第一單元層次分析法一AH騎介(TheAnalyticHierarchyProcess-AHP)前言最優(yōu)化技術(shù)在決策分析中占著極重要的位置，數(shù)學(xué)模型在最優(yōu)化技術(shù)中占著統(tǒng)治地位；由于系統(tǒng)越來復(fù)雜，數(shù)學(xué)模型也越來越復(fù)雜，掌握運用困難很多，并且隨著復(fù)雜性增加，模型解與實際要求距離也在增加。事實上，數(shù)學(xué)模型也非萬能，決策中大量因素?zé)o法定量表示，所以，有時人們不得不回到?jīng)Q策的起點和終點：一一人的選擇和判斷，需要認真地研究選擇和判斷的規(guī)律，這就是AHP產(chǎn)生的背景。匹茲堡大學(xué)Saaty教授于七十年代中期提出層次分析法AHP。于80年代初由Saaty的學(xué)生介紹到我國。層次分析AHP的特點：1 .輸入信息主要是決策者的選擇和判斷。決策過程充分反映了決策者對決策問題的認識；2 .簡潔性：基于高中知識，可不用計算機完成計算；3 .實用性：能進行定量分析，也可定性分析；而通常最優(yōu)化方法只能用于定量分析；4 .系統(tǒng)性：人們決策大致分三種：(因果判斷、概率推斷和系統(tǒng)推斷)，AHP把問題看作一個系統(tǒng)屬于第三種，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的數(shù)學(xué)背景。好在我們只重應(yīng)用，并不過多涉及AHP的數(shù)學(xué)背景。AHP的主要不足在于：AHP只能用于選擇方案，而不能生成方案；主觀性太強，從層次結(jié)構(gòu)建立，判斷矩陣的構(gòu)造，均依賴決策人的主觀判斷，選擇，偏好，若判斷失誤，則可能造成決策失誤。規(guī)劃論一一采用較嚴格的數(shù)學(xué)計算，把人的主觀性降到最低程度；但有些決策結(jié)果令決策人難以接受。AHP從本質(zhì)上講是試圖使人的判斷條理化，所得結(jié)果基本上依據(jù)人的主觀判斷，當決策者的判斷因受個人偏好影響對客觀規(guī)律歪曲時，AHP的結(jié)果顯然靠不住，所以，AHP中通常是群組判斷方式。盡管AHP在理論上尚不完善，應(yīng)用中也有缺陷；但由于AHP簡單、實用，仍被視為是多目標決策的有效方法，至今仍被廣泛應(yīng)用的一種無結(jié)構(gòu)決策方法。1預(yù)備知識1 .特征值與特征向量1.1特征值與特征向量的概念設(shè)A=（aj晨為n階方陣，若常數(shù)人和非零n維向量g=（g1,g2,，gJT滿足Ag=Zg（1）則稱為一為矩陣 A 的一個特征值（或特征根），非零向量 g 為矩陣 A 的屬于特征值九的特征向量。1.2特征值與特征向量的求法由（1）知Ag-母=0,（A九 EB=0所以，g 是齊次線性方程組（A-九EX=0的非零解，所以有A九 E=0（2）稱（2）式為矩陣A的特征方程。它是一個一元n次方程，由代數(shù)基本定理知，該方程有且只有n個根。解 A 的特征方程，可求得 A 的n個特征值心，兒2，兒n。解齊次線性方程組（A%EX=0,其非零解為的全部特征向量（i=1,21n）。利用MATERLAB軟件，可以很容易地求出 A 的n個特征值及相應(yīng)的特征向量。2 .重量模型m（,m2,，mn。設(shè)準則C為“重量大為好”，要在準則C下對n個物體UI,U2,，Un按其重量大小排序。1.a。0,4=1；12.aij=；aji3.aijajk=aik滿足1）的矩陣A稱為正矩陣。滿足1）、2）的矩陣A稱為正互反矩陣。滿足1）、2）、3）的矩陣A稱為一致性判斷矩陣。如果已知一致性判斷矩陣 A,可根據(jù) A 的任一行（列）元素對小排序，且按不同行（列）的排序結(jié)果完全相同。設(shè) A 為一致性判斷矩陣，由A-九E=（-1），2（八-n）=0可求得 A 的n個特征值為設(shè)U1,U2,，Un為n個物體，重量分別為如果回，m2,，mn的值已知，則可按重量大小對設(shè)m1,m2,，mn的值未知，令a。