12.4離散型隨機(jī)變量及其概率分布基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨著試驗結(jié)果變化而 叫做隨機(jī)變量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以的隨機(jī)變量，叫做離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的概率分布及性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概率分布及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表知識梳理Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的 .變化的變量一一列出概率分布表(2)離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì) ；p1p2pipn .3.常見離散型隨機(jī)變量的概率分布常見離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)兩點分布如果隨機(jī)變量X的概率分布表為X01P1pp其中0p1，則稱離散型隨機(jī)變量X服從 .pi0，i1,2，n1兩點分布(2)超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MN)件次品.從中任取n (nN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(Xr) _(r0,1,2，l).即其中l(wèi)min(M，n)，且nN，MN，n，M，NN*.如果一個隨機(jī)變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.思考辨析思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.()(2)離散型隨機(jī)變量的概率分布描述了由這個隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.()(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布.()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.()(5)離散型隨機(jī)變量的概率分布中，隨機(jī)變量取各個值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機(jī)變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.()考點自測表述的都是隨機(jī)事件，是確定的值2，并不隨機(jī)；是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.1.(2016蘇州模擬)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是_.至少取到1個白球；至多取到1個白球；取到白球的個數(shù)；取到的球的個數(shù).答案解析2.設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)_.答案解析設(shè)X的概率分布為X01Pp2p即“X0”表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功，由p2p1，得p .3.從標(biāo)有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機(jī)變量X可能取得的值有_個.答案解析X可能取得的值有3,4,5，19，共17個.174.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布為答案解析X012P 0.10.60.3X的所有可能取值為0,1,2，X的概率分布為X012P0.10.60.35.(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機(jī)變量，則P(X4)的值為_.答案解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)題型一離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)例例1(1)設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為答案解析X101P23qq2則q_.(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為X01234P0.20.10.10.3m求2X1的概率分布.解答由概率分布的性質(zhì)知0.20.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為X012342X113579從而2X1的概率分布為2X113579P0.20.10.10.30.3引申探究引申探究1.在本例(2)的條件下，求隨機(jī)變量|X1|的概率分布.解答由(2)知m0.3，列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的概率分布為0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中條件不變，求隨機(jī)變量X2的概率分布.解答依題意知的值為0,1,4,9,16.P(0)P(X20)P(X0)0.2，P(1)P(X21)P(X1)0.1，p(4)P(X24)P(X2)0.1，P(9)P(X29)P(X3)0.3，P(16)P(X216)P(X4)0.3，故X2的概率分布為014916P0.20.10.10.30.3(1)利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù).(2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X )ak(k1,2,3,4,5).(1)求a；解答由概率分布的性質(zhì)，(2)求P(X )；解答解答解答題型二離散型隨機(jī)變量概率分布的求法題型二離散型隨機(jī)變量概率分布的求法命題點命題點1與排列、組合有關(guān)的概率分布的求法與排列、組合有關(guān)的概率分布的求法例例2(2015重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的概率分布.解答X的所有可能值為0,1,2，綜上知，X的概率分布為解答命題點命題點2與互斥事件有關(guān)的概率分布的求法與互斥事件有關(guān)的概率分布的求法例例3(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，解答(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的概率分布.X的可能取值為200,300,400.P(X400)1P(X200)P(X300)故X的概率分布為命題點命題點3與獨立事件與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的概率分布的求法有關(guān)的概率分布的求法例例4(2016南京模擬)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；解答用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的概率分布.解答X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)故X的概率分布為求離散型隨機(jī)變量X的概率分布的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的概率分布.求離散型隨機(jī)變量的概率分布的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(2016湖北部分重點中學(xué)第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運數(shù)字.(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則解答(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分的概率分布.解答由已知得的可能取值為6,4,2,0，故的概率分布為題型三超幾何分布題型三超幾何分布例例5(2016連云港模擬)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35 (35,45 (45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A，解答(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的概率分布.解答依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.故的概率分布為(1)超幾何分布的兩個特點超幾何分布是不放回抽樣問題；隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動.(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；解答(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布.解答隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.故隨機(jī)變量X的概率分布是典例典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的概率分布. 離散型隨機(jī)變量的概率分布現(xiàn)場糾錯系列現(xiàn)場糾錯系列15錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得(1)隨機(jī)變量的概率分布，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應(yīng)的事件及其概率.(2)驗證隨機(jī)變量的概率和是否為1. 返回解解P(1)0.9，P(2)0.10.90.09，P(3)0.10.10.90.009，P(4)0.130.90.000 9，P(5)0.140.000 1.的概率分布為12345P0.90.090.0090.000 90.000 1 返回課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2016揚州模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22根據(jù)X的概率分布知，所求概率為0.280.290.220.79.則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為_.0.79答案解析123456789101112132.設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X101P12qq2則q_.答案解析1234567891011121312345678910111213由概率分布的性質(zhì)知，則a5，3.(2016泰州模擬)已知隨機(jī)變量X的概率分布為P(Xi) (i1,2,3,4)，則P(28且nN*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”.(1)若隨機(jī)選出的2名校友代表為“最佳組合”的概率不小于 ，求n的最大值；解答12345678910111213設(shè)選出2人為“最佳組合”記為事件A，9n16，故n的最大值為16.12345678910111213(2)當(dāng)n12時，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為，求的概率分布.解答12345678910111213由題意，得的可能取值為0,1,2，且服從超幾何分布，故的概率分布為12345678910111213