高考專題突破五高考中的立體幾何問(wèn)題考點(diǎn)自測(cè)課時(shí)訓(xùn)練題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè) 答案解析1.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的體積為由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱柱削去一個(gè)三棱錐得到的幾何體， 2.正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點(diǎn)，E為A1C1中點(diǎn)，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為A.相交 B.平行C.垂直相交 D.不確定答案解析如圖取B1C1中點(diǎn)為F，連接EF，DF，DE，則EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.由線面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)b，a時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，正確.故應(yīng)填入的條件為或.3.(2016沈陽(yáng)模擬)設(shè)，是三個(gè)平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_.(把所有正確的序號(hào)填上)答案解析或4.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_.答案解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一求空間幾何體的表面積與體積題型一求空間幾何體的表面積與體積例例1(2016全國(guó)甲卷)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；證明故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.解答(2)若AB5，AC6，AE ，OD2 ，求五棱錐DABCFE的體積.故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 ，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).求：(1)這個(gè)正三棱錐的表面積；解答(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解答設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r. VPABCVOP ABVOPBCVOP ACVOABC題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因?yàn)锳B平面ABC，所以BB1AB.又因?yàn)锳BBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.例例2(2016濟(jì)南模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn).(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；證明(2)求證：C1F平面ABE；證明 方法一方法一如圖1，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，因?yàn)锳CA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE，C1F 平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二方法二如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H.因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HFAB，又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)求三棱錐EABC的體積.證明 因?yàn)锳A1AC2，BC1，ABBC，所以三棱錐EABC的體積(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問(wèn)題，再將“線面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問(wèn)題.證明C1F平面ABE：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行，實(shí)施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.思維升華由ASAB，AFSB知F為SB中點(diǎn)，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(2016南京模擬)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過(guò)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG平面ABC；證明由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.(2)BCSA.證明題型三空間角的計(jì)算題型三空間角的計(jì)算BH平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，CD平面DBE，CDBE.例例3 (2016金華十校調(diào)研)如圖，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE1，BF3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上.(1)求證：CDBE；證明(2)求線段BH的長(zhǎng)度；解答方法一方法一設(shè)BHh，EHk，過(guò)F作FG垂直ED于點(diǎn)G，線段BE，BF在翻折過(guò)程中長(zhǎng)度不變，根據(jù)勾股定理得線段BH的長(zhǎng)度為2.方法二方法二如圖，過(guò)點(diǎn)E作ERDC，過(guò)點(diǎn)E作ES平面EFCD，分別以直線ER，ED，ES為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，線段BH的長(zhǎng)度為2.設(shè)點(diǎn)B(0，y，z)(y0，z0)，(3)求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值.解答方法一方法一延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)M，AEBFMAMB13，設(shè)平面EFCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，直線AF與平面EFCD所成角的大小為，跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016杭州學(xué)軍中學(xué)高三5月模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，ABPA，ABCD，且PBBCBD ，CD2AB2 ，PAD120.(1)求證：平面PAD平面PCD；證明BCBD，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，BECD，ABCD，且CD2AB，ABDE，且ABDE，四邊形ABED是矩形，BEAD，且BEAD，ABAD，又ABPA，PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值. 解答以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為，課時(shí)訓(xùn)練課時(shí)訓(xùn)練1.(2016山東牟平一中期末)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E，F(xiàn)，H分別為AD，CD，DD1的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G.(1)證明：平面ACD1平面BB1D；證明BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.又ACB1D，BB1B1DB1，AC平面BB1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D.12345證明設(shè)ACBDO，連接OD1.E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，EFODG，G為OD的中點(diǎn).H為DD1的中點(diǎn)，HGOD1.GH 平面ACD1，OD1平面ACD1，GH平面ACD1.(2)證明：GH平面ACD1.123452.(2016咸陽(yáng)模擬)如圖，梯形ABEF中，AFBE，ABAF，且ABBCADDF2CE2，沿DC將梯形CDFE折起，使得平面CDFE平面ABCD.(1)證明：AC平面BEF；證明如圖，取BF的中點(diǎn)M，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連接MO，ME.EMCO，即EMAC.又AC 平面BEF，EM平面BEF，AC平面BEF.CE綊MO，故四邊形OCEM為平行四邊形，12345 解答(2)求三棱錐DBEF的體積.平面CDFE平面ABCD，平面CDFE平面ABCDDC，BCDC，BC平面DEF.三棱錐DBEF的體積為VDBEFVBDEF123453.(2016寧波高三上學(xué)期期末)如圖，在多面體EFABCD中，四邊形ABCD，ABEF均為直角梯形，ABEABC90，四邊形DCEF為平行四邊形，平面DCEF平面ABCD.(1)求證：DF平面ABCD；證明12345由四邊形DCEF為平行四邊形，知EFCD，所以EF平面ABCD.又平面ABEF平面ABCDAB，從而有ABCDEF.因?yàn)锳BEABC90，所以ABBE，ABBC，又因?yàn)锽EBCB，所以AB平面BCE，因?yàn)镃E平面BCE，所以ABCE.又四邊形DCEF為平行四邊形，有DFCE，所以DCDF，又因?yàn)槠矫鍰CEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDDC，所以DF平面ABCD.12345 解答12345不妨設(shè)BC1，則BCCDCE1，AB2，四邊形ABCD為直角梯形，連接BD，由DF平面ABCD，知DFBD，因?yàn)镈FADD，所以BD平面FAD，則BFD即為直線BF與平面ADF所成角，12345由已知可得AFDF，AFFE，DFFEF，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.4.(2016全國(guó)乙卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(1)證明：平面ABEFEFDC；證明12345 解答(2)求二面角E-BC-A的余弦值.12345過(guò)D作DGEF，垂足為G，由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)知DFE為二面角D-AF-E的平面角，故DFE60，由已知，ABEF，AB 平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，12345由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角C-BE-F的平面角，CEF60，12345123455.(2016紹興期末)如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，ADBC，AB平面BEC，ECCB，已知BC2AD2AB2.(1)證明：BD平面DEC；證明12345因?yàn)锳B平面BEC，所以ABEC.又因?yàn)镋CBC，ABBCB，所以EC平面ABCD.因?yàn)锽D平面ABCD，所以ECBD.由題意可知，在梯形ABCD中，有BDDC ，所以BD2DC2BC2，所以BDDC.又ECCDC，所以BD平面DEC.12345 解答(2)若二面角AEDB的大小為30，求EC的長(zhǎng)度.12345如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA所在直線為z軸，BC所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)B且平行于CE的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)| |a0，則B(0,0,0)，E(a,2,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，D(0,1,1).設(shè)平面AED的法向量為m(x，y，z)，令x1，得平面AED的一個(gè)法向量為m(1,0，a)，設(shè)平面BED的法向量為n(x，y，z)，12345令x2，得平面BED的一個(gè)法向量為n(2，a，a).又二面角AEDB的大小為30，得a1，所以EC1.12345