11.4二項(xiàng)分布及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.相互獨(dú)立事件相互獨(dú)立事件(1)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B .(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A) ，P(AB)P(A)P(B|A) .(3)若A與B相互獨(dú)立，則 ， ， 也都相互獨(dú)立.知識(shí)梳理相互獨(dú)立P(B)P(A)P(B)(2)一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk) .此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從 ，記為 ，并稱p為成功概率.二項(xiàng)分布XB(n，p)3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X) ，D(X) .(2)若XB(n，p)，則E(X) ，D(X) .p(1p)pnp(1p)np2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(1)一般地，在相同條件下重復(fù)做的幾次試驗(yàn)稱為 .n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)“互斥”與“相互獨(dú)立”都是描述的兩個(gè)事件間的關(guān)系.()(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.()(3)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立.()(4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于(ab)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其中ap，b1p.()思考辨析思考辨析 考點(diǎn)自測(cè)1.甲、乙兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為 和 ，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為答案解析設(shè)事件A：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件B：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品， 2.(教材改編)小王通過英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是 ，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是答案解析3.(教材改編)國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為 ，乙去北京旅游的概率為 ，假定二人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_.答案解析記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A， “乙去北京旅游”為事件B，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的對(duì)立事件為“甲、乙二人都不去北京旅游”，4.(教材改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_.答案解析題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一相互獨(dú)立事件的概率題型一相互獨(dú)立事件的概率例例1(2016青島模擬)為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會(huì)，決定實(shí)施低峰優(yōu)惠票價(jià)制度.不超過22千米的地鐵票價(jià)如下表：乘坐里程x(單位：km)0 x66x1212x22票價(jià)(單位：元)345解答求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽.現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為答案解析設(shè)Ai (i1,2)表示繼續(xù)比賽時(shí)，甲在第i局獲勝；題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例例2甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是 外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是 .假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.分別求甲隊(duì)以30，31，32勝利的概率.解答設(shè)“甲隊(duì)以30，31，32勝利”分別為事件A，B，C，思維升華在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為A.0.648 B.0.432C.0.36 D.0.312答案解析題型三二項(xiàng)分布的均值、方差題型三二項(xiàng)分布的均值、方差例例3某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為 和p.解答(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為 ，求p的值；設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及均值E().解答由題意，得隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，隨機(jī)變量的分布列為思維升華在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率，列出分布列. 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的均值為A.100 B.200 C.300 D.400答案解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則YB(1 000，0.1)，E(Y)1 0000.1100.又X2Y，E(X)E(2Y)2E(Y)200.典例典例(1)中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員參加奧運(yùn)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是 ，乙奪得冠軍的概率是 ，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_.(2)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是 ，這名射手射擊5次，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外兩次未擊中目標(biāo)的概率是_. 獨(dú)立事件與互斥事件現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列16錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得(1)搞清事件之間的關(guān)系，不要混淆“互斥”與“獨(dú)立”.(2)區(qū)分獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).返回A、B是互斥事件，(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1，2，3，4，5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則返回課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練1.(2016寧波模擬)一射手對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行4次射擊，且射擊結(jié)果之間互不影響.已知至少命中一次的概率為 ，則此射手的命中率為12345678910111213答案解析2.已知A，B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，P(A)，P(B)分別表示它們發(fā)生的概率，則1P(A)P(B)是下列哪個(gè)事件的概率A.事件A，B同時(shí)發(fā)生B.事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生C.事件A，B至多有一個(gè)發(fā)生D.事件A，B都不發(fā)生P(A)P(B)是指A，B同時(shí)發(fā)生的概率，1P(A)P(B)是A，B不同時(shí)發(fā)生的概率，即事件A，B至多有一個(gè)發(fā)生的概率.答案解析12345678910111213答案解析12345678910111213設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，“丙命中目標(biāo)”為事件C，則擊中目標(biāo)表示事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生.123456789101112134.(2016長(zhǎng)春模擬)一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X12)等于答案解析“X12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，123456789101112135.(2017南昌質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布XB(5， )，則函數(shù)f(x)x24xX存在零點(diǎn)的概率是答案解析函數(shù)f(x)x24xX存在零點(diǎn)，123456789101112136.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值分別為A.4，0.6 B.6，0.4C.8，0.3 D.24，0.1答案解析由二項(xiàng)分布XB(n，p)及E(X)np，D(X)np(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故選B.123456789101112137.如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率都是 ，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_.答案解析燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個(gè)開關(guān)都開，b開關(guān)必須斷開，否則短路.設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，123456789101112138.設(shè)隨機(jī)變量XB(2，p)，隨機(jī)變量YB(3，p)，若P(X1) ，則P(Y1)_.答案解析123456789101112139.(2016臺(tái)州模擬)設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為 ，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為_.答案解析1234567891011121310.國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為 ，乙、丙去北京旅游的概率分別為 假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_.答案解析1234567891011121311.(2016四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_.答案解析1234567891011121312.某同學(xué)手里有三個(gè)球，依次投向編號(hào)為的三個(gè)盒子，每次投一個(gè)球.假定該同學(xué)將球投進(jìn)號(hào)盒子的概率為 ，投進(jìn)號(hào)和號(hào)盒子的概率均為p(0p1)，且三個(gè)球是否投進(jìn)是相互獨(dú)立的.記為該同學(xué)將球投進(jìn)盒子的個(gè)數(shù).若P(0) ，則隨機(jī)變量的均值E()_，方差D()_.答案解析123456789101112131234567891011121313.(2016西安模擬)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求X的分布列； 解答12345678910111213設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，因?yàn)槔麧?rùn)產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格成本.所以X所有可能的取值為500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.12345678910111213P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，故X的分布列為12345678910111213(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率. 解答12345678910111213設(shè)Ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i1，2，3)，由題意知C1，C2，C3相互獨(dú)立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利潤(rùn)均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為所以，這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.12345678910111213