第7講 解三角形應(yīng)用舉例一、選擇題1在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是50°，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為70°，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A. B.C. D.解析 因BAC120°，AB2，AC3.BC2AB2AC22AB·ACcos BAC492×2×3×cos 120°19.BC.答案 D2如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是()A，a，b B，aCa，b， D，b解析選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似，故選A.答案A3一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4. 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ()A30° B45° C60° D75°解析依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案B5如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m解析 由題意，得B30°.由正弦定理，得，AB50(m)答案 A 6. 如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30°.AE(m)在AED中，tan 45°，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空題7如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得BDC45°，則塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，BC10.在RtABC中，tan 60°，ABBCtan 60°10(米)答案108如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，進(jìn)行10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析由題知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°45°60°，.x m.答案 m9. 在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會上舉行升旗儀式如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A，B的距離為10米，則旗桿的高度為_米解析由題可知BAN105°，BNA30°，由正弦定理得，解得AN20(米)，在RtAMN中，MN20 sin 60°30(米)故旗桿的高度為30米答案3010. 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件_時，該船沒有觸礁危險解析由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得，解得BM，要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90°)n，所以當(dāng)與的關(guān)系滿足mcos cos nsin()時，該船沒有觸礁危險答案mcos cos nsin()三、解答題11如圖所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東的方向作勻速直線航行，速度為m n mile/h.(1)若兩船能相遇，求m.(2)當(dāng)m10時，求兩船出發(fā)后多長時間距離最近，最近距離為多少n mile?解 (1)設(shè)t小時后，兩船在M處相遇，由tan，得sin，cos，所以sinAMBsin(45°).由正弦定理，AM40，同理得BM40.t，m15.(2)以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t 時刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|15t，|BQ|10t.由任意角三角函數(shù)的定義，可得即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(15t,15t)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(10t,20t40)，|PQ|20，當(dāng)且僅當(dāng)t4時，|PQ|取得最小值20，即兩船出發(fā)4小時時，距離最近，最近距離為20 n mile.12如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解如題圖所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800，故BC20(海里)由正弦定理得，所以sinACBsinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.易知ACB30°，故cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.13如圖，某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：ACD90°，ADC60°，ACB15°，BCE105°，CEB45°，DCCE1百米(1)求CDE的面積；(2)求A，B之間的距離解(1)在CDE中，DCE360°90°15°105°150°，SCDEDC·CE·sin 150°×sin 30°×(平方百米)(2)連接AB，依題意知，在RtACD中，ACDC·tanADC1×tan 60°(百米)，在BCE中，CBE180°BCECEB180°105°45°30°，由正弦定理，得BC·sinCEB×sin 45°(百米)cos 15°cos(60°45°)cos 60°cos 45°sin 60°sin 45°××，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22AC·BC·cosACB，可得AB2()2()22××2，AB百米14某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇解(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S .故當(dāng)t時，Smin10(海里)，此時v30(海里/時)即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t時，v30海里/時故v30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇.