第二章 解三角形2三角形中的幾何計(jì)算1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計(jì)算問(wèn)題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理進(jìn)行平面幾何中的推理與證明.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考知識(shí)點(diǎn)一平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題畫(huà)出圖形 ；理清已知條件，要求的目標(biāo)；根據(jù)條件目標(biāo)尋求通過(guò)解三角形湊齊缺失條件.答案梳理梳理對(duì)于平面圖形的長(zhǎng)度、角度、面積等計(jì)算問(wèn)題，首先要把所求的量轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選用正弦定理、余弦定理解決.構(gòu)造三角形時(shí)，要注意使構(gòu)造三角形含有盡量多個(gè)已知量，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)二平面圖形中的最值問(wèn)題思考先求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)(4k，3k)，再把約束條件“點(diǎn)在圓上或內(nèi)部”轉(zhuǎn)化為代數(shù)式(4k)2(3k)29，從中求得k的最大值為 .問(wèn)題：直線x2y2k0與直線2x3yk0的交點(diǎn)在圓x2y29上或圓的內(nèi)部，如何求k的最大值？答案梳理梳理類似地，對(duì)于求平面圖形中的最值問(wèn)題，首先要選用恰當(dāng)?shù)淖兞?，然后選擇正弦定理或余弦定理建立待求量與變量間的函數(shù)關(guān)系，借助于三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求最值.知識(shí)點(diǎn)三解三角形常用公式在ABC中，有以下常用結(jié)論：(1)abc，bca，cab；(2)ab ；(3)ABC， ；(4)sin(AB) ，cos(AB) ，sin Asin BABsin Ccos C(5)三角形常用面積公式題型探究題型探究類型一利用正弦、余弦定理求線段長(zhǎng)度例例1如圖所示，在四邊形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的長(zhǎng).解答在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB，設(shè)BDx，則有142102x2210 xcos 60，x210 x960，x116，x26(舍去)，BD16.在BCD中，反思與感悟解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，再利用正弦、余弦定理求解.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B ，求BC邊上的高AD的長(zhǎng).解答在ABC中，由已知設(shè)AB7x，AC8x，x0，又0C7x，知B也為鈍角，不合題意，故C120.C60.由余弦定理，得(7x)2(8x) 215228x15cos 60，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35.解答類型二利用正弦、余弦定理求角度問(wèn)題設(shè)BEx，在BDE中，利用余弦定理，可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，在ABC中，利用余弦定理，反思與感悟運(yùn)用正弦、余弦定理解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，需根據(jù)需要作出輔助線構(gòu)造三角形，再在三角形中運(yùn)用定理求解.解答又0A180，A60.在ABC中，C180AB120B.類型三利用正弦、余弦定理解決平面幾何中的面積問(wèn)題例例3已知ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；證明證明mn，asin Absin B，a2b2，ab，ABC為等腰三角形.(2)若mp，邊長(zhǎng)c2，角C ，求ABC的面積.解答由題意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去ab1).反思與感悟解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，并能熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行求值.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(1)在ABC中，若已知三邊為連續(xù)整數(shù)，最大角為鈍角，求最大角的余弦值；解答設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a1，a，a1，由于最大角是鈍角，所以(a1) 2a2(a1) 20，解得0a4.又因?yàn)閍為整數(shù)，所以a1或2或3.當(dāng)a1時(shí)，a10，不合題意舍去；當(dāng)a2時(shí)，三邊長(zhǎng)為1,2,3，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)a3時(shí)，三邊長(zhǎng)為2,3,4，設(shè)最大角為，則(2)求以(1)中的最大角為內(nèi)角，相鄰兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積.解答設(shè)相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x，y，則xy4.當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.三角形的兩邊長(zhǎng)為3 cm、5 cm，其夾角的余弦值是方程5x27x60的根，則此三角形的面積是答案解析12345123452.在ABC中，周長(zhǎng)為7.5 cm，且sin Asin Bsin C4 56，下列結(jié)論：abc456abc2a2 cm，b2.5 cm，c3 cmABC456其中成立的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3答案解析12345由正弦定理知abc456，故對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)；結(jié)合abc7.5，知a2，b2.5，c3，對(duì)，選C.123453.ABC中，若A60，b16，此三角形面積S ，則a的值為A.7 B.25C.55 D.49答案解析12345123454.在ABC中，ab12，A60，B45，則a .答案解析123455.在ABC中，三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a3，b4，c6，則bccos Aaccos Babcos C的值為 .答案解析12345規(guī)律與方法1.正弦、余弦定理溝通了三角形中的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系.2.不論題目如何千變?nèi)f化，變換條件也好，變換結(jié)論也好.甚至在立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題，只要緊緊抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等變換和代數(shù)恒等變換，就可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)計(jì)算或證明.本課結(jié)束