第一部分教材梳理第第2節(jié)圖形的相似節(jié)圖形的相似第六章圖形與變換、坐標(biāo)第六章圖形與變換、坐標(biāo)知識(shí)梳理知識(shí)梳理概念定理概念定理 1. 比例的有關(guān)概念和性質(zhì)比例的有關(guān)概念和性質(zhì)（1）線段的比：兩條線段的長度之比叫做兩條線段的比.（2）比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比 那么這四條線段叫做成比例線段成比例線段，簡稱比例線段.（4）平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例成比例.推論：平行平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例成比例.（5）黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC，BC（ACBC），使得AC2ABBC，則點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn)，其中2. 相似圖形相似圖形（1）定義：形狀形狀相同的圖形叫做相似圖形.（2）性質(zhì)相似圖形的形狀必須完全相同完全相同.相似圖形的大小不一定相同不一定相同.兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等全等的，全等是相似的一種特殊情況.3. 相似多邊形相似多邊形（1）定義：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等相等，對(duì)應(yīng)邊成比例成比例，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比相似比.（3）相似比為1的相似多邊形是全等形全等形.（4）性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等相等；對(duì)應(yīng)邊成比例成比例；周長比等于相似比相似比，面積比等于相似比的平方相似比的平方.4. 相似三角形相似三角形（1）定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例成比例，對(duì)應(yīng)角相等相等，那么這兩個(gè)三角形相似相似.（2）相似三角形的判定基本定理：平行平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.判定定理1：三邊成比例三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.判定定理3：兩角分別相等兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.（3）相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相等，對(duì)應(yīng)邊成比例成比例.相似三角形的周長的比等于相似比相似比.相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線中線、對(duì)應(yīng)角平分線角平分線、對(duì)應(yīng)高高）的比都等于相似比相似比.相似三角形的面積的比等于相似比的平方相似比的平方.5. 圖形的位似圖形的位似（1）位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心位似中心.注意：兩個(gè)圖形必須是相似形相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同經(jīng)過同一點(diǎn)一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行平行.（2）位似圖形與坐標(biāo):在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k k或或- -k k.主要公式主要公式 如圖1-6-2-1，在RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則滿足ABCDBADAC，則有：AB2=BDBC；AD2=BDDC；AC2=CDBC. 方法規(guī)律方法規(guī)律 判定三角形相似的幾種思路方法判定三角形相似的幾種思路方法（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這是判定三角形相似的一種基本方法，當(dāng)已知條件中有平行線時(shí)可考慮采用此方法.這里，相似的基本圖形可分別記為“A”型（如圖1-6-2-2）和“X”型（如圖1-6-2-2），在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形.（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出三組邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可考慮證明三邊成比例.（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮找夾邊成比例；反之，若已知夾邊成比例，可考慮找夾角相等.（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.若已知條件中給出一對(duì)等角時(shí)，可考慮再找另一對(duì)等角.中考考點(diǎn)精講精練中考考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)考點(diǎn)1比例的有關(guān)概念和性質(zhì)比例的有關(guān)概念和性質(zhì)考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例【例1 1】如圖1-6-2-3，l1l2l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn). 已知 則 的值為（）考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2016蘭州）如圖1-6-2-4，在ABC中，DEBC，（）C2. （2016杭州）如圖1-6-2-5，已知直線abc，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若（）B考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練3. 