.停車場的泊位設計數(shù)學建模學號：1407022046 班級：14數(shù)學與應用數(shù)學2班 姓名：劉桃摘要：“停車場的泊位設計”數(shù)學模型是利用數(shù)學模型的計算來規(guī)劃出一種使用更合理、利用率高的停車場車位停泊方案。近幾年來，隨著人們生活水平的提高，私家車的數(shù)量越來越多，汽車的停泊就成為一個越來越重要的問題，如果汽車停泊問題不能合理的解決，將會影響到汽車的使用。許多大型公司或者是商場門前，都設有自己的停車場，停車場的面積是有限的，而我們希望的就是在這有限的面積內(nèi)盡可能停放更多的汽車。當然，停放盡可能多的汽車只是建造停車場時一個需要解決的問題，一個比較成功的停車場還需要具備的就是良好的汽車疏導能力，這就需要在停車場設計時更合理的安排汽車的停放位置。當停車場面積一定的時候，合理安排空間使得更多的車輛能夠停泊進來。此次建立的模型是通過探究車輛停放角度與停車場面積的方程，繼而對面積函數(shù)進行求解，得到車位最佳設計角度，解出的停車場最佳泊位情況，進而推廣到一般的,同時對車型進行分類，分別計算小轎車、小型車、大型車三種停車情況。關鍵詞：車輛停放角度；層次分析；最優(yōu)方案。正 文1、問題重述1.1自20世紀90年代以來, 我國經(jīng)濟呈現(xiàn)出持續(xù)高速發(fā)展態(tài)勢, 家用小汽車更以驚人的發(fā)展速度進入普通居民家庭。但人們在享受汽車所帶來的便利和快捷的同時, 又必須面對由此所引發(fā)的一系列問題, 其中停車問題就是越來越突出的問題之一。停車場泊車位規(guī)劃是指在有限的空間區(qū)域內(nèi)，設計車位布局，盡可能多地發(fā)揮空間效率與時間效率。停車泊位設計考慮的因素較多，如平均車位占面積，車輛出入泊位難易程度，停車場內(nèi)部道路暢通程度等等。請設計一個完整的指標體系對停車場效度進入評價?，F(xiàn)有如圖1所示的停車場，請你設計該停車場的泊車位設計方案；如果圖1中的停車場寬度和長度分別為未知量米，請你重新設計你的方案。圖1某地面停車場示意圖1.2停車場的整體規(guī)劃。停車場在車庫中出出入入，如果沒有一個合理的整體規(guī)劃，那么汽車出入的效率將會很低，這不是一個合理的停車場應出現(xiàn)的。什么樣的規(guī)劃才是比較合適的方案呢？不同的車型停車方案又是什么樣的呢？圖2汽車型號長度表圖3汽車與汽車之間以及汽車與墻、柱之間的間距2、合理假設與變量約定2.1合理假設（1）進入停車場的車型只考慮小型車；（2）假設每輛車都能夠按規(guī)定停車，不超出車位線。2.2變量約定 表1 變量約定符號符號說明車輛停放角度n一區(qū)車位數(shù)l一區(qū)長度a車位長度R準則層成對比較矩陣的特征向量B各準則層下的成對比較矩陣矩陣 每行元素的積對向量 作的歸一化處理最大特征根準則層第個因素的模糊綜合評價向量3、模型建立考慮到汽車從通車道駛?cè)胲囄灰话愕棉D(zhuǎn)彎，所以車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑也是停車場設計所要考慮的重要參數(shù)。所謂最小轉(zhuǎn)彎半徑，就是汽車轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)向中心到汽車外側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離。根據(jù)實際調(diào)查，可設小轎車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為米，與此同時，汽車轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)向中心到汽車內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離為米，如圖4所示。 圖4對于每一個車位，為了便于該車位上的小轎車自由進出，必須有一條邊是靠通道的，設該矩形停車位的長邊與通道的夾角為，其中便是車輛垂直從通道駛?cè)胲囄?