=fmj(i,j=1,2，n),A 二n個物體排序。m1m1m2m2m2(aj葭=m1m2mnmnm1m2m1mnm2mnamnmn)顯然 A 滿足:對任意的 i,j=1,2,，n,有n個物體U1,U2,，Un按重量大解齊次線性方程組（A-nE/=0,可得%=n的特征向量為Tg小日凡,E）,k=0由此可得，如果 A 為一致性判斷矩陣，則 A 的最大特征值為九max=n,其余特征值為零。且。=n的特征向量為Tg=k（mi,m2,凡）,k:0由于當 k0 時，g 的分量與g0=（m,m2,，0）丁的分量有相同的排序。所以只要求出九max=n的特征向量任意一個分量全為正的特征向量，則可按此特征向量的分量大小順序?qū)個物體排序。3 Perro-Frobineus定理正矩陣存在重數(shù)為1的正特征根，其它特征根的模均小于這個正特征根，該正特征根對應(yīng)的特征向量可以全部由正分量組成，經(jīng)“歸一化”處理后該特征向量是惟一的。AHP型如果對一致性判斷矩陣 A 有一個小的擾動，即aj不再是真實重量的比值，這時顯然 A 不滿足一致性條件(A是正互反矩陣)，此時 A 的最大特征值?、max不再是n；因擾動很小，希望九max與n相差不大，這時Amax對應(yīng)的特征向量雖然不會是n個物體的真實重量g0=(m1,m2;-,mnT的倍數(shù)，但變動也不會太大。我們設(shè)想：如果對 A 的擾動不大，則兒max離n就不遠，此時Kmax對應(yīng)的特征向量 g 與50差不多，如果 g 不改變缶的各分量的大小次序，則 g 的分量同樣給出n個物體u1,u2，un按重量大小的真實排序。這樣，對不滿足一致性的正互反矩陣A=(aij)n沖，我們求其最大特征根入max,再求與九max對應(yīng)的特征向量g,則可按 g 的分量大小對n個物體u1,u2，un按重量大小排序。但是，這種做法有幾個問題：當 A 不滿足一致性時，A 還有沒有最大正特征根；既使 A 有最大特征根，那么，這個最大特征根Kmax對應(yīng)的特征向量的分量能否全是正數(shù)？上一節(jié)的Perron定理明確告訴我們，對正的互反矩陣A,既使它不滿足一致性，也一定存在最大正的實特征根，它對應(yīng)的特征向量的各個分量都可以是正數(shù)，并且“歸一化”后是惟一的。最重要的問題是，我們能否按這個“歸一化”后惟一的特征向量對n個物體按重量大小排序呢？或說這個“歸一化”后的特征向量是否會改變擾動前的一致性矩陣 A 的最大特征根九max=n對應(yīng)的特征向量的各分量的大小排序呢？人們難于正面明確地回答這個問題，而只能給出一個并不是十分令人滿意的簡接回答。那就是對判斷矩陣A=(aj的一致性滿意程度進行檢驗。由于對 A 的擾動不大，最大特征值與n不會相差太大?？梢宰C明：只要 A 不滿足一致性，那么A 的最大特征根Xmax一定比n大，即入maxn0。稱 C.I.為一致性檢驗指標。顯然，我們希望 C.I.盡量小。但是，C.I.小到什么程度，才能使九max與maxn對應(yīng)的特征向量“歸一化”后各分量大小次序不被破壞呢？這是一個理論上無法解決的問題，人們難以正面回答。Saaty給出了平均一致性檢驗值 R.I.:對一致性判斷矩陣 A 進彳f1000次隨機擾動，得到1000個不同的 C.I.,計算其算術(shù)平均值得到平均隨機一致性檢驗指標 R.I.如下：階數(shù)123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58 1.59A 的最大特征值九max對應(yīng)的特征向量“歸一化”后，能給出n個物體UI,U2,，un按重量大小的真實排序。C.I.=max-n令當 C.R.0.1 時，認為判斷矩陣C.R.=C.I.R.I.A 的一致性是可以被接受的。亦即當C.I.0.1R.I.