的值為（）4. 已知點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)（ACBC），若AB=4 cm，則AC的長為（）DA5. 如圖1-6-2-6，ADBECF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)， DE=6，則EF=_.9考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題，難度較低. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于熟練掌握比例、平行線分線段成比例、黃金分割等的概念及性質(zhì)（相關(guān)要點(diǎn)詳見“知識(shí)梳理”部分）.考點(diǎn)考點(diǎn)2相似多邊形和相似比相似多邊形和相似比考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例【例2 2】兩個(gè)相似多邊形的面積比是916，其中較小多邊形的周長為36 cm，則較大多邊形的周長為（）A. 48 cm B. 54 cmC. 56 cm D. 64 cm思路點(diǎn)撥：根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可. 答案：A考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2014佛山）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為14，則它們的周長之比為（）A. 14 B. 12C. 21D. 41B考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練2. 如圖1-6-2-7，梯形ABCD中，ADBC，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AB，DC上. 若AE=4，EB=6，DF=2，F(xiàn)C=3，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則AD與BC的長度比為 （）A. 12B. 23C. 25 D. 49D考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題，難度較低. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握相似多邊形的概念和性質(zhì).注意以下要點(diǎn)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例（即相似比）；（2）相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.考點(diǎn)考點(diǎn)3相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例【例3 3】（2015佛山）如圖1-6-2-8所示，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的點(diǎn)，且AE=EF=FD. 連接BE，BF，使它們分別與AO相交于點(diǎn)G，H.（1）求EGBG的值；（2）求證：AG=OG；（3）設(shè)AG=a，GH=b，HO=c，求abc的值.思路點(diǎn)撥：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO= AC，AD=BC，ADBC，從而可得AEGCBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出EGBG的值；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GC=3AG，則有AC=4AG，從而可得AO= AC=2AG，即可得到GO=AO-AG=AG；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG= AO，AH= AC，結(jié)合AO= AC，即可得到a= AC，b= AC，c= AC，從而可得到abc的值.解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AO= AC，AD=BC，ADBC.AEGCBG.AE=EF=FD，BC=AD=3AE.GC=3AG，GB=3EG.EGBG=13.（2）GC=3AG，AC=4AG.AO= AC=2AG，GO=AO-AG=AG.考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2015廣東）若兩個(gè)相似三角形的周長比為23，則它們的面積比是_.2. （2016廣州）如圖1-6-2-9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C，與直線AD交于點(diǎn) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）.（1）求直線AD的解析式；（2）直線AD與x軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），當(dāng)BOD與BCE相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo). 4 9解：（解：（1 1）設(shè)直線）設(shè)直線ADAD的解析式為的解析式為y y= =kxkx+ +b b，（2）直線AD與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），OB=2. 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），OD=1. y=-x+3與x軸交于點(diǎn)C（3，0），OC=3. BC=5. BOD與BCE相似，3. （2015茂名）如圖1-6-2-10，RtABC中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3 cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 連接MN.（1）若BMN與ABC相似，求t的值；（2）如圖1-6-2-10，連接AN，CM，若ANCM，求t的值.ANANCMCM，ACBACB=90=90，CANCAN+ACMACM=90=90，MCDMCD+ACMACM=90=90. .CANCAN=MCDMCD. .MDMDCBCB，MDCMDC=ACBACB=90=90. .CANCANDCMDCM. .