第4講從審題中尋找解題思路-2-審題亦即提取有效信息,挖掘隱含信息,提煉關(guān)鍵信息.條件是題目的“泉眼”.為考核學生的觀察、理解、分析、推理等能力,高考試題往往變換概念的表述形式,精簡試題從條件到結(jié)論的中間環(huán)節(jié),透析試題的條件之間的聯(lián)系,隱去問題涉及的數(shù)學思想及背景.如何科學地審題是同學們最需要掌握的基本技能.事實上,審題能力的培養(yǎng)并未引起應(yīng)有的重視,很多同學熱衷于題型的總結(jié)與解題方法和技巧的訓練,把數(shù)學學習等同于解題訓練,一味地機械模仿導(dǎo)致應(yīng)變能力不強,遇到陌生的問題往往束手無策,致使解題失誤或陷入誤區(qū).-3-審題和解題是解答數(shù)學試題的重要兩步,其中,審題是解題的前提,詳細全面地審題為順利解題掃除大部分障礙,正確把握數(shù)學試題中的已知條件和所求,從題目關(guān)鍵詞語中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路,最短時間內(nèi)理解條件和結(jié)論所包含的詳細信息是保障解題效率與解題質(zhì)量的必須條件.解題作為審題活動的升華,是全面解答數(shù)學試題的核心.-4-怎樣才算審清題意了呢?主要是弄清題目已經(jīng)告訴了什么信息,需要我們?nèi)プ鍪裁?從題目本身獲取“如何解這道題”的邏輯起點、推理目標以及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息.試題的條件和結(jié)論是兩個信息源,為了從中獲取盡可能多的信息,我們要字斟句酌地分析條件、分析結(jié)論、分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系,常常還要輔以圖形或記號,以求手段與目