10.3 10.3 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用知識梳理知識梳理t57301p21.1.定積分的有關(guān)概念：定積分的有關(guān)概念：把把 叫做函數(shù)叫做函數(shù)f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上的定積分，記作上的定積分，記作 , ,即即 . .其中其中a與與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 a，b 叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做積分區(qū)間，函數(shù)f( (x) )叫做被積函叫做被積函數(shù)數(shù), ,x叫做積分變量，叫做積分變量，f( (x)d)dx叫做被積式叫做被積式. .1l i m( )ninibafnx=-( )baf x dx1( )lim( )nbinaibaf x dxfnx=-=2.2.定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：如果函數(shù)如果函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上的圖象是上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且一條連續(xù)不斷的曲線，且f( (x)0)0，那么，那么定積分定積分 表示由直線表示由直線x xa，x xb( (ab) )，y y0 0和曲線和曲線y yf( (x) )所圍成的所圍成的曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積. .( )baf x dx3.3.定積分的物理意義：定積分的物理意義：（1 1）以速度）以速度vv(t(t) )作變速直線運動的作變速直線運動的物體，在物體，在attb時段內(nèi)行駛的路程時段內(nèi)行駛的路程( )basv tdt=（2 2）如果物體在變力）如果物體在變力F(xF(x) )的作用下做直的作用下做直線運動，并且物體沿著與線運動，并且物體沿著與F(xF(x) )相同的方相同的方向從向從xa移動到移動到xb( (ab) )，則變力，則變力F(xF(x) )所作的功所作的功( )baWF x dx=4.4.定積分的運算性質(zhì)：定積分的運算性質(zhì)：（1 1） ； ( )( )bbaakf x dxkf x dx=蝌（2 2） ( )( )( )( )bbbaaafxg x dxfxdxg xdx=蝌（3 3） . .( )( )( )cbbacaf x dxf x dxf x dx+=蝌5.5.微積分基本定理：微積分基本定理： 如果如果f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a，b 上的圖象是一條上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且連續(xù)不斷的曲線，并且 ，則，則( )( )Fxf x=( )( )( )baf x dxF bF a=-拓展延伸拓展延伸 1.1.用極限逼近原理求曲邊梯形面積是用極限逼近原理求曲邊梯形面積是定積分的實際背景，其基本思路是：定積分的實際背景，其基本思路是： 分割分割近似替代近似替代求和求和取極限取極限. . 2.2.定積分是一個特定形式和的極限，定積分是一個特定形式和的極限，其幾何意義是曲邊梯形的面積，定積分其幾何意義是曲邊梯形的面積，定積分的值由被積函數(shù)，積分上限和下限所確的值由被積函數(shù)，積分上限和下限所確定定. . 3.3.在實際問題中，定積分可以表示面在實際問題中，定積分可以表示面積、體積、路程、功等等，求定積分的積、體積、路程、功等等，求定積分的值有定義法、幾何法、定理法三種，有值有定義法、幾何法、定理法三種，有時利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行計算，能簡化時利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行計算，能簡化解題過程解題過程. . 4.4.位于位于x x軸下方的曲邊梯形的面積，軸下方的曲邊梯形的面積，等于相應(yīng)定積分的相反數(shù)等于相應(yīng)定積分的相反數(shù). .一般地，由直一般地，由直線線x xa，x xb( (ab) )，y y0 0和曲線和曲線y yf( (x) )所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積| ( )|baSf xdx= 5.5.由直線由直線x xa，x xb( (ab) )和曲線和曲線y yf( (x) )，y yg( (x) )所圍成的曲邊梯形的所圍成的曲邊梯形的面積面積| ( )( )|baSf xg xdx=-考點分析考點分析考點考點1 1 定積分的基本運算定積分的基本運算 例例1 1 計算下列定積分：計算下列定積分：（1 1） ； 20(1)x xdx+（2 2） ； 2211()xedxx+（3 3） ； 20si nxdxp（4 4） ； 320|1 |xdx-（5 5） . . 11l nexdxx-例例2 2 計算下列定積分：計算下列定積分：（1 1） ( (ba) )； ()()baax xb dx-（2 2） . . 