第第5講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明、恒講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明、恒成立問題成立問題高考定位在高考壓軸題中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.1.(2016全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.2.(2017全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時，f(x)ax1，求a的取值范圍. 考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù)形結(jié)合求解. 2.三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)x時，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個數(shù)即可.存在兩個極值點(diǎn)x1，x2且x10兩個f(x1)0或者f(x2)0三個f(x1)0且f(x2)0a0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個f(x1)0或f(x2)0兩個f(x1)0或者f(x2)0三個f(x1)0且f(x2)03.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.若證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果能證明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可證明f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).xI，使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI).對x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.對x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.溫馨提醒解決方程、不等式相關(guān)問題，要認(rèn)真分析題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和已知條件，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)，這是解題的關(guān)鍵. 熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)【例1】 (2017淄博診斷)已知aR，函數(shù)f(x)exax(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)). 探究提高1.三步求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個數(shù)問題.第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；第三步：結(jié)合圖象求解.2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍：(1)要注意端點(diǎn)的取舍；(2)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論. 【訓(xùn)練1】 (2016北京卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為ybxc. 命題角度2不等式恒成立問題【例22】 (2016全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xa(x1).(1)當(dāng)a4時，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)若當(dāng)x(1，)時，f(x)0，求a的取值范圍.探究提高1.(1)涉及不等式證明或恒成立問題，常依據(jù)題目特征，恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、極值問題，在轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意等價性.(2)對于含參數(shù)的不等式，如果易分離參數(shù)，可先分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；否則應(yīng)進(jìn)行分類討論，在解題過程中，必要時，可作出函數(shù)圖象草圖，借助幾何圖形直觀分析轉(zhuǎn)化. 2.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號是否取到，注意端點(diǎn)的取舍.【訓(xùn)練2】 (2017全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.由上表可得，x4時，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值，所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減探究提高利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x).(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)結(jié)論：回歸實(shí)際問題作答.令h(x)0得x80，當(dāng)x(0，80)時，h(x)0，h(x)是增函數(shù)，當(dāng)x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25，因?yàn)閔(x)在(0，120上只有一個極值，所以它是最小值.故當(dāng)汽車以80千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.1.重視轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，如方程的解、兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)均可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)，充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助導(dǎo)數(shù)求解.2.對于存在一個極大值和一個極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)，除了受兩個極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個極值點(diǎn)外部函數(shù)值的變化的制約，在解題時要注意通過數(shù)形結(jié)合找到正確的條件. 3.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)是解題的突破口.4.不等式恒成立、能成立問題常用解法(1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如af(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，伴有對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.