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1、習題2 2-1試證明圖2-77(a)所示電氣網(wǎng)絡與圖277(b)所示的機械系統(tǒng)具有相同的微分方程。 d. 圖2-77習題2-1圖 證明：首先看題2-1圖中(a) Urs=Urs-Ucs ,,1,,,11-- Ir(s尸hUr(s)+CsUr(s尸二十CsUr(s) ,f1、 Uc(s)=R2+—|I(s) IC2sJ Uc(s六 R2 + Gs Ur(s)—Uc(sX R2c2S 1 1 RC1S C2S R +」一!」工+Gs+1Uc(s)=R2/—+C〔sUr(s) C2s人R1)J'工C2s人R1) R2c2s11GGs1

2、ucs二 |lC2sR1 2-2試分別寫出圖2-78中各有源網(wǎng)絡的微分方程。 (b) 圖2-78習題2-2圖 解： (a)Cdu工，u「t=--Uot(b)—Urt--Cduo-t-Uot dtRR2RILdtR2 1,ccdUct, ⑹-Urt=-R2CcUct R1_dt 2-3某彈簧的力一位移特性曲線如圖2-79所示。在僅存在小擾動的情況下，當工作點分別為xo=-1.2,0, 2.5時，試求彈簧在工作點附近的彈性系數(shù)。 解：由題中強調(diào)“僅存在小擾動”可知，這是一道非線性曲線線性化處理的問題。于是有

3、，在Xo=-1.2,0, 1) df dX x=12 2.5這三個點處對彈簧特性曲線做切線，切線的導數(shù)或斜率分別為： 40一一40二里.35.56 0.75--1.52.25 2) df dx x旦 40-0 2 -0 二20 3) df dx 35 -20 15 人 x^.5 - 3-0.5 -2.5 一 2-4圖2-80是一個轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，其中電壓u為輸入量，負載轉(zhuǎn)速④為輸出量。試寫出該系統(tǒng)輸入輸出間 的微分方程和傳遞函數(shù)。 位移髭工/cm 圖2-80 習題2-4圖 圖249 習題2-3圖 解：根據(jù)系統(tǒng)傳動機構(gòu)圖可列動態(tài)如下：

4、 di t Ri t L Ke ' =Ur t dt Tem = Kt i d ■ ""KTf 將方程（3）整理后得: i」TL皿 Kt Kt出 將方程（4）代入方程（1）后得: R RJ d Tl Kt Kt dt LdlL LJ d2 ■ 2 Kt dt Kt dt Ke：＞ =5 t (1) (2) (3) (4) (5) 將方程(5)整理后得: LJ d% KT -dt2- RJ d . + Kt dt R -ur t TL - KT L dTL 《"dT (6) 2-5系統(tǒng)的微分方程組如下 父]

5、a)==(力一￡a),+k 丁3(工)=代以(1),』([)=#3(1)一工m(E)—K5￡(/) da?5(z)/dc(t) 得「二K百⑴，Ky3=丁也盧，Mf) 口edt 式中，r, K-, K2, Ko, Kn, Kj , T均為常數(shù)。試建立系統(tǒng) r⑴對c⑴的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) C(s) / R(s)。 解：首先畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)動態(tài)方程有： Xi(s). 然后，根據(jù)梅遜公式得： sKKK3K4K2K3K4S. csS12sTS1STS1 R(s)1十(無十KKK3K4+K3+K3K4K5s(Ts+1)+K2K3K46十Ki)十K4Ts+I%K3K4K5

6、 12sTs1ssTs1sTs1sTs1sTs1sTs1 Cs=K2K3K4sKi Rs-Ts21K2K3K4.K3TsKiK2K3K4K3K3K4K5 26圖2-8l是一個模擬調(diào)節(jié)器的電路示意圖。 76GRs 圖2-81習題2-6圖 ① 寫出輸入Ui,與輸出Uo之間的微分方程； ② 建立該調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖； ③ 求傳遞函數(shù)U0(S)/Ur(S)。 解：根據(jù)電路分析需要，引入中間變量Voi⑴，Vo2(t),然后，由電路圖可知: UisUos1= RiRi Uois R3 =-C2sUo2s (1) (2) R5 Uos一詈Uo2s R4 (3) 采用代