，就是車輛從通道平行駛?cè)胲囄唬雌綍r所說的平行泊車。為了留出通道空間和減少停車面積，顯然，我們可以假設該通道中的所有車位都保持著和該車位相同的角度平行排列，如圖5所示。西東圖5上圖中，小轎車是自東向西行駛順時針轉(zhuǎn)彎角度駛?cè)胲囄坏?。我們來具體研究一下小轎車駛?cè)胲囄坏那闆r，見圖3，其中為最小轉(zhuǎn)彎半徑，為通道的最小寬度。我們假定小轎車的最外端在半徑為的圓周上行駛，且此時轎車的最內(nèi)端在半徑為的圓周上隨之移動，然后以角度進入停車位，所以通道的最小寬度。在保證車輛能夠自由進出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，我們來看一下一排車位之間的各個數(shù)據(jù)，見圖7。 圖6LRW圖74、模型求解4.1 小轎車停車位最佳角度的求解每輛車均以角度停放，用表示小轎車停車位寬度，表示小轎車停車位長度（這里的最上方并沒有取到最上端是考慮到車身以外的小三角形區(qū)域可以留給對面停車位使用），表示停車位末端的距離，易見他們分別是停車角的函數(shù)，且有現(xiàn)在按照圖7所示，計算一下每輛車占據(jù)的停車場面積.考慮最佳排列的極限情況，假設該排車位是無限長的，可以忽略該排車位兩端停車位浪費掉的面積，因為它們被平均到每個車位上去的公攤面積很小，可以不計。從車輛所占的停車位來看，它占據(jù)的面積為，另外，它所占的通道的面積為。考慮到通道對面（也就是圖4的下部）也可以有類似的一排車位可以相互借用此通道，所以可以對占用的通道面積減半，于是我們得到： （1）我們的目標就是求出的最小值。將米，米，米，米代人（1）式，可得，所以當，即時，達到最小，且平方米。需要說明的是，當時車位與車道平行，此時每輛車都得采用平行泊車的方式進入車位，這是現(xiàn)實生活中馬路邊的停車位常見的情況，在一般的停車場中幾乎很少看到。平行泊車對駕駛員的技術(shù)要求較高，所以我們不考慮這樣的情況。上述對車位的局部分析表明，當停車位與通道夾角時，可以使每單位車輛占據(jù)停車場的面積達到最小。4.2一般車型停車位最佳角度的求解表2 一般車型車輛停車角度規(guī)格車型車長車寬ClCwC1C2 面積小轎車3.02.03.32.8640.2 18.20小型車4.81.85.12.67.860.436 22.99大型車12.02.512.33.312.5100.536 55.59通過4.1的結(jié)果類推可得，當停車位與通道夾角時，可以使每單位小型車占據(jù)停車場的面積達到最小，且最小值為22.99平方米；當停車位與通道夾角時，可以使每單位大型車占據(jù)停車場的面積達到最小，且最小值為55.59平方米。4.3 小轎車停車場地的分配由于停車場是一個的長方形區(qū)域，由以上分析可知，如果保持一排車位方向一致，且與單向通道的夾角為，可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時寬度為的單向通道分別提供給其兩邊的停車位使用。在通道兩邊都各安排一排小轎車車位時，考慮到路線的單行性質(zhì)，通道兩邊的停車位角度應該相對，如圖8所示。LRW圖7西東圖8 汽車場規(guī)劃圖對每一排停車位，其一邊為通道，另一邊則可以是另一排停車位或者是停車場的邊緣。所以停車排數(shù)最多只能是通道數(shù)的兩倍，即： （2）如果按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形式加以組合，依次排列，確實也可以達到。即（2）式中的等號是可以成立的。此時，車位數(shù)可以達到停車位位置的最大值，排列情況同樣可以見圖7。100米寬的停車場的一邊可以當作足夠長的邊來看待，將300米為一排來設計小轎車的車位，即每排車位與矩形的短邊平行。在理想情況下，根據(jù)4.1討論可知，最佳設計下的車位長度為：停車場通道寬度為：所以，理想情況下的一組（即兩排車位中間加一條行通車道）的寬度X約為：則100米寬的停車場能夠考慮設計9組這樣的車位，現(xiàn)在在考慮從出入口到最里面靠墻這一段與橫向垂直通道的情況，即有一組里面有一排車位數(shù)是完整的，也就是說其余的8組以及剩下一組的兩排車位數(shù)是一樣缺少出入口通道所占的數(shù)目。