535(34|sin )xxx dx【解題要點解題要點】確定被積函數(shù)的原函數(shù)確定被積函數(shù)的原函數(shù)對被積函數(shù)作對被積函數(shù)作適當(dāng)變形適當(dāng)變形將定積分轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形將定積分轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積的面積. .考點考點2 2 利用定積分概念求極限值利用定積分概念求極限值 例例3 3 求下列極限值：求下列極限值：（1 1） 12(1)limsinsinsinnnnnnn（2 2） 1111lim()1232nnnnn【解題要點解題要點】構(gòu)造特定形式和構(gòu)造特定形式和確定被積函數(shù)和積分確定被積函數(shù)和積分區(qū)間區(qū)間用定積分表示極限用定積分表示極限. .考點考點3 3 定積分中參數(shù)的取值問題定積分中參數(shù)的取值問題 例例4 (084 (08年山東卷）設(shè)函數(shù)年山東卷）設(shè)函數(shù) ，若，若 ，0 x0 x0 011，則，則x x0 0的值的值為為 . .2( )(0)f xaxc a=+100( )( )f x dxf x= 例例5 5 設(shè)設(shè)f( (x) )kxb，已知，已知 ，且，且 ，求求k的取值范圍的取值范圍. .10( )1f x dx=120( )4f x dx【解題要點解題要點】求相關(guān)定積分值求相關(guān)定積分值利用方程或不等式思利用方程或不等式思想分析參數(shù)取值想分析參數(shù)取值. . 考點考點4 4 定積分中的函數(shù)問題定積分中的函數(shù)問題 例例6 6 求函數(shù)求函數(shù)的值域的值域. .0( )si n (1cos )xf xttdt=+ 例例7 7 已知函數(shù)已知函數(shù)( (x1)1)，試推斷函數(shù)，試推斷函數(shù)f( (x) )是否有零點是否有零點. .12ln( )(1)2xtf xdtt【解題要點解題要點】求積分函數(shù)的解析式求積分函數(shù)的解析式據(jù)有關(guān)原理分析據(jù)有關(guān)原理分析函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì). .考點考點5 5 用定積分求平面圖形的面積用定積分求平面圖形的面積 例例8 8 求直線求直線y yx x3 3與曲線與曲線y yx x2 22x2x3 3所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積. . 例例9 9 求直線求直線y yx x4 4與曲線與曲線y y2 22x2x所所圍成圖形的面積圍成圖形的面積. . 例例10 10 如圖，曲線如圖，曲線C C1 1：y yx x2 2與曲線與曲線C C2 2：y yx x2 22 2ax(x(a1)1)交于點交于點O O，A A，直線，直線 x xt(0t(0t1)t1)與曲線與曲線C C1 1、C C2 2分別相交于分別相交于點點D D、B B，連結(jié)，連結(jié)ODOD，DADA，AB.AB.設(shè)設(shè)a為常數(shù)，為常數(shù)，當(dāng)當(dāng)t t變化時，求曲邊四邊形變化時，求曲邊四邊形ABODABOD的面積的面積S S的最大值的最大值. .x xy yO OA AB BD D 例例11 11 若過原點的直線若過原點的直線l與曲線與曲線C C： yx2 24 4x( (x0)0)所圍成圖形的面積為所圍成圖形的面積為3636，求直線求直線l的方程的方程. . 【解題要點解題要點】作幾何直觀圖選擇面積算法作幾何直觀圖選擇面積算法確定積分確定積分變量、被積函數(shù)和積分區(qū)間變量、被積函數(shù)和積分區(qū)間將非規(guī)則將非規(guī)則曲邊梯形分割或補形為規(guī)則曲邊梯形曲邊梯形分割或補形為規(guī)則曲邊梯形對多邊形面積直接套公式求解對多邊形面積直接套公式求解. . 例例12 12 兩車站兩車站A A，B B相距相距7.2km7.2km，一輛電，一輛電車從車從A A站開往站開往B B站，電車開出站，電車開出tsts后到達(dá)途后到達(dá)途中中C C點，這一段速度為點，這一段速度為1.2t(m/s)1.2t(m/s)，到，到C C點點的速度為的速度為24m/s.24m/s.從從C C點到點到B B點前的點前的D D點以等點以等速行駛，從速行駛，從D D點開始剎車，經(jīng)點開始剎車，經(jīng)tsts后速度為后速度為(24(241.2t)m/s1.2t)m/s，在，在B B點恰好停車，求：點恰好停車，求：（1 1）A A，C C兩點間的距離；兩點間的距離； （2 2）B B，D D兩點間的距離；兩點間的距離； （3 3）電車從）電車從A A站到站到B B站所需的時間站所需的時間. .考點考點6 6 定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用 例例13 13 作直線運動的物體在作直線運動的物體在t t秒內(nèi)所經(jīng)秒內(nèi)所經(jīng)過的路程過的路程x x4t4t2 2(m)(m)，若介質(zhì)的阻力與速，若介質(zhì)的阻力與速度成正比，且速度為度成正比，且速度為10m/s10m/s時，阻力位時，阻力位2N2N，求物體從求物體從x x0 0到到x x2 2阻力所作的功阻力所作的功. .【解題要點解題要點】路程的被積函數(shù)是速度對時間的函數(shù)路程的被積函數(shù)是速度對時間的函數(shù)力所作的功的被積函數(shù)是力對位移的函力所作的功的被積函數(shù)是力對位移的函數(shù)數(shù). .