7、入法，將上述3個方程聯(lián)立求解得: R2R5 RR3R4c2sR2Cisi UisUos1 Uos= R2R5 RRR4c2sRCisiRzRCis Uis Uos R2R5 UisRR3R4c2R2cls2RR3R4c2sR2R5clsRiR3R4C2Ci s 2-7某機械系統(tǒng)如圖2-82所示。質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì) 圓筒與彈簧和阻尼器相連的斜面上滾動(無滑動),求出其運動方程。 解：首先，對圓輻進行受力分析；根據(jù)分析結(jié)果可知： mg 「RiRsRCz+RzRCi .RiRR^RzCi) 圖282習題"『圖

8、 dd2乜 mgsin二一Kx1-B——二m-2- dtdt2 d2x1 嚕Kx1 =mgsin 二 回路通道傳遞函數(shù) Li： L1 = -G1 (s G2(sH2(s )； L2 =-G2(sH1(s) d 2xi m——2- dt dx B- Kx1 二 mg 圖2Y3 習即2d圖 2 9試簡化圖2-84中各系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù) c(s)/R(s)。 2

9、8圖2-83是一種地震儀的原理圖。地震儀的殼體固定在地基上，重錘M由彈簧K支撐。當?shù)鼗舷抡饎訒r，殼體隨之震動，但是由于慣性作用，重錘的運動幅度很小，這樣它與殼體之間的相對運動幅度就近似等于地震的幅度，而由指針指示出來?；钊鸅提供的阻尼力正比于運動的速度，以便地震停止后指針能 及時停止震動。 ①寫出以指針位移y為輸出量的微分方程；②核對方程的量綱。 解：首先，對重錘進行受力分析；根據(jù)分析結(jié)果可知: ,,2 dydy mg-Ky-B—=m—￡出dt2 圖2-84習題2-9圖 解：(a),根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：P=G1(sG2(s);P2=G3(sG2(s)

10、特征方程△:△.=1一＜Li=1?G1sG2sH2s?G2sH1s 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式：△I=42=1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： s_Cj_G1sG2sG2sG3s 一Rs-1G1sG2sH2sG2sH1s (b),根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：P=G1(sG2(s)； 回路通道傳遞函數(shù)Li：L1=W1(sH1(s)；L2=—H1(sH2(s) 特征方程△:::=1Li=1?G1sH1s?H1sH2s 由于回路傳遞函數(shù)L2與前向通路相“不接觸”，所以。余子式：A1=1+H1(sH2(s) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為: C s Rs GKsM+H

11、1(sH2(s》G 1G1sH1sH〔sH2s2s (c),根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk：P=G1(sG2(sG3(sG4(s); 回路通道傳遞函數(shù)Li：L1=G1(sG2(sG3(sG4(sH1(s)； L2=-GsG2sG3sH2s L3=-G2sG3sH3s L4=-G3sG4sH4s 特征方程△: ：=1-'Li=1-G1sG2sG3sG,sH1sG1sG?sG3sH2sG2sG3sH3sG3sG4sH4s 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式：4=1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ,CsG1sG2sG3sG4s s-Is== Rs1-G1sG

12、2sG3sG4sH1sG1sG2sG3sH2sGzsG3sH3sG3sG,sH4s 2-10試用梅遜公式求解習題2-9所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 2-11系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2-85所示。 ①求傳遞函數(shù)C1(s)/Ri(s),C1(s)/R2(s),C2(s)/Ri(s),C2(s)R2(s), ② 求傳遞函數(shù)陣 G(s)C(s尸G (s)R(s),其中 ?、展」a\網(wǎng)s)lG(S也s)}R⑺飛闖 解：Ci(s)/R(s),根據(jù)梅遜公式得： 前向通道傳遞函數(shù)Pk: P1=GiSG2SG3s P2=Gi(sG7(sG5(sG8(sG3(s)； 圖2-85 習題2-11

13、圖 回路通道傳遞函數(shù)ELi:L1=-G3(sG3(s)； L2=G7SG5sG8s L3=-G5sH2s 相互“不接觸”回路ELiLj： L1L2=—G3sG3sG7sG5sG8s L1L3=G3sG3sG5sH2s 特征方程△: =1「Li八Li」 =1,G3sG3s-G7sG5sG8s,G5sH2s,G3sG3sG7sG5sG8s-G3sG3s-G5sH2s 由于回路傳遞函數(shù)都與前向通路相“接觸”，所以。余子式：△1=1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為: C〔s= 2-12試求圖2-86所示結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。 解：C1(s)/R(s),根據(jù)梅遜公式得： 前向

