第三章 第七節(jié) 解三角形應(yīng)用舉例一、選擇題1在ABC中，角A，B均為銳角，且cos A>sin B，則ABC的形狀是()A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形解析：cos Asin(A)>sin B，A，B都是銳角，則A>B，AB<，C>.答案：C2.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa kmB.a kmC.a km D2a km解析：利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos 120°2a22a2×()3a2，ABa.答案：B3張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車(chē)以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：如圖，由條件知AB24×6，在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin 30°3.答案：B4輪船A和輪船B在中午12時(shí)離開(kāi)海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船A的航行速度是25海里/小時(shí)，輪船B的航行速度是15海里/小時(shí)，下午2時(shí)兩船之間的距離是()A35海里 B35 海里C35 海里 D70海里解析：設(shè)輪船A、B航行到下午2時(shí)時(shí)所在的位置分別是E、F，則依題意有CE25×250，CF15×230，且ECF120°，EF70.答案：D5.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m解析：B180°ACBCAB30°由正弦定理得，AB50(m)答案：A6一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線(xiàn)上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時(shí)()A5海里 B5 海里C10海里 D10 海里解析：如圖，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是10(海里/小時(shí))答案：C二、填空題7在直徑為30 m的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照整個(gè)廣場(chǎng)，則光源的高度為_(kāi)m.解析：軸截面如圖，則光源高度h5(m)答案：58在ABC中，BC1，B，當(dāng)ABC的面積等于時(shí)，tan C_.解析：SABCacsin B，c4.由余弦定理：b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.答案：29據(jù)新華社報(bào)道，2011年8月，颶風(fēng)“艾琳”在美國(guó)東海岸登陸颶風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)、降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是_米解析：如圖，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則ABO45°，AOB75°，OAB60°.由正弦定理知，AO(米)答案：三、解答題10某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以多大的速度勻速升旗？解：在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10，由正弦定理，得BC20；在RtABC中，ABBCsin 60°20×30(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)11.為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場(chǎng)安排了兩支水槍?zhuān)鐖D，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB15米，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，ABC30°，BAC105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在ABC中，可知ACB45°，由正弦定理得：，解得AC15米又CAD60°，AD30，CD15，sin 105°sin(45°60°).由正弦定理得：，解得BC米由勾股定理可得BD15米，綜上可知兩支水槍的噴射距離至少分別為30米，15米12某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線(xiàn)方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解：1)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，如圖所示在AOB中，A90°30°60°S .故當(dāng)t時(shí)，Smin10，此時(shí)v30.即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)由題意可知OBvt在AOB中利用余弦定理得：v2t2400900t22·20·30tcos 60°故v29000v30，900900.即0，解得t，又t時(shí)，v30(海里/小時(shí))，故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇內(nèi)容總結(jié)