反證法與放縮法反證法與放縮法三三 :, ,.,.我們可以這樣來證明我們可以這樣來證明那么那么如果如果對于性質(zhì)對于性質(zhì)例如例如事實直接推出事實直接推出本本小關(guān)系的基小關(guān)系的基有的可以由實數(shù)大有的可以由實數(shù)大條性質(zhì)中條性質(zhì)中現(xiàn)現(xiàn)可以發(fā)可以發(fā)質(zhì)質(zhì)性性本本過不等式的基過不等式的基究究研研前面我們曾經(jīng)前面我們曾經(jīng)cbcaba 36 .,cbcabacbcababa 所以所以于是于是得得由由00 那那如果如果但對于性質(zhì)但對于性質(zhì),06 ba :.,這時可以采用如下方法這時可以采用如下方法實直接推證出結(jié)論實直接推證出結(jié)論事事我們很難從條件和已有我們很難從條件和已有么么2 nNnbann.,nnnnnnbababa 或或那么必有那么必有不成立不成立假設(shè)假設(shè) .,.,;,成立成立于是于是矛盾矛盾這些都與這些都與有有那么由性質(zhì)那么由性質(zhì)如果如果那么那么如果如果nnnnnnbabababababa 05 .,)(,常用反證法證明常用反證法證明證明比較困難的命題常證明比較困難的命題常對于那些直接對于那些直接我們把它稱為我們把它稱為從而證明原命題成立從而證明原命題成立確確正正以說明假設(shè)不以說明假設(shè)不矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論成立的事實等成立的事實等、明顯、明顯或已證明的定理、性質(zhì)或已證明的定理、性質(zhì)命題的條件命題的條件得到和得到和進行正確的推理進行正確的推理義、定理、性質(zhì)等義、定理、性質(zhì)等應(yīng)用公理、定應(yīng)用公理、定結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件以此為出發(fā)點以此為出發(fā)點成立成立即先假設(shè)要證的命題不即先假設(shè)要證的命題不像這樣的方法像這樣的方法absurditytoreduction，證法證法反反.,:,211201有一個小于有一個小于中至少中至少試證試證且且已知已知例例xyyxyxyx .,的線索不夠清晰的線索不夠清晰由條件推出結(jié)論由條件推出結(jié)論直接直接聯(lián)系不明顯聯(lián)系不明顯論與條件之間的論與條件之間的要證的結(jié)要證的結(jié)分析分析.,慮用反證法慮用反證法于是考于是考能的即可能的即可是不可是不可都不小于都不小于分式分式明兩個明兩個要證要證則只則只從反面證明從反面證明而而進行分類討論進行分類討論等等個分式都小于個分式都小于或兩或兩個分式小于個分式小于需要對某一需要對某一證明證明如果從正面如果從正面另外另外222.,2121211 xyyxxyyx且即都不小于假設(shè)證明.,xyyxyx21210 且所以因為 ,yxyx 22得把這兩個不等式相加.矛盾這與已知條件從而22 yxyx.,原命題成立即是不可能的都不小于因此211xyyx .,:,0000002 cbaabccabcabcbacba證證求求數(shù)數(shù)為實為實已知已知例例.,是考慮采用反證法是考慮采用反證法于于夠清晰夠清晰不不索索論的線論的線直接由條件推出結(jié)直接由條件推出結(jié)顯顯條件之間的聯(lián)系不明條件之間的聯(lián)系不明要證的結(jié)論與要證的結(jié)論與分析分析.),(),(),(.,與與這這種種情情形形類類似似例例如如其其他他兩兩個個如如例例只只要要討討論論其其中中一一個個我我們們改改變變命命題題的的條條件件的的位位置置不不意意交交換換任任注注意意到到條條件件的的特特點點但但不不是是正正數(shù)數(shù)的的情情形形這這時時需需要要逐逐個個討討論論不不全全是是正正數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)cbacbacbacba.,兩種情況討論和下面分不妨先設(shè)一個不是正數(shù)即其中至少有不全是正數(shù)假設(shè)證明000 aaacba .,不可能所以矛盾與則如果00001 aabcabca .,0002 bcabca可得那么由如果.00 acbcba所以又因為 .,相矛盾這和已知于是00 cabcabbccbacabcab.,00 cb同理可證.,.,00 aa綜上所述也不可能因此.所以原命題成立這種方法稱為這種方法稱為我們把我們把從而達到證明的目的從而達到證明的目的簡化不等式簡化不等式或縮小或縮小些部分放大些部分放大通過把不等式中的某通過把不等式中的某等式時等式時證明不證明不.,.放放縮縮法法.,213 caddbdccacbbdbaaRdcba求證求證已知已知例例.,從從而而得得出出證證明明不不等等式式簡簡化化使使可可以以通通過過適適當當放放縮縮分分析析此此式式的的形形式式特特點點的的目目的的不不易易達達到到證證明明算算非非常常復(fù)復(fù)雜雜直直接接通通分分相相加加則則會會使使運運若若把把分分析析caddbdccacbbdbaa 所以都是正數(shù)因為證明,dcbabaadbaadcbaa ,abbacbbdcbab ,dccbdccdcbac ,cddcadddcbad ,dcdcbabacaddbdccacbbdbaadcbadcba 得把以上四個不等式相加.21 caddbdccacbbdbaa即.,.,顯然太大了顯然太大了那么和放大為那么和放大為項分母依次縮為項分母依次縮為如果把和式的如果把和式的述過程中述過程中例如上例如上關(guān)鍵是放、縮適當關(guān)鍵是放、縮適當用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式44dcba.|,bbaabababa 1114求證求證是實數(shù)是實數(shù)已知已知例例,|,|bbaababababa 1111得到得到替代替代將不等式左邊用將不等式左邊用分析分析.,|,到證明到證明那么原不等式就可以得那么原不等式就可以得如果能證明如果能證明所以所以明的明的這個不等式是很容易證這個不等式是很容易證babababa 11|,|bababababa 11110所以因為證明|ba 111|baba 1|babbaa 11.|bbaa 11.|,babababa 11我們證明了我們證明了在上述過程中在上述過程中 .,|,為增函數(shù)是容易證的為增函數(shù)是容易證的而而式成立式成立得到得到就可以由就可以由函數(shù)函數(shù)為增為增只要證明函數(shù)只要證明函數(shù)函數(shù)的觀點看函數(shù)的觀點看那么從那么從如果令如果令xfbabaxfxxxxf 001 .,的單調(diào)性的單調(diào)性觀察函數(shù)觀察函數(shù) 01xxxxf.,.,擇擇合合適適的的方方法法選選作作具具體體分分析析應(yīng)應(yīng)該該對對具具體體問問題題的的特特點點法法的的統(tǒng)統(tǒng)一一方方題題沒沒有有一一種種適適用用于于所所有有問問一一樣樣證證明明問問題題學學上上所所有有其其他他明明與與數(shù)數(shù)證證不不等等式式應(yīng)應(yīng)該該注注意意納納法法等等四四講講中中要要介介紹紹的的數(shù)數(shù)學學歸歸如如在在第第還還有有其其他他一一些些方方法法除除以以上上方方法法外外常常用用方方法法種種的的幾幾上上面面介介紹紹了了證證明明不不等等式式