時，認為判斷矩陣A=(aj)近似滿足一致性。即認為此時可以看出這不是正面回答，但這已是目前為止最好的回答,從應(yīng)用角度看，當 C.R.,aij一，aii-1aji所以，A 是正互反矩陣，且又角線上元素為1。但是，A 通常不具有傳遞性，即ajWjk#aik,這是由事物的復(fù)雜性和人的認識的局限性造成的。如果aj，ajk=aik成立，即 A 是一致性矩陣，則n個元素比較 n-1 次，即可完全確定順序。從判斷矩陣 A 出發(fā)到導(dǎo)出元素在某種準則下按重要性大小的排序，矩陣 A 的一致性起著至關(guān)重要的作用。按著 1C 比例標度的上述說明，具體構(gòu)造應(yīng)用實例的六個準則下的兩兩比較判斷矩陣如下：GCiC2C3C4C5G13535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C1A1A2AA1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A3171/41C4A1A2A3A11/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A2211A3311ccC.I.C.R.=R.I.3.0037-320.52=0.00356:二 0.1712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計算單一準則下各元素的相對權(quán)重要性權(quán)重。(b)以G為準則的判斷矩陣115B21=115利用materlab軟件，求得最大特征值及歸一化特征向量為Xmax=3.0183,p=(0.16921,0.38737,0.44342)T致性檢驗：由于B24的一致性可以接受，p 的三個分量可以作為c4下A、A2、A3的重要性權(quán)重。(。以G為準則的判斷矩陣11/21/3B25=211=B24311T.一致性檢驗：由于所以，通過檢驗。即認為性權(quán)重。C.RC.I.R.I.3.0764-320.52=0.07346:二 0.1B23的一致性可以接受，p 的三個分量可以作為C3下A、A2、A3的重要C.RC.I.R.I.3.0183-320.52=0.01760:二 0.1所以，通過檢驗。即認為所以，B24的一致性可以接受，p=(0.16921,0.38737,0.44342)的二個分量可以作為q下A、A2、人3的重要性權(quán)重。712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計算各層元素的組合權(quán)重攙昀權(quán)重計算設(shè)準則層元素相對于總目標的排序權(quán)重向量為:a=(a1，a2,%,a4，a5)T方案層關(guān)于準則層第j準則的排序向量為：bj=(%,b2j,0j)T(j=1,2,3,4,5)則方案層3個元素相對于總目標的組合權(quán)重向量為:本例中，方案A、B、C在總目標G下的排序向量為0.454550.648290.695520.169210.16920=0.454550.229670.229020.387370.3873|、0.090900.122030.075460.443420.4434)攙昀對于遞階層次組合判斷的一致性檢驗設(shè)第一層的計算結(jié)果為：C.I.1,R.I.1,C.R,1G下B2i的檢驗指標為C.I.2,R.I.2,C.R.2,(i=1,2,3,4,5)則第二層的相應(yīng)指標為:C.I.2=(C.I.12cI.2，C.I.5)aRI.2=(R.I.2,R.I.2,-,R.I.5%aCIC.R.2=C.R.1R.I.當C.R.20.1時，認為遞階層次在2層水平上整個判斷有滿意的一致性。