3.4.1 3.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定第第1 1課時(shí)課時(shí) 相似三角形判定的預(yù)相似三角形判定的預(yù)備定理備定理探究探究 在八年級(jí)上冊(cè)，我們已經(jīng)探討了兩個(gè)三角形全等的條件，下面我們來探討兩個(gè)三角形相似的條件. 為了研究滿足什么條件的兩個(gè)三角形相似，我們先來探究下述問題.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如圖，在如圖，在ABC中，中，D為為AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作作BC的平行線的平行線DE，交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .（1 1）ADE與與ABC的三個(gè)角分別相等嗎？的三個(gè)角分別相等嗎？（2 2）分別度量）分別度量ADE與與ABC的邊長(zhǎng)，它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例？的邊長(zhǎng)，它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例？（3 3）ADE與與ABC之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)DEDE的位置，你的結(jié)論的位置，你的結(jié)論還成立嗎？還成立嗎？我發(fā)現(xiàn)只要我發(fā)現(xiàn)只要DEBC，那么，那么ADE與與ABC是相似的是相似的. .下面我們來證明：下面我們來證明：在在ADE與與ABC中，中，A=A. .DEBC，ADE=B，AED=C. .DEBC，DFAC，如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)D作作DFAC，交，交BC于點(diǎn)于點(diǎn)F. .,.ADAE ADCFABAC ABCB四邊形四邊形DFCE為平行四邊形，為平行四邊形， DE=FC.ADAEDEABACBCADEABC結(jié)論結(jié)論由此得到如下結(jié)論：由此得到如下結(jié)論： 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似交，截得的三角形與原三角形相似. .例例1 1 如圖，在如圖，在ABC中，已知中，已知D，E分別是分別是AB，AC邊邊 的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：ADEABC. .證明證明 點(diǎn)點(diǎn)D，E分別是分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，DEBC.ADEABC.例例2 2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D為為ABC的邊的邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作作DEBC，交邊交邊AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .延長(zhǎng)延長(zhǎng)DE至點(diǎn)至點(diǎn)F，使，使DE=EF. . 求證：求證：CFEABC.證明證明 DEBC，點(diǎn)，點(diǎn)D為為ABC 的邊的邊AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AE=CE.ADEABC.又又DE=FE，AED=CEF，ADECEF.DEBC，CFEABC.1.1.如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90.正方形正方形EFCD的三個(gè)的三個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別在邊分別在邊AB，BC，AC上上. .已知已知AC=7.5，BC=5，求正方形的邊長(zhǎng)，求正方形的邊長(zhǎng). .解：四邊形EFCD是正方形，EDBC,ED=DC=FC=EF.AEDABC.ADEDACBC=.7.57.55ACDCEDDCDCACBC=,即=.3DE ，即正方形的邊長(zhǎng)為3.2.2.如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)O在四邊形在四邊形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC上，上，OEBC，OFCD. .試判斷四邊形試判斷四邊形AEOF與四邊形與四邊形ABCD是否相似，并是否相似，并說明理由說明理由. .解：OEBC，OFCD，AEO=ABC,AOE=ACB,AOF=ACD,AFO=ADC.AOE+AOF=ACB+ACD,即EOF=BCD.又OEBC，OFCD，AOEACB,AOFACD.AEEDAOOFADABBCACCDDC=.四邊形四邊形AEOF與四邊形與四邊形ABCD相似相似. .