數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法 課程的內(nèi)容課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 數(shù)學(xué)物理方程的一些數(shù)學(xué)物理方程的一些基本知識(shí)基本知識(shí)二、二、 定解條件的推導(dǎo)定解條件的推導(dǎo)三、三、 定解問題的概念定解問題的概念一、一、 基本方程的建立基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的 橫振動(dòng)。不受外力影響。例例1、弦的振動(dòng)、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿縱向的位移。( , )u x t簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運(yùn)動(dòng)定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動(dòng)方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：例例2 2、熱傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度 ),(tzyxu根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉試驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)MSSVntVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)MSSVn同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、 波動(dòng)方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。x ax auTkux 或0 x auuxB、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值|sufS給定區(qū)域v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)0sun(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k1u1SSuuun1kk第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1 1、定解問題、定解問題三、定解問題的概念三、定解問題的概念(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。定解問題的檢驗(yàn)定解問題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng) 的微小變動(dòng)。3 3、線性偏微分方程的分類、線性偏微分方程的分類 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程 按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程2 2、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程。線性方程的解具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、疊加原理、疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判斷下列方程的類型思考5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果將某個(gè)函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。通解： 解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。 特解： 通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。 形式解：未經(jīng)過驗(yàn)證的解為形式解。 6 6、求解方法、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法