《北京大學(xué)量子力學(xué)課件第26講.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北京大學(xué)量子力學(xué)課件第26講.ppt（64頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第二十六講 全同粒子的交換不變性的后果 1 兩全同粒子的波函數(shù)若兩全同粒子 它們的相互作用是變量可分離型的 即 可以證明 若粒子自旋為 則在兩粒子自旋交換時(shí)的對(duì)稱(chēng)性為 若兩粒子都處于態(tài) 而總角動(dòng)量為 其交換對(duì)稱(chēng)性為 則應(yīng)滿(mǎn)足偶 2 由于全同粒子交換不變性 而使體系可能處的狀態(tài)數(shù)目不同 例 設(shè)有三個(gè)粒子處于 不同量子數(shù)單態(tài) A 玻色子3個(gè)處2個(gè)處各處同一態(tài)同一態(tài)一個(gè)態(tài)B 費(fèi)米子1各處一個(gè)態(tài) 3 由于全同粒子交換不變性 而使體系的幾率分布不一樣 4 由于全同粒子交換不變性 在散射時(shí) 散射截面不一樣 當(dāng)兩粒子散射時(shí) 粒子散射到 處 即偏轉(zhuǎn)角的散射幾率為 粒子1如散射到 處 其偏轉(zhuǎn)角為 散射幾率為 A 玻色子 自旋為0 散射幾率為 即 分不出 由于 為偶 如自旋為1 非極化散射幾率為 自旋 自旋自旋 5 由于全同粒子交換不變性 使體系所處的狀態(tài)結(jié)構(gòu)也不同元素周期表的規(guī)律正是由于電子為費(fèi)米子 PauliexclusionPrinciple起作用的結(jié)果 例 粒子處于一維諧振子勢(shì)中 單粒子波函數(shù)相應(yīng)能量為對(duì)個(gè)玻色子 基態(tài)是所有粒子都處于態(tài) 每個(gè)粒子平均能量為 B 費(fèi)米子 自旋 自旋為的費(fèi)米子非極化的散射幾率 但對(duì)個(gè)無(wú)相互作用的費(fèi)米子 基態(tài)是二個(gè)處于 二個(gè)處于 N為偶 N為奇所以 每個(gè)粒子平均能量為 定態(tài)微擾論這里討論的是與無(wú)關(guān)設(shè) 要求其本征值和本征函數(shù)其中很接近 且有解析解 而是小量 為易于表達(dá)其大小的量級(jí) 1 非簡(jiǎn)并能級(jí)的微擾論設(shè) 的本征值和本征函數(shù)為 構(gòu)成一正交 歸一完備組 現(xiàn)求解即 求 的步驟是通過(guò)逐級(jí)逼近來(lái)求精確解 即將 對(duì)展開(kāi) 即對(duì)矩陣元展開(kāi) 從 出發(fā)求 當(dāng) 即 非簡(jiǎn)并微擾論就是處理的那一條能級(jí)是非簡(jiǎn)并的 或即使有簡(jiǎn)并 但相應(yīng)的簡(jiǎn)并態(tài)并不影響處理的結(jié)果 A 一級(jí)微擾近似以標(biāo)積以 標(biāo)積 因此 在一級(jí)近似下 歸一化準(zhǔn)至一級(jí) 所以 在這條能級(jí)為非簡(jiǎn)并時(shí) 其能量的一級(jí)修正恰等于微擾項(xiàng)在無(wú)微擾狀態(tài)的平均值 例1 考慮一個(gè)粒子在位勢(shì) 準(zhǔn)至一級(jí)修正的能量為 從這可以看到微擾論的應(yīng)用限度 如準(zhǔn)到一級(jí) 可以看出 完全是分立能級(jí) 但事實(shí)上 當(dāng)時(shí) 粒子是自由的 因此 能級(jí)是連續(xù)的 可取任何值 所以 要一級(jí)修正比較精確 則必須 即經(jīng)典和量子的差別 經(jīng)典粒子不能運(yùn)動(dòng)到區(qū)域中去 而在量子力學(xué)中 粒子有一定幾率在 區(qū)域中 在這區(qū)域中 有所以粒子受到的排斥力比處于純諧振子勢(shì)中的粒子小 以至于 事實(shí)上 由于由定理可證得例2 求氦原子的基態(tài)能量 設(shè) 的基態(tài)為 即 于是以方向?yàn)閆方向 所以 由于 所以 準(zhǔn)至一級(jí)的能量為B 二級(jí)微擾 當(dāng)微擾較大時(shí) 或一級(jí)微擾為零時(shí) 則二級(jí)微擾就變得重要了 