14、通道傳遞函數(shù)Pk: P—G1(s)；P2=Gz(s)；P=—G1(sG2(s)； 圖2-86 習題2 12圖 R=QsG2(s)； 特征方程△: △=1-%Li-jLj- =1GsG2s-3GsG2s 特征方程余子式4k：=:2=.%=.%=1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： :,s_Cs_GsQs-2GsG2s 1—Rs-1G1sG2s-3GlsG2s 回路通道傳遞函數(shù) ELi：1=刀1位)；L2 = -G2(s)； L3=G1(sG2(s)； L4 =G(sG2(s)； L5 =G(sG2(s) 2-13已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-87所示，試將其轉(zhuǎn)換成信號流圖，并求出c

15、⑸/R(s)。 圖2-87習題2-13圖 解：(a)根據(jù)梅遜公式得: Cs Rs1GsH1sG2sH2sGsH1sG2sH2s (b)根據(jù)梅遜公式得: ①(s)_Cs)G(sG2(s) ,「Rs-1G1sdsG2sH2s 2-14 (b) 系統(tǒng)的信號流圖如圖2-88所示，試求C(s)/R(s)。 圖2-88習題2-14圖 圖2-89習題2-15圖 解：(a)根據(jù)梅遜公式得: Cs Rs 2-15 某系統(tǒng)的信號流圖如圖 2-89所示，試計算傳遞函數(shù) C2

16、(s)/R1(s)。若進一步希望實現(xiàn) C2(s)與R[(s)解 2-16 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 2-90所示。 ①求傳遞函數(shù) C(s)/R(s)和C(s) /N(s)。 ②若要消除干擾對輸出的影響 (即C(s) /N(s)=0，問G0(s尸? 解：①由結(jié)構(gòu)圖可知 C(s)/R(s) 圖2r90習題276圖 0.5K 2 中s且_ss1_0.5K_0.5K Rso.0.5K12.5s2s10.5Ks2.5s2S33.5s2s0.5K I2~T~AA， ss1ss1iis1 (b)根據(jù)梅遜公式得： G1sG2s 1G1sdsG2sH2s K1K2K3 Cs_sTs

17、1_K1K2K3 Rs1,K1K2K3sTs1K1K2K3 sTs1 ②由結(jié)構(gòu)圖可知C(s)/N(s) G.K1K2K3K4K3 Cs_0ssTs1-Ts1_K1K2K3G0s-K4K3s Ns1,K1K2K3sTs1K1K2K3 sTs1 若使C(s)/N(s)=0,則意味著 K1K2K3G0s-K4K3s=0 最終求得G0(s)： G0s=-K^-s K1K2 2-17考慮兩個多項式p(s)=s2+2s+1,q(s)=s+1。用Matlab完成下列計算①p(s)q(s) ②G(滬悉x鬟x南; ③擴m 2-18考慮圖2-91描述的反饋系統(tǒng)。 ①利用函數(shù)se

18、ries與cloop,計算閉環(huán)傳遞函數(shù)，并用printsys函 數(shù)顯示結(jié)果； ②用step函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應，并驗證輸出終值為 圖%91 習題2T8圖 2/5。 解：略 2-92所示，其中k=10. 8E+08, a=1和b=8是控制器參數(shù), J=10。 圖2-92 習題2-19圖 圖2-93 習題2-20圖 2-19衛(wèi)星單軸姿態(tài)控制系統(tǒng)的模型如圖8E+08是衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動慣量。 ①編制MatIab文本文件，計算其閉環(huán)傳遞函數(shù)口Ws)/Ms); ②當輸人為Q(s)=10o的階躍信號時，計算并做圖顯示階躍響應； ③轉(zhuǎn)動慣量-,的精確值通常是不可知的，而且會隨

19、時間緩慢改變。當‘，減小到給定值的80%和50% 時，分別計算并比較衛(wèi)星的階躍響應。 2-20考慮圖293所示的方框圖。 ①用Matlab化簡方框圖，并計算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； ②利用pzmap函數(shù)繪制閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖； ③用roots函數(shù)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點，并與②的結(jié)果比較。 (2)如圖所示機械位移系統(tǒng)，求G(s)=Y(s)/F(s)。解：首先對質(zhì)量為m的物體進行受力分析，得所受的合力為 ,2, FtFitF2t=m-y2- dt 其中，F(xiàn)《)=—ky(t)；F2(t)=_f皿)dt 于是有 dytd2yt Ft-kyt-f『m『 整理得 2 m整f誓…Ft 解答完畢。