顯然，橫向通道=6.1米較合理，而理想條件下相鄰車尾末端的距離是。但是由于靠近兩邊墻時會有一部分空間無法利用，設其邊長為a，則 所以，其余的8組以及靠墻剩下一組的兩排車位的車位數(shù)應有個，而最后靠墻一排的車位數(shù)應有個，而有門一排的車位數(shù)是個，即總共的車位數(shù)個。規(guī)格車型4.4 一般車型停車場地的分配表3 一般車型車位數(shù)車位長L車位寬W通道寬R組數(shù)無出口的一行車位數(shù)中間的每行車位數(shù)有一個出口的一行車位數(shù)小型車5.156492.89095.1840.06450.3459規(guī)格車型大型車11.268483.90897.140.03370.2558小轎車3.514442.85625.20.08180.3501總共的車位數(shù)小型車大型車小轎車通過4.3的結(jié)果類推可得，此時的停車場能夠考慮設計小型車車位數(shù)為個；的停車場能夠考慮設計大型車車位數(shù)為個。5、模型檢驗 5.1效度評價模型 對停車場車位的效度評價利用基于模糊合成的層次分析法的數(shù)學模型：其中效度評估的總體評估，準則層成對比較矩陣的特征向量，準則層第個因素的模糊綜合評價向量。5.1.1建立評價體系目標層準則層因素層停車場的效度評價安全性停車行為對其他車輛的行駛影響車輛拐彎的難度對緊急情況的處理靈活性進出停車場的順暢程度便捷性停車場中的車主平均步行距離人車分離的程度停車場內(nèi)道路順暢程度效率性泊車位的使用率停車場內(nèi)的空間利用率平均每個空車位被補缺所需要的時間泊車位的強烈波動的情況次數(shù) 基于停車場的安全性主要是指：車輛在停車場行駛過程中，由停車場的特征賦予車輛的避險性能；以及車輛在停放過程中，避免被其他車輛掛擦以及避免被盜的性能。安全性是駕駛?cè)藛T對停車場服務水平的基本要求,也是停車場營運者得基本要求，他們都希望停放車輛的安全性高和出現(xiàn)緊急情況時有良好的出入停車場的環(huán)境，還希望停車行為對正在行使車輛的安全性的影響最小,不會形成惡性的循環(huán),以致嚴重影響動態(tài)的停車取車，等等。因此，安全性是對停車場的效度進行評價的重要指標之一?；谕＼噲龅姆奖阈灾饕侵福很囕v進入和駛出停車場所需的時間和行駛的路程最小，乘車的人員和停車場管理人員到達停車場相應位置最快，等等。方便性是對于人和車兩者的流動而言的,停車者都希望從停車場到目的地的步行狀況良好,步行的距離越短越好，都希望停車場內(nèi)部通暢性良好,駕駛員出入停車場都比較容易,則該停車場被使用的可能性就越大。另外，基于停車場的特殊性，追求最高的方便性，很多駕駛員都喜歡在安全性能高的前提下，選則距離停車場出口最近的停車位。停車場營運者，也希望，停車場的方便性盡可能高，提高停車場的效度。因此，方便性也是對停車場的效度進行評價的重要指標之一。基于停車場的效率性主要是指：有效的利用能源、時間和空間資源的能力,在停車場中,停車集中指數(shù)的增加,均衡的泊位利用,停車時間的減少,停車時間的合理這些因素直接影響停車場服務水平的好壞。并且合理的收費-停車時間的利用可以使短時的停車和長時間的停車自動地分離開來,對改善停車場的服務水平大有幫助。駕駛?cè)藛T希望停車場具有盡可能高的效率性，追求效率最大化，盡可能多的節(jié)省時間，等等；停車場營運者也希望停車場具有最大的效率，來達到停車場的最佳運作狀態(tài)，提高停車場的穩(wěn)定性和適用性等等。停車位的波動情況是指在停車場的使用率不會出現(xiàn)強烈波動。因此，效率性也是對停車場的效度進行評價的重要指標之一。5.1.2成對比較矩陣和一致性檢驗可通過檢驗最大特征根是否等于來判斷矩陣的一致性。具體方法如下：（1）計算一致性指標：上式矩陣的最大特征根，為矩陣的階數(shù)。其中 計算判斷矩陣每行元素的積: 計算, 對向量 作歸一化處理:這里算得的 就是該層第個指標對于上一層層次單排序權(quán)重的值。