由項(xiàng)得 以進(jìn)行標(biāo)積得 以進(jìn)行標(biāo)積得 所以準(zhǔn)至二級(jí)的能量和波函數(shù) 由準(zhǔn)至二級(jí)的歸一化波函數(shù)為 顯然 要使近似解逼近真實(shí)解 就要恰當(dāng)選取 而且要求 這樣取一級(jí)近似才可以滿(mǎn)足精度要求 例 剛體轉(zhuǎn)子的斯塔克效應(yīng) StarkEffect 將體系置于外電場(chǎng)中 能級(jí)發(fā)生移動(dòng)的現(xiàn)象稱(chēng)為StarkEffect 設(shè) 轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量為 電偶極為 當(dāng)置于均勻外電場(chǎng)中 取電場(chǎng)方向?yàn)閦 顯然 有重簡(jiǎn)并 由于 因此 運(yùn)算到的本征態(tài)上 不改變其本征值由遞推關(guān)系 于是所以 盡管每一條能級(jí)有重簡(jiǎn)并 但是 對(duì)某一態(tài)有相互作用的是那些同能級(jí) 因此 如考慮未微擾的能級(jí)態(tài)為 則只需要考慮 而 對(duì)和都沒(méi)有任何影響 所以 可看作 沒(méi)有簡(jiǎn)并 的態(tài) 從而可用非簡(jiǎn)并 微擾論來(lái)處理 由這可看出 簡(jiǎn)并部分解除 同不同的能量不同 但相同 和態(tài)仍簡(jiǎn)并 即重簡(jiǎn)并條 不簡(jiǎn)并 而其他的為二重簡(jiǎn)并 簡(jiǎn)并的解除 實(shí)際上是的對(duì)稱(chēng)性被破壞 如沒(méi)有完全解除 那實(shí)際上對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有完全被破壞 2 堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)A 堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子 它受到來(lái)自原子核和其他電子提供的屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)作用 價(jià)電子的哈密頓量為 取選力學(xué)量完全集則能量與無(wú)關(guān) 所以 的本征值及徑向波函數(shù)是與無(wú)關(guān) 對(duì)和是簡(jiǎn)并的 一級(jí)微擾 對(duì)所以 一級(jí)微擾修正與有關(guān) 前面已討論過(guò)因此 這即觀測(cè)到的納光譜的雙線結(jié)構(gòu)的原因 B 反常塞曼效應(yīng) 在較強(qiáng)磁場(chǎng)中 原子光譜線分裂的現(xiàn)象 一般分為三條 稱(chēng)為正常塞曼效應(yīng) 即使考慮自旋 而自旋 軌道耦合和項(xiàng)可忽 也同樣 因 當(dāng)磁場(chǎng)較弱時(shí) 與引起的附加能量可比較時(shí) 就不能忽略自旋 軌道相互作用項(xiàng)而僅考慮項(xiàng) 這時(shí) 哈密頓量 在均勻外磁場(chǎng)下 取方向?yàn)榉较?則 忽略 這時(shí) 簡(jiǎn)并度為 即對(duì)簡(jiǎn)并 選 是磁場(chǎng)為零時(shí)的能量本征方程的本征值 當(dāng)置入弱磁場(chǎng) 均勻 取方向 而引起能級(jí)移動(dòng) 在一級(jí)微擾下 所以 當(dāng)放入弱磁場(chǎng)中 能級(jí)由根據(jù)偶極躍遷選擇定則 有四條光譜線 所以 這時(shí)每條能譜線的多重態(tài)是偶數(shù) 多重態(tài)的能級(jí)間距隨不同能級(jí)而不同 而光譜線也是偶數(shù)條 3 簡(jiǎn)并能級(jí)的微擾論當(dāng)體系的一些能級(jí)是簡(jiǎn)并時(shí) 那考慮這些能級(jí)所受的擾動(dòng)影響時(shí) 就不一定能利用上述公式 因這時(shí)初態(tài)不能確定處于那一個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)上 而一級(jí)波函數(shù)修正當(dāng) 即與簡(jiǎn)并的態(tài) 則分母為零