考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練4. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為23，那么這兩個(gè)相似三角形面積的比是（）A. 23 B. 23C. 49 D. 8275. 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為23，周長的和是20，則這兩個(gè)三角形的周長分別為（）A. 8和12B. 9和11 C. 7和13D. 6和14CA6. 如圖1-6-2-11，矩形ABCD中，AB=3，BC=10，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以A，P，B為頂點(diǎn)的三角形與PDC相似，則AP=_. 1或或5或或97. 如圖1-6-2-12，已知ABCADE，AB=30 cm，AD=18 cm，BC=20 cm，BAC=75，ABC=40.（1）求ADE和AED的度數(shù)；（2）求DE的長.解：（解：（1 1）BACBAC=75=75，ABCABC=40=40，C C=180=180-BACBAC-ABCABC=180=180-75-75- -4040=65=65. .ABCABCADEADE，ADEADE=ABCABC=40=40，AEDAED=C C=65=65. .（2 2）ABCABCADEADE，解得解得DEDE=12=12（cmcm）. .考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)的題型不固定，難度中等. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于熟練掌握相似三角形的性質(zhì)（相關(guān)要點(diǎn)詳見“知識(shí)梳理”部分）. 注意以下要點(diǎn)：兩個(gè)三角形相似，如果未指明哪一組邊是對(duì)應(yīng)邊，哪一對(duì)角是對(duì)應(yīng)角，則應(yīng)進(jìn)行分類討論，將各種可能的情況一一呈現(xiàn)出來，不遺漏、不偏頗地進(jìn)行求解或證明. 考點(diǎn)考點(diǎn)4相似三角形的判定相似三角形的判定考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例【例4 4】（2016齊齊哈爾）如圖1-6-2-13，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分別為點(diǎn)D，E，AD與BE相交于點(diǎn)F. （1）求證：ACDBFD；（2）當(dāng)tanABD=1，AC=3時(shí)，求BF的長. 思路點(diǎn)撥：（1）由C+DBF=90，C+DAC=90，推出DBF=DAC，由此即可得證； （2）先證明AD=BD，由ACDBFD，得 即可得解. （1）證明：ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90. C+DAC=90,C+DBF=90. DBF=DAC.ACDBFD.考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2016廣東）如圖1-6-2-14，O是ABC的外接圓，BC是O的直徑，ABC=30，過點(diǎn)B作O的切線BD，與CA的延長線交于點(diǎn)D，與半徑AO的延長線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點(diǎn)F. 求證：ACFDAE. 證明：證明：BCBC是是O O的直徑，的直徑，BACBAC=90=90. . ABCABC=30=30，ACBACB=60=60. . OAOA= =OCOC，AOCAOC=60=60. . AFAF是是O O的切線，的切線，OAFOAF=90=90. . AFCAFC=30=30. . DEDE是是O O的切線，的切線，DBCDBC=90=90. . D D=AFCAFC=30=30. . 又又DAEDAE=ACFACF=180=180-60-60=120=120，ACFACFDAEDAE. .2. （2016杭州）如圖1-6-2-15，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AED=B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且（1）求證：ADFACG；（2）（1 1）證明：）證明：AEDAED=B B，DAEDAE=DAEDAE，ADFADF=C C. . ADFADFACGACG. . （2 2）解：）解：ADFADFACGACG，考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練3. 如圖1-6-2-16，下列條件不能判定ADBABC的是（）A. ABD=ACB B. ADB=ABCC. AB2=ADAC D. D4. 如圖1-6-2-17，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B. 求證：ADFDEC.證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，ADADBCBC，ABABCDCD. . ADFADF=CEDCED，B B+C C=180=180. . AFEAFE+AFDAFD=180=180，AFEAFE=B B，AFDAFD=C C. . ADFADFDECDEC. . 5. 如圖1-6-2-18，點(diǎn)P是ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，射線CP交DA的延長線于點(diǎn)E，則圖中相似的三角形有（）A. 0對(duì)B. 1對(duì) C. 2對(duì)D. 3對(duì)D6. 已知如圖1-6-2-19，在ABC中，ABC=90，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E. 求證：ACAD=ABAE. 證明：如答圖證明：如答圖1-6-2-31-6-2-3，連接，連接DEDE. . AEAE是直徑，是直徑，ADEADE=90=90. . ABCABC=90=90, ,ADEADE=ABCABC. . 又又DAEDAE=BACBAC，ADEADEABCABC. . ACACADAD= =ABABAEAE. . 考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)的題型一般為解答題，難度中等偏高. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于熟練掌握并靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法（相關(guān)要點(diǎn)詳見“知識(shí)梳理”部分）.注意以下要點(diǎn)：相似三角形的判定問題常在三角形或圓的綜合題出現(xiàn)，無論怎樣出題，解題時(shí)關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件提供的信息，靈活選擇判定三角形相似的方法與思路，正確地證出三角形相似. 考點(diǎn)考點(diǎn)5圖形的位似圖形的位似考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講【例【例5 5】如圖1-6-2-20，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形ABCDE，已知OA=10 cm，OA=20 cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形ABCDE的周長的比值是_.思路點(diǎn)撥：由五邊形ABCDE與五邊形ABCDE位似，可得五邊形ABCDE五邊形ABCDE，又由OA=10 cm，OA=20 cm，即可求得其相似比，根據(jù)相似多邊形的周長比等于其相似比，即可得解.答案：12考題再現(xiàn)考題再現(xiàn)1. （2016十堰）如圖1-6-2-21，以點(diǎn)O為位似中心，將ABC縮小后得到ABC，已知OB=3OB，則ABC與ABC的面積比為（）A. 13B. 14 C. 15 D. 19D2. （2016威海）如圖1-6-2-22，直線 與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，BOC與BOC是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形，且相似比為13，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_. （-8，-3）或（）或（4，3）考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練3. 如圖1-6-2-23，ABC和A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點(diǎn)，AB=4，則A1B1的長為 （）A. 1B. 2 C. 4D. 84. 如圖1-6-2-24，以O(shè)為位似中心將四邊形ABCD放大后得到四邊形ABCD，若OA=4，OA=8，則四邊形ABCD和四邊形ABCD的周長的比為_. B1 2考點(diǎn)點(diǎn)撥：考點(diǎn)點(diǎn)撥：本考點(diǎn)的題型一般為選擇題或填空題，難度較低. 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握位似圖形的概念和性質(zhì)，同時(shí)抓住位似是相似的特殊形式. 注意以下要點(diǎn)：滿足：兩個(gè)圖形是相似形；兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行，這樣的兩個(gè)圖形才是位似圖形.課堂鞏固訓(xùn)練課堂鞏固訓(xùn)練1. 若xy=13，2y=3z，則 的值是（）2. 如圖1-6-2-25，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，若AC=2，則AD的長是（）AC3. 如圖1-6-2-26，直線l1l2l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn). AC與DF相交于點(diǎn)H，且AH=2，HB=1，BC=5，則 的值為（）4. 兩個(gè)相似多邊形的一組對(duì)應(yīng)邊分別是3 cm和4.5 cm，如果它們的面積之和是78 cm2，那么較大的多邊形的面積是（）A. 44.8 cm2B. 42 cm2C. 52 cm2D. 54 cm2DD5. 在ABC中，AC=6，AB=9，D是AC邊上一點(diǎn)，且ADDC=12，若E為AB邊上的點(diǎn)，ABC與以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形相似，則AE的長度為（）A. 3B. 4.5C. 43或3D. 2或4.56. （2016隨州）如圖1-6-2-27，D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，且DEAC，AE,CD相交于點(diǎn)O，若SDOESCOA=125，則SBDE與SCDE的比是（）A. 13B. 14C. 15D. 125CB7. （2016臨夏州）如圖1-6-2-28，已知ECAB，EDA=ABF. （1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）求證：OA2=OEOF.證明：（證明：（1 1）ECECABAB，EDAEDA=DABDAB. . EDAEDA=ABFABF，DABDAB=ABFABF. . ADADBCBC. . 又又DCDCABAB，四邊形四邊形ABCDABCD為平行四邊形為平行四邊形. . （2 2）ECECABAB，OABOABOEDOED. . ADADBCBC，OBFOBFODAODA. . OAOA2 2= =OEOEOFOF. .8. （2016懷化）如圖1-6-2-29，ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E,H分別在AB,AC上，已知BC=40 cm，AD=30 cm. （1）求證：AEHABC；（2）求這個(gè)正方形的邊長與面積. （1 1）證明：）證明：四邊形四邊形EFGHEFGH是正方形，是正方形，EHEHBCBC. . AEHAEH=B B，AHEAHE=C C. . AEHAEHABCABC. . （2 2）解：如答圖）解：如答圖1-6-2-41-6-2-4，設(shè)設(shè)ADAD與與EHEH交于點(diǎn)交于點(diǎn)M M. . EFDEFD=FEMFEM=FDMFDM=90=90，四邊形四邊形EFDMEFDM是矩形是矩形. . EFEF= =DMDM. . 設(shè)正方形設(shè)正方形EFGHEFGH的邊長為的邊長為x x，AEHAEHABCABC，正方形正方形EFGHEFGH的邊長為的邊長為 cmcm，面積為，面積為 cmcm2 2. .