QIb11b12b13b14b15a2b21b22b23b24b25a3&1b32b33b34b35)a4=bibhhbsa1二0.459I10.192870.095120.1928r、0.059910.44270.37270.1845對本例，有C.I.1=0.051675,R.I.1-1.12,C.R.1=0.046140.4593、0.1928C.I.2=(0,0.00185,0.0382,0.00915,0.00915)，0.0951=0.006300.19280.0599,0.45930.1928RI.2=(0.52,0.52,0.52,0.52,0.52)，0.0951=0.520.19280599)CCC.I.20.00630C.R.2=C.R.12=0.04614=0.05826R.1.20.52因為C.R.20,%0%+Nji=1ij%=0(表明一個隊無法與自己比賽)在實際問題中，可取到0,1上的一切實數(shù)。稱h為Ui和Uj(i#j)的相對測度，稱ijnn為兩兩比賽判斷矩陣。如果%則稱Ui比Uj強，記為UiUj,含意是兩者比賽完后Ui得分七比Uj得分吃多，即Ui勝了；若判斷矩陣N=(%)n刈滿足：nn當UiUj,UjAUk時，有UiUk,則稱判斷矩陣叫n=N具有一致性。注意：UiUj,UjUk,而UkUi在此并不罕見，即甲勝乙、乙勝丙，而丙勝甲的連環(huán)套是常有的。一致性矩陣的含意是：全部比賽未出現(xiàn)“連環(huán)套”的情況，允許甲大勝乙，乙大勝丙，而甲僅僅小勝內(nèi)的情況出現(xiàn)。此時重量模型的一致性不被滿足，但是球賽的一致性卻可以被滿足，故球賽型比重量模型的兩兩比較判斷矩陣的一致性要求要低很多。nn1Uj的總得分fi=%,顯然工 fj=1n(n1)。令j1i12T2nWc=(w：,w：2,，wUn),W：=Z%n(n-1)jw稱Wc為在得分準則下相對權(quán)向量。以上討論可由下表給出：準則cU1U2UnWcU111專cWU1U2-匕1匕23*cWn2-Un匕匕2%cWnnn對(與n茹逐行檢驗就可知是否具有一致性。由于兩兩比較測度判斷矩陣)海的一致性是UiUj；兩兩比較比例標度判斷矩陣nn匕。晨的一致性要求ajajk=aik,顯然在AHP的判斷矩陣的一致性要求高，通常的判斷矩陣的一致性難以滿足；而AHM的判斷矩陣的一致性要求很低，只要甲比乙強、乙比丙強，則甲比丙強，至于強多少沒有具體要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被滿足時，對應(yīng)到AHM時一致性卻經(jīng)常可以被滿足，并且一致性可從(5)1n刈自身中觀察檢驗。注：比賽模型有兩類：一類如田徑、游泳、跳水、體操等，運動員的成績可以單獨測量出來；另一類如擊劍、拳擊、球賽，只有通過兩隊比賽才能定出來。球賽模型反映了后一類比賽。AHM中的比較判斷矩陣N=(Nj)通常由AHP中的比較判斷矩陣A=(aj)中導(dǎo)出:轉(zhuǎn)模公式為：-Jji定，如B=2如上右式。從(%)中直接檢驗一致性，當一致性成立時就可以應(yīng)用AHM,可用來按分量大小對Ui排序；綜合得分率最高者認為名次在前。事實上，當判斷矩陣N不滿足一致性時，仍然可以計算各隊的得分率，并按得分率對各隊排序也是可以的，故一致性檢驗是非本質(zhì)的。ij-j11aijk10.50aijaijaij1k二1=12k2k+11=2k10.50，相當于兩隊比賽，一隊勝得1分,aaijajaijaij_1k=1i=j=1i=j另一隊敗得0分；當P取AHM層次決策例仍用“AHP”的例子， 某鬧市區(qū)一商場附近交通擁擠。 目標G:為改善該街區(qū)交通環(huán)境。 有三種方案可供選擇：A:修天橋或修高架橋；A2：修地道；A3：商場搬遷。選擇方案的準則有5個:Ci:通車能力；C2:方便市民；C3:改造費用；C4:安全性；c5:市容美觀。兩兩比較的比例標度判斷矩陣如前。問題：選擇哪種方案？