高考專題突破四高考中的立體幾何問題考點(diǎn)自測課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測考點(diǎn)自測 1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點(diǎn)，E為A1C1中點(diǎn)，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為A.相交 B.平行C.垂直相交 D.不確定 答案 解析如圖取B1C1中點(diǎn)為F，連接EF，DF，DE，則EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA. 2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：x、y、z均為直線；x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z均為平面.其中使“xz且yzxy”為真命題的是A. B.C. D.由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題. 答案 解析 3.(2016成都模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(左視圖中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是A.203 B.243C.204 D.244 答案 解析根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體和一個(gè)半圓柱的組合體，其中正方體的棱長為2，半圓柱的底面半徑為1，母線長為2，故該幾何體的表面積為4522 203.4.(2016沈陽模擬)設(shè)，是三個(gè)平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_.(把所有正確的序號填上)答案解析或由線面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)b，a時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確.故應(yīng)填入的條件為或.5.如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).若PAAC，PA6，BC8，DF5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是_；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_.(填“平行”或“垂直”)答案解析平行垂直因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)镻A 平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA，DE PA3，EF BC4.又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型分類題型分類深度剖析深度剖析例例1(2016全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；題型一求空間幾何體的表面積與體積題型一求空間幾何體的表面積與體積證明由已知得ACBD，ADCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.解答所以O(shè)H1，DHDH3，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長為2 ，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).求：(1)這個(gè)正三棱錐的表面積；解答(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解答設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.VPABCVOP ABVOPBCVOP ACVOABC題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例例2(2016濟(jì)南模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn).(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；證明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因?yàn)锳B平面ABC，所以BB1AB.又因?yàn)锳BBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.證明(2)求證：C1F平面ABE；方法一方法一如圖1，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，因?yàn)锳CA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE，C1F 平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二方法二如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H.因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HFAB，又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.解答(3)求三棱錐EABC的體積.因?yàn)锳A1AC2，BC1，ABBC，所以三棱錐EABC的體積(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.證明C1F平面ABE：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行，實(shí)施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn).求證：(1)平面EFG平面ABC；證明由ASAB，AFSB知F為SB中點(diǎn)，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)BCSA.證明由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問題題型三平面圖形的翻折問題例例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD ，ABBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2.(1)證明：CD平面A1OC；證明幾何畫板展示幾何畫板展示在題圖1中，連接EC，因?yàn)锳BBC1，AD2，BAD ，ADBC，E為AD中點(diǎn)，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CDBE，所以ABCE為正方形，所以BEAC，即在題圖2中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.解答由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1BEC的平面角，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1BA1EBCED1，BCED，設(shè)平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC與平面A1CD夾角為，平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016深圳模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；證明因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因?yàn)锳BCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點(diǎn)D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.解答(2)求三棱錐MCDE的體積.幾何畫板展示幾何畫板展示因?yàn)镻DDC，PC2，CD1，PCD60，如圖，過點(diǎn)F作FGCD交CD于點(diǎn)G，題型四立體幾何中的存在性問題題型四立體幾何中的存在性問題例例4(2016邯鄲第一中學(xué)研究性考試)在直棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AEA1B1，D為棱A1B1上的點(diǎn).(1)證明：DFAE.證明AEA1B1，A1B1AB，AEAB.又AA1AB，AA1AEA，AB平面A1ACC1.又AC平面A1ACC1，ABAC.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即(x，y，z1)(1,0,0)，則D(，0,1)，(2)是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 ?若存在，說明點(diǎn)D的位置；若不存在，說明理由.解答結(jié)論：存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 .理由如下：由題意知平面ABC的法向量為m(0,0,1).設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，令z2(1)，則n(3,12，2(1).存在滿足條件的點(diǎn)D，此時(shí)D為A1B1的中點(diǎn).(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手.一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn).(1)證明：B1C1CE；證明如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).解答(2)求二面角B1CEC1的正弦值；消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1).由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，CC1CEC，可得B1C1平面CEC1，設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ，求線段AM的長.解答設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1.(2016北京順義區(qū)一模)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是答案解析123456789由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因?yàn)镈A4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點(diǎn)M，由題意知，PM.令A(yù)Mt(0t0知EHG是銳角，由EHG30，得tanEHGtan 30，1234567899.(2016鐵嶺模擬)如圖所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四邊形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BD AE2，O，M分別為CE，AB的中點(diǎn).(1)求證：OD平面ABC；證明123456789如圖，取AC中點(diǎn)F，連接OF，F(xiàn)B.F是AC中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，OFDB且OFDB，四邊形BDOF是平行四邊形，ODFB.又FB平面ABC，OD平面ABC，OD平面ABC.123456789解答(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；123456789平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA，DB平面ABC.BDAE，EA平面ABC.又ABC是等腰直角三角形，且ACBC，ACB90，以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.ACBC4，C(0,0,0)，A(4，0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，123456789設(shè)平面ODM的法向量為n(x，y，z)，令x2，得y1，z1，n(2,1,1).設(shè)直線CD和平面ODM所成角為，123456789123456789(3)能否在EM上找一點(diǎn)N，使得ON平面ABDE？若能，請指出點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由.解答123456789當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON平面ABDE.由(2)設(shè)N(a，b，c)，即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，123456789當(dāng)N是EM的中點(diǎn)時(shí)，ON平面ABDE.123456789