4. 數(shù)列、不等式第四篇回歸教材，糾錯(cuò)例析，幫你減少高考失分點(diǎn)欄目索引要點(diǎn)回扣1 1易錯(cuò)警示2 2 查缺補(bǔ)漏3 3 要點(diǎn)回扣1.等差數(shù)列及其性質(zhì)(1)等差數(shù)列的判定：an1and(d為常數(shù))或an1ananan1 (n2).(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若公差d0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d0、0、0三種情況；在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況.在解一元二次不等式時(shí)，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合.問題5解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10).當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為 .解析答案6.處理二次不等式恒成立的常用方法(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此法.(2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零.(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來.(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握?qǐng)D形.問題6如果kx22kx(k2)0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.1k0 B.1k0C.1k0 D.1k0解析解析當(dāng)k0時(shí)，原不等式等價(jià)于20，顯然恒成立，所以k0符合題意.當(dāng)k0時(shí)，由題意得，解得1k0.所以1k0.解析7.利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正，二定，三相等”.常用技巧：(1)對(duì)不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊.(2)對(duì)已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元.(3)當(dāng)題中等號(hào)條件不成立，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值.解析所以log4(3a4b)log4(ab)，8.解決線性規(guī)劃問題有三步(1)畫：畫出可行域(有圖象).(2)變：將目標(biāo)函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離.(3)代：將合適的點(diǎn)代到原來目標(biāo)函數(shù)中求最值.利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類值域(最值)問題：(1)截距型：如求zyx的取值范圍.(2)條件含參數(shù)型：(4)距離型(圓半徑平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范圍.A.3 B.2C.2 D.3解析返回解析解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗(yàn)知x2，y0符合題意，所以2a04，此時(shí)a2.返回易錯(cuò)點(diǎn)1忽視等比數(shù)列中q的范圍例1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列an的公比q_. 易錯(cuò)警示解析易錯(cuò)分析答案1或1解析解析當(dāng)q1時(shí)，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立.當(dāng)q1時(shí)，由S3S6S9，q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.易錯(cuò)點(diǎn)2忽視分類討論易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析要去掉|an|的絕對(duì)值符號(hào)，要考慮an的符號(hào)，對(duì)n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.解析答案易錯(cuò)分析例2若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a121，公差d4，求：Sn|a1|a2|a3|an|.解解an214(n1)254n.當(dāng)n6時(shí)，Sk|a1|a2|an|a1a2an2n223n；當(dāng)n7時(shí)，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.易錯(cuò)點(diǎn)3已知Sn求an時(shí)忽略n1例3數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)an.易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析anSnSn1成立的條件是n2，若忽略對(duì)n1時(shí)的驗(yàn)證則出錯(cuò).易錯(cuò)分析解析答案解解因?yàn)閍n12Sn，因?yàn)镾1a11，所以數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn3n1 (nN*).所以當(dāng)n2時(shí)，an2Sn123n2(n2)，易錯(cuò)點(diǎn)4數(shù)列最值問題忽略n的限制易錯(cuò)分析解析易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析求解數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的最值，無論是利用Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因?yàn)閿?shù)列中可能出現(xiàn)零項(xiàng)，所以在利用不等式(組)求解時(shí)，不能漏掉不等式(組)中的等號(hào)，避免造成無解或漏解的失誤.當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時(shí)，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，故選B.易錯(cuò)點(diǎn)5裂項(xiàng)法求和搞錯(cuò)剩余項(xiàng)易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析裂項(xiàng)相消后搞錯(cuò)剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和錯(cuò)誤.一般情況下剩余的項(xiàng)是對(duì)稱的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的.易錯(cuò)分析解析易錯(cuò)點(diǎn)6線性規(guī)劃問題最優(yōu)解判斷錯(cuò)誤易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號(hào).忽視參數(shù)的符號(hào)變化，易導(dǎo)致最值錯(cuò)誤.易錯(cuò)分析例6P(x，y)滿足|x|y|1，求axy的最大值及最小值.解析答案解解當(dāng)a1時(shí)，直線yaxt分別過點(diǎn)(1,0)與(1,0)時(shí)，axy取得最大值與最小值，其值分別為a，a.易錯(cuò)點(diǎn)7運(yùn)用基本不等式忽視條件返回解析易錯(cuò)分析答案易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件不成立時(shí)，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)注意函數(shù)的定義域.返回1.等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么an的前7項(xiàng)和S7等于()A.22 B.24C.26 D.28 查缺補(bǔ)漏解析解析由已知得a44，S77a428.解析2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am1am12am (m2)，數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m1512，則m的值為()A.4 B.5 C.6 D.7解析解析因?yàn)閍n是正項(xiàng)等比數(shù)列，解析所以22m151229，m5.3.數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為()A.3 690 B.3 660C.1 845 D.1 830解析解析當(dāng)n2k時(shí)，a2k1a2k4k1；當(dāng)n2k1時(shí)，a2ka2k14k3.所以a2k1a2k12，所以a2k1a2k32，所以a2k1a2k3，所以a1a5a61.所以a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)解析A.83 B.82 C.81 D.80Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然數(shù)n的值為81.解析解析令y0，得xx1x2，解析7.若關(guān)于x的不等式x2mx40在區(qū)間1,4上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值是_.3解析答案解析解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分.直線ykx1顯然經(jīng)過定點(diǎn)M(0，1)，由圖形直接觀察知，當(dāng)直線ykx1經(jīng)過直線yx1和直線xy3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k最小，解析答案3，)故n的最大值為19.19解析答案解析答案解析答案當(dāng)1k2時(shí)，解集為x1，k(2，)；當(dāng)k2時(shí)，解集為x1,2)(2，)；當(dāng)k2時(shí)，解集為x1,2)k，).解析答案12.已知數(shù)列an與bn滿足an1an2(bn1bn)(nN*).(1)若a11，bn3n5，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解析答案解解an1an2(bn1bn)，bn3n5，an1an6，an是等差數(shù)列.an的首項(xiàng)為a11，公差為6，an6n5.(2)若a16，bn2n (nN*)且an2nn2對(duì)一切nN*恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析答案返回解解bn2n，an1an2(2n12n)2n1.當(dāng)n2時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12.當(dāng)n1時(shí)，a16，符合上式，an2n12.解析答案返回