，又ACBC，APACA，BC平面APC，BC面ABC，平面ABC平面PAC.熱點之三 線面角與二面角的求法高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一，有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查求這兩種空間角的步驟：根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)認(rèn)(指)求在客觀題中，也可用射影法：例3在三棱錐PABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(1)證明：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值思路探究(1)利用三角形中位線性質(zhì)線線線面面面；(2)利用定義作出二面角BAPC的平面角課堂記錄(1)證明：G、E、F分別為AP、AB、AC的中點，GFPC，EFBC，又GF 平面PBC，EF 平面PBC，PC平面PBC，BC平面PBC，GF平面PBC，EF平面PBC，又GFEFF，平面GFE平面PCB.(2)解：過C作CHAP交AP于點H，連接BH，PC、AC、BC兩兩垂直，BC平面APC，BCAP，又CHBCC，AP平面BHC，APBH，CHB就是二面角BAPC的平面角即時訓(xùn)練 已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()答案：B高考本節(jié)內(nèi)容主要考查線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，其中線面的垂直是考查的重點，難度以中等為主，高考多以解答題出現(xiàn)，且有多問從能力上看，主要考查學(xué)生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的能力所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.1(2010山東高考)在空間，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個平面平行C垂直于同一平面的兩個平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行解析：A項，平行直線的平行投影也可以是兩條平行線；B項，平行于同一直線的兩個平面可平行、可相交；C項，垂直于同一平面的兩個平面可平行、可相交；D項，正確答案：D解：(1)證明：連結(jié)EC，在RtPAE和RtCDE中PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，又APABA.BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF與平面BAP的夾角為45.