解：1、建立遞階層次結(jié)構(gòu):最高層：目標層G:改變交通環(huán)境2、單一準則下的相對權(quán)向量準則CU1U2UnE(C)wU111專席nzi=12njn(n-1)j3U2m21a匕2+3nz匕i3a2nZ2jn(n-1jaUn，1%RnnJniiT2n工%n(n-1)j3比如計算準則C2得C2A1AA3Sw(C2)A100.8570.9091.7660.5887A20.14300.80.9430.3143A30.0910.200.2910.0970轉(zhuǎn)換公式:2k2k+11ii_jij-2k+10.50aij=ka.ajaij=1i=ja。二 1i=j同理得準則G,c1,c2,c3,c4,C5下排序權(quán)重，上述比較矩陣顯然滿足一致性條G通車G方便C2費用C3C4巾谷C5Gw通車G00.8570.9090.8570.9090.3530方便C20.14300.8570.50.8570.2360費用C30.0910.14300.1430.8570.1230C40.1430.50.85700.8570.2360巾谷C50.0910.1430.1430.14300.0520通車能力C1A1A2A3C1w方便C2A1AA3C2w天橋A00.50.9090.47天橋A00.8570.9090.589地道A20.500.9090.47地道A0.14300.80.314搬遷A0.0910.09100.06搬遷A30.0910.200.097費用C3A1A2A3C3wC4AAAC4w天橋A100.8890.9330.607天橋A00.20.1430.114地道A20.11100.8890.333地道A0.800.50.433搬遷A0.0670.11100.060搬遷A0.8570.500.453巾谷C5A1AAC5w天橋A100.20.1430.114地道A20.800.50.433搬遷A30.8570.500.4533、計算各方案對目標的合成權(quán)重WGA=(w2,WC5)WG即：0.3530,0521由此知，方案Ai的權(quán)重最大，故決策Ai,此結(jié)論與文獻1中用AHP所得結(jié)論相同。結(jié)論：層次分析AHP,與層次分析模型AHM是兩種不同模型，AHP基于重量模型，AHM基于球賽模型，本質(zhì)區(qū)別在于a.=1,而匕=0,a。是正整數(shù)或其倒數(shù)，而可在0,1上取連續(xù)數(shù)匕=1-。，但是應(yīng)用上，兩兩比較確定匕較困難，而用1C比例標0.470,5890.6070.1140.114、0.236WGA0.470,3140.3330.4330.4330.1239.060,0970.060,4530.4530.23604120.4060,182,AiA2A3Wn-AWn二B一fn度確止aj直觀且易操作，故兩兩比較測度看常從兩兩比較標度中轉(zhuǎn)換得來。二者最本質(zhì)判別是：AHP用特征根法求導(dǎo)出排序向量，而特征根法要求必須對(aij)n作一致性檢驗：aijajk=aik嚴格滿足一致性條件，幾乎是不可能的，所以，只是近似滿足，認為當C.R.Uj,UjAUk時，就有Ui即可。從本質(zhì)上講，不進行一致性檢驗，由得分率仍然給出Ui,U2,，Un在準則C下的一種排序。且運算簡單，僅用加乘，故是一種簡單的決策方法。關(guān)于一致性檢驗：AHP中，一致性檢驗；AHM,本質(zhì)上沒有一致性檢驗的條件限制。附錄：關(guān)于特征方程的補充設(shè)兩兩比較相對重量的精確測度為:wvv2vv2vv2vvnvWnW2WnWnWn則特征方程|A-距|=0,有一重實根九=n 及nT重0根。證明：W2WWL.W2W2-/uW2WiWnW2WnW2-WLW2W2-/ljW2WnWWnW2Wi1WnW2W(-)fn4()WnWnW2-fnJ=2X-2七JWnn-1n-1.fn2-2fnm-”,n=0故人二n為一重特征根，九=0為nT 重特征根。皿皿.W1皿W2Wn0-九000*一九0-0-WW2f2-=WnWn四一=（九_12-1=N-2k證畢!n1=fn=n一2一叫