由此可以得到矩陣 的最大特征根 ,即其中, 表示向量的第個元素。（2）查找對應的平均隨機一致性指標RI值階數(shù)=1,2，10所對應的值，如表4所示。 表4 110階判斷矩陣的RI值12345678910000.580.91.121.241.361.411.451.49對于更高階數(shù)(即> 10) 的值的獲得辦法是：隨機生成1 9 及其倒數(shù), 從中抽取數(shù)字構(gòu)造500個或者更多的階樣本矩陣，計算各個矩陣的最大特征根的平均值 ，然后根據(jù)公式來得到的值。根據(jù)專家評定得到準則層的成對比較矩陣，設兩兩判斷矩陣為：顯然滿足且,，。我們把滿足以上兩個條件的矩陣稱為正互反矩陣。當且僅當,時，正互反矩陣稱為一致判斷矩陣。由準則層各指標之間的重要程度進行兩兩比較判斷，得到其正互反矩陣：尺度的含義尺度含義1與 影響相同3 比的影響稍強5比 的影響強7比 的影響明顯強9 比的影響絕對強2、4、6、8 與的影響之比在上述兩個相鄰等級之間用和法來計算最大特征值和特征向量，以下為步驟：通過計算得到其權(quán)向量為，最大特征值3.0183<0.1,通過一致性檢驗。根據(jù)層次分析法原理，要確定每個層次全部要素的相對權(quán)重，首先必須對判斷矩陣進行一致性檢驗，若不滿足一致性條件，則修改判斷矩陣，直到滿足為止。如果根據(jù)定義來檢驗矩陣的一致性，將非常麻煩?，F(xiàn)有研究表明，對于正互反矩陣為一致性的充分必要條件是：其最大的特征根等于其階數(shù)。而當正互反矩陣非一致時，必有最大的特征根大于。（3） 計算一致性比例:當 時,認為判斷矩陣 的一致性是可接受的,否則應對判斷矩陣作適當調(diào)整,再進行一致性檢驗。（4）確定各準則層第層下的各因素的評判矩陣由專家評判法可得到各評判矩陣：安全性的評判矩陣 便捷性的評判矩陣 效率性的評判矩陣 4.2.3確定各因素的權(quán)向量安全性的成對比較矩陣：應用MATLAB計算得到它的權(quán)向量為，最大特征值: 4.0511 ， 便捷性的成對比較矩陣：應用MATLAB計算得到它的權(quán)向量為最大特征值:3.0858 ， 效率性的成對比較矩陣：應用MATLAB計算得到它的權(quán)向量為最大特征值:4.0561 ，4.2.4模糊合成 安全性（）的模糊綜合評價向量為：便捷性（）的模糊綜合評價向量為：效率性（）的模糊綜合評價向量為：模糊合成：= 根據(jù)專家組的意見，該停車場效度評估為“規(guī)劃較好”的程度為0.3590，評估為“一般”的程度為0.3533，評估為“較差”的程度為0.3688。根據(jù)最大隸屬度原則可知大多數(shù)專家認為該停車場效度評估較差。6、模型應用6.1模型應用的優(yōu)點（1）巧妙地對泊車位進行了抽象處理，提出了車輛、間距、車位一體化的概念，為構(gòu)建模型提供了極大的便捷。（2）在對停車場進行效度評價時把模糊綜合評價法與層次分析法結(jié)合在一起，很巧妙地處理了復雜系統(tǒng)的評價，而且提高了評價的可靠性。（3）在度量不確定指標時采用了穩(wěn)健性原則，對于不確定的指標給予較低的評價，以最大程度保證穩(wěn)定性。（4）本文提出的模糊綜合模型對停車場的效度進行評估可以將難以量化的因素進行量化，且將各個指標的不確定性通過模糊數(shù)學的方法使其變?yōu)榇_定性指標。6.2模型應用的缺點（1）在評價停車場效度時用的主要是主觀評價法，難免可能產(chǎn)生誤差，有失客觀性。（2）在兩兩比較矩陣的確定上，雖然是專家打分，但是仍存在一定的主觀性。（3）模糊評判模型結(jié)果中各因素權(quán)重相差不大，對最大隸屬原則應用優(yōu)點欠妥。參考文獻1韓中庚，數(shù)學建模方法及其應用，北京：高等教育出版社，2009.62韓中庚，數(shù)學建模競賽獲獎論文精選與點評，北京：科學出版社，20073陳水利，李敬功，王向公，北京：科學出版社20054姜啟源，謝金星，葉俊，北京：高等教育出版社，2011.15趙靜，但琦，北京：高等教育出版社，20026郭大偉. 數(shù)學建模M.合肥：安徽教育出版社，2009精選word范本！