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1 5 2剛體的運(yùn)動(dòng)方程剛體 6個(gè)自由度自由度數(shù)目減少 由于約束 例子 繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 3個(gè)自由度 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1個(gè)自由度 在有約束的情況下 關(guān)心剛體本身的運(yùn)動(dòng) 約束反力但 由拉格朗日方程中不容易得到約束反力 以前僅討論理想約束 辦法 回到牛頓表述 一 動(dòng)量定理定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理剛體 特殊的質(zhì)點(diǎn)組 考察剛體整體運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心在靜止系中的矢徑 對(duì)第a個(gè)質(zhì)點(diǎn) 其中 以質(zhì)心為原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的矢徑 因?yàn)?所以 作和 其中 對(duì)固定點(diǎn)o的總角動(dòng)量 對(duì)固定點(diǎn)o的總力矩 對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理 以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn) 仍在慣性系中 對(duì)上式作和 又則 令則 對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理描述剛體的運(yùn)動(dòng)方程組 二 剛體的靜平衡平衡時(shí) 平衡方程例題 見(jiàn)p88 例1 三 剛體的動(dòng)平衡 見(jiàn)p88 略 四 剛體的自由運(yùn)動(dòng)自由運(yùn)動(dòng) 不受外力 不受約束 即 有 質(zhì)心 勻速運(yùn)動(dòng) 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) 且角動(dòng)量守恒 設(shè) 為三個(gè)慣量主軸方向 為沿這三個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則 討論 球?qū)ΨQ(chēng)陀螺 任意選取三個(gè)相互垂直的軸作慣量主軸 此時(shí) 2 轉(zhuǎn)子即 L在平面內(nèi) 3 對(duì)稱(chēng)陀螺 不對(duì)稱(chēng)陀螺 此時(shí) 平面內(nèi)的任一軸都是主軸選在同一平面將分解到和的方向上 分別稱(chēng)為和 并設(shè)它們之間的夾角為 顯然有 L在平面內(nèi) L與的夾角 L與的夾角 L在軸的投影 由圖 在上的分量相等則 且不變 勻速旋轉(zhuǎn) L與軸的夾角不變規(guī)則進(jìn)動(dòng) 對(duì)稱(chēng)陀螺自由轉(zhuǎn)動(dòng) 有繞轉(zhuǎn)動(dòng) 軸繞空間固定軸 L軸 進(jìn)動(dòng) 且與L之間的夾角保持不變 五 歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)稱(chēng)陀螺的基本運(yùn)動(dòng) 1 剛體繞對(duì)稱(chēng)軸的自轉(zhuǎn) 2 自轉(zhuǎn)軸繞空間固定軸的進(jìn)動(dòng) 3 自轉(zhuǎn)軸和固定軸間夾角的章動(dòng) 用歐勒角描述這三種運(yùn)動(dòng) 設(shè) o 固定點(diǎn) oz 固定軸 剛體繞固定軸oz轉(zhuǎn)過(guò)的角度 進(jìn)動(dòng)角 進(jìn)動(dòng)角速度 沿oz方向 剛體繞轉(zhuǎn)過(guò)的角度 自轉(zhuǎn)角 自轉(zhuǎn)角速度 沿方向 和oz間的夾角 章動(dòng)角 章動(dòng)角速度 沿oN方向 1 在平面 在的分量 由圖 2 在上的投影 由書(shū)p91圖可知 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 所以在同一平面 且從上一點(diǎn)作的垂線a 顯然a在上 則 因此組成的平面 即平面 由此在平面的投足落在上 得到沿方向 即沿方向 又與的夾角為 這樣在的分量為3 沿方向 若 已知?jiǎng)t 計(jì)算討論 對(duì)于對(duì)稱(chēng)陀螺 兩個(gè)主軸可在平面上任意選取 則 取沿oN方向于是有 六 歐勒動(dòng)力學(xué)方程剛體的運(yùn)動(dòng)方程為 而中不是常數(shù) 這樣要得到M與的關(guān)系很困難 辦法 建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 坐標(biāo)軸沿三個(gè)慣量主軸方向此時(shí) 設(shè) 矢量A 相對(duì)靜止坐標(biāo)系的改變量若 A相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系不變 則僅僅是由于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的 故一般情況 A相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系改變 說(shuō)明如下 設(shè) 分別為靜止坐標(biāo)系和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 如圖 現(xiàn)在系中分別求矢量A t 隨時(shí)間的變化率 系中的單位常矢量對(duì)系不是常矢量 即在中對(duì)矢量求導(dǎo) 得 A在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的改變令A(yù) L 得 又所以 對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 而 歐勒動(dòng)力學(xué)方程 1 5 3非慣性系中的運(yùn)動(dòng)若 將參考系固連在剛體上 只要?jiǎng)傮w不是作勻速運(yùn)動(dòng) 這一參考系為非慣性系 設(shè) 系 慣性系 系 相對(duì)系的速度為V t K系 相對(duì)系的角速度為則 K系 非慣性系做的事 在K系中建立運(yùn)動(dòng)方程設(shè) 矢量A A在系中的導(dǎo)數(shù) 則 令 質(zhì)點(diǎn)在系中的速度 質(zhì)點(diǎn)在系中的速度 v 質(zhì)點(diǎn)在K系中的速度 V 系對(duì)系的速度 則 上式右邊各項(xiàng)再對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 有 慣性系中 非慣性系中的運(yùn)動(dòng)方程f 外力 平動(dòng)加速度產(chǎn)生的慣性力 角加速度產(chǎn)生的慣性力 科里奧利力 慣性離心力