3 3.1 1.3 3復(fù)數(shù)的幾何意義1.掌握復(fù)數(shù)的幾何意義,即能夠掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,掌握向量、復(fù)數(shù)及復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.2.能夠利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決一些較簡單的題目.123123123【做一做1-1】 對于復(fù)平面,下列命題中是真命題的是 ()A.虛數(shù)集和各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的B.實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的C.實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二、三象限的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的D.實(shí)軸上方的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對應(yīng)的123解析：當(dāng)虛數(shù)為純虛數(shù)時(shí),所對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上,不屬于任何象限,因此選項(xiàng)A不正確;實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的,因此選項(xiàng)B不正確;實(shí)部是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,不屬于第二、三象限,因此選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D正確.答案：D123【做一做1-2】 設(shè)z=(2a2+5a-3)+(a2-2a+3)i(aR),則下列命題正確的是()A.z的對應(yīng)點(diǎn)Z在第一象限B.z的對應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限C.z不是純虛數(shù)D.z是虛數(shù)解析：由2a2+5a-3=(2a-1)(a+3),得其實(shí)部可正,可負(fù)也可以是零,而虛部a2-2a+3=(a-1)2+20,故z是虛數(shù).答案：D1232.復(fù)平面建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.x軸的單位是1,y軸的單位是i.實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn),原點(diǎn)(0,0)對應(yīng)復(fù)數(shù)0.名師點(diǎn)撥1.復(fù)數(shù)與向量建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是起點(diǎn)都是原點(diǎn).2.復(fù)數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件.123【做一做2】 下面有關(guān)復(fù)平面的命題,其中正確的有.(填序號)實(shí)軸與虛軸無交點(diǎn);實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù);實(shí)軸與虛軸的單位都是1;實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,純虛數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上.解析：由于實(shí)軸與虛軸相交于原點(diǎn),故錯(cuò);由于原點(diǎn)也在虛軸上,它與復(fù)數(shù)0對應(yīng),故不正確;虛軸的單位為i,所以錯(cuò);正確.答案：123123123【做一做3-1】 復(fù)數(shù)i+2i2的共軛復(fù)數(shù)是()A.2+i B.2-iC.-2+iD.-2-i解析：i+2i2=-2+i,其共軛復(fù)數(shù)是-2-i.答案：D123【做一做3-2】 滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是()A.一條直線 B.兩條直線C.圓D.橢圓121.如何理解復(fù)數(shù)的兩種幾何形式? 剖析：這種對應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁,使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決,而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法),增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑.12122.復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)有什么聯(lián)系? 題型一題型二題型三題型四復(fù)數(shù)的幾何表示 【例題1】 已知aR,則z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限?復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么?分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系知,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號有關(guān);求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題,首先把z表示成為z=x+yi(x,yR)的形式,然后尋求x,y之間的關(guān)系,但要注意參數(shù)限定的條件.題型一題型二題型三題型四解：a2-2a+4=(a-1)2+30,a2-2a+2=(a-1)2+10,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正,虛部為負(fù),即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.上述兩式相加,得x+y=2.又x=a2-2a+4=(a-1)2+33,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條射線,其方程為x+y-2=0(x3).題型一題型二題型三題型四共軛復(fù)數(shù) 【例題2】 已知x-1+yi與i-3x是共軛復(fù)數(shù),求實(shí)數(shù)x與y的值.分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x,y.解：因?yàn)閕-3x的共軛復(fù)數(shù)為-3x-i,所以x-1+yi=-3x-i,題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四復(fù)數(shù)的模 分析：根據(jù)模的定義及幾何意義來求解. 題型一題型二題型三題型四(2)由|z2|z|z1|,得1|z|2.因?yàn)閨z|1表示圓|z|=1上及其外部所有點(diǎn)組成的集合,|z|2表示圓|z|=2上及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合,所以符合題設(shè)條件的點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界),如圖.題型一題型二題型三題型四反思 復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí),應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,再利用公式進(jìn)行計(jì)算,復(fù)數(shù)的模可以比較大小.題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn):復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)的絕對值概念的擴(kuò)充,但在求解有關(guān)問題時(shí),不能當(dāng)成實(shí)數(shù)的“絕對值”加以求解,否則易丟解、漏解,造成答案不完整或錯(cuò)誤.題型一題型二題型三題型四123451若復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則()A.a0,b0,b0C.a0,b0D.a0答案：D1234512345123454復(fù)數(shù)z=1+itan 200的模是. 12345