專題九選做大題9.1 坐標系與參數(shù)方程 (選修44)-3-4-5-6-7-8-1.極坐標系與極坐標(1)極坐標系:如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.(2)極坐標:設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標,記為M(,).一般地,不作特殊說明時,我們認為0,可取任意實數(shù).-9-2.極坐標與直角坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸的非負半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標為(,),則它們之間的關(guān)系為x=cos ,y=sin .另一種關(guān)系為2=x2+y2,tan = (x0).3.直線的極坐標方程若直線過點M(0,0),且此直線與極軸所成的角為,則它的方程為sin(-)=0sin(0-).幾個特殊位置的直線的極坐標方程:(1)直線過極點:=0和=+0;(2)直線過點M(a,0),且垂直于極軸:cos =a;-10-4.圓的極坐標方程若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為2-20cos(-0)+ -r2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標方程:(1)圓心位于極點,半徑為r:=r;(2)圓心位于M(a,0),半徑為a:=2acos ;5.曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中,如果曲線上任意一點的坐標(x,y)都是某個變量t的函數(shù) 并且對于t的每一個允許值,上式所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,則稱上式為該曲線的參數(shù)方程,其中變量t稱為參數(shù).-11-6.一些常見曲線的參數(shù)方程 -12-13-考向一考向二考向三考向四參數(shù)方程與極坐標方程間的互化參數(shù)方程與極坐標方程間的互化例1在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.-14-考向一考向二考向三考向四解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組 若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1.-15-考向一考向二考向三考向四解題心得1.無論是參數(shù)方程化為極坐標方程,還是極坐標方程化為參數(shù)方程,都要先化為直角坐標方程,再由直角坐標方程化為需要的方程.2.求解與極坐標方程有關(guān)的問題時,可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標方程求解.若最終結(jié)果要求用極坐標表示,則需將直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標.-16-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為=2cos , .(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y= x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.解 (1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0y1). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓,因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線CD與l的斜率相同,-17-考向一考向二考向三考向四求兩點間距離的最值求兩點間距離的最值例2在直角坐標系xOy中,曲線C1: (t為參數(shù),t0),其中 0.在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=2sin ,C3:=2 cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標;(2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值.-18-考向一考向二考向三考向四解 (1)曲線C2的直角坐標方程為x2+y2-2y=0, (2)曲線C1的極坐標方程為=(R,0),其中00),M的極坐標為(1,)(10). 由|OM|OP|=16得C2的極坐標方程=4cos (0).因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x0).(2)設(shè)點B的極坐標為(B,)(B0).由題設(shè)知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面積-24-考向一考向二考向三考向四解題心得對于極坐標和參數(shù)方程的問題,既可以通過極坐標和參數(shù)方程來解決,也可以通過直角坐標解決,但大多數(shù)情況下,把極坐標問題轉(zhuǎn)化為直角坐標問題,把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有利于在一個熟悉的環(huán)境下解決問題.這樣可以減少由于對極坐標和參數(shù)方程理解不到位造成的錯誤.-25-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為= (R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.解 (1)因為x=cos ,y=sin ,所以C1的極坐標方程為cos =-2,C2的極坐標方程為2-2cos -4sin +4=0.-26-考向一考向二考向三考向四求動點軌跡的方程求動點軌跡的方程例4已知動點P,Q都在曲線C: (t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=與t=2(02),M為PQ的中點.(1)求M的軌跡的參數(shù)方程;(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.-27-考向一考向二考向三考向四解 (1)依題意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).當=時,d=0,故M的軌跡過坐標原點.解題心得在求動點軌跡方程時,如果題目有明確要求,求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標方程或求軌跡的直角坐標方程,那么就按要求做;如果沒有明確的要求,那么三種形式的方程寫出哪種都可,哪種形式的容易求就寫哪種.-28-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (1)求C2的方程;(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線= 與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.-29-考向一考向二考向三考向四(2)曲線C1的極坐標方程為=4sin ,曲線C2的極坐標方程為=8sin .