第第1 1講講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積空間幾何體的三視圖、表面積與體積考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 空間幾何體的三視圖考點(diǎn)二 空間幾何體的表面積與體積（高頻考點(diǎn)）考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問題考點(diǎn)四 數(shù)學(xué)文化與立體幾何考點(diǎn)一 空間幾何體的三視圖一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖的長度一樣,側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.典型例題典型例題(2017北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為()A.3B.2C.2D.2232解析解析根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示,將該四棱錐放入棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為PD,PD=2.故選B.2222223答案答案B方法歸納方法歸納由三視圖還原直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016天津,3,5分)將一個(gè)長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案答案 B由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖,如圖所示.該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)B.故選B.2.(2016遼寧沈陽教學(xué)質(zhì)量檢測(一)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)凸多面體的三視圖(兩個(gè)矩形,一個(gè)直角三角形),則這個(gè)幾何體可能為()A.三棱臺B.三棱柱C.四棱柱D.四棱錐答案答案B根據(jù)三視圖的畫法法則:長對正、高平齊、寬相等,可得幾何體的直觀圖如圖所示,這是一個(gè)三棱柱.考點(diǎn)二 空間幾何體的表面積與體積(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)命題點(diǎn)1.由三視圖求空間幾何體的體積.2.由三視圖求空間幾何體的表面積.3.根據(jù)已知空間幾何體求其表面積或體積.1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高);(2)S錐側(cè)=ch(c為底面周長,h為斜高);(3)S臺側(cè)=(c+c)h(c,c分別為上、下底面的周長,h為斜高).12122.柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高);(2)V錐體=Sh(S為底面面積,h為高);(3)V臺=(S+S)h(S,S分別為上、下底面面積,h為高)(不要求記憶).1313SS3.球的表面積和體積公式(1)S球表=4R2(R為球的半徑);(2)V球=R3(R為球的半徑).43典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,7,5分)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16A.B.C.D.163329169(2)(2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為()解析解析(1)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖.該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1構(gòu)成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,則梯形的面積之和為2=12.故選B.(2)由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2、高為4的圓錐的一部分,設(shè)底面扇形的圓心角為,則cos(-)=,所以=,所以所求幾何體的體積V=224=,故選D.(24)22122323213169答案答案(1)B(2)D方法歸納方法歸納求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公式是關(guān)鍵所在.求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上.(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體進(jìn)行求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016課標(biāo)全國,6,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28283答案答案A由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球被截去后剩下的部分,設(shè)球的半徑為R,則該幾何體的體積為R3,即=R3,解得R=2.故其表面積為422+322=17.選A.187843283784378142.(2017湖南湘中名校高三聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.B.32C.D.16033233523答案答案 A由三視圖可知,該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長為4)、高為8的直三棱柱截去一個(gè)等底且高為4的三棱錐而得到的,所以該幾何體的體積V=448-444=,故選A.12131216033.(2017南昌第一次模擬)如圖,直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞BC邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所得的幾何體的表面積為.答案答案(+3)2解析解析根據(jù)題意可知,此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1,高為1),下半部分為圓柱(底面半徑為1,高為1),如圖所示.則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面面積之和,即表面積為1+212+12=(+3).22112考點(diǎn)三 多面體與球的切、接問題與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.B.C.D.(2)(2016課標(biāo)全國,10,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4B.C.6D.342492323解析解析(1)設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,由題意可得r2+=12,解得r=.圓柱的體積V=r21=,故選B.(2)易知AC=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則68=(6+8+10)r,所以r=2,因?yàn)?r=43,所以當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時(shí),體積最大,所以最大球的直徑2R=3,則R=,此時(shí)球的體積V=R3=.故選B.21232341212324392答案答案(1)B(2)B方法歸納方法歸納多面體與球接、切問題的求解策略涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(二)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是()A.6B.5C.D.9294答案答案 D過點(diǎn)P作PH平面ABCD于點(diǎn)H.由題意知,四棱錐P-ABCD是正四棱錐,內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上.過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖,其中PE,PF是斜高,M為球面與側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn).設(shè)PH=h,易知RtPMORtPHF,所以=,即=,解得h=,故選D.OMFHPOPF132213hh942.(2017太原模擬試題)已知三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,BC=CD=1,AB=,則該三棱錐外接球的體積為.2答案答案43解析解析因?yàn)锽C=1,CD=1,BCCD,所以BD=,又AB=,且AB平面BCD,所以AD=2,ABCD,所以CD平面ABC,所以CDAC,所以三棱錐A-BCD的外接球的球心為AD的中點(diǎn),半徑為1,所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為.2243考點(diǎn)四 數(shù)學(xué)文化與立體幾何典型例題典型例題(2015課標(biāo)全國,6,5分)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案答案B解析解析設(shè)圓錐底面的半徑為R尺,由2R=8得R=,從而米堆的體積V=R25=(立方尺),因此堆放的米約有22(斛).故選B.方法歸納方法歸納本題屬于生活中谷物儲(chǔ)存問題,源于九章算術(shù)第五章“商功”,結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識進(jìn)行設(shè)問,強(qiáng)化了數(shù)學(xué)文化的傳承和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng).我國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”,涉及的研究大多與實(shí)際生活、生產(chǎn)聯(lián)系緊密,體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性的特征.1416141316 20316 203 1.62跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為()A.4-B.8-C.8-D.8-2243答案答案C由祖暅原理可知,不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖所對應(yīng)的幾何體體積相等.根據(jù)題設(shè)所給的三視圖,可知幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱得到的,正方體的體積為23=8,半圓柱的體積為(12)2=,因此不規(guī)則幾何體的體積為8-,故選C.121.(2017廣州綜合測試(一)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的為某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是()83隨堂檢測隨堂檢測答案答案D由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2,其底面為正方形,面積為22=4,因?yàn)樵搸缀误w的體積為42=,滿足條件,所以俯視圖可以為一個(gè)直角三角形.故選D.13832.(2017蘭州診斷考試)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.(9+)B.(9+2) C.(10+)D.(10+2)5555答案答案 A由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐,且圓錐的高是圓柱高的一半.故該幾何體的表面積S=12+42+2=(9+).12553.(2017洛陽第一次統(tǒng)一考試)已知簡單組合體的三視圖如圖所示,則此簡單組合體的體積為()A.B.14C.-8D.-4103163163答案答案 D依題意知,該簡單組合體是從一個(gè)圓錐(底面半徑為2、高為4)中截去一個(gè)正四棱柱(底面正方形的邊長為,高為2)后剩余的部分,因此該簡單組合體的體積為224-()22=-4,故選D.21321634.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是.12VV答案答案32解析解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,=.12VV23243RRR325.(2017貴陽檢測)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖為正六邊形,則該幾何體的體積是.答案答案 32解析解析依題意得,題中的幾何體是一個(gè)正六棱錐,其中底面是邊長為1的正六邊形,高為2=,因此幾何體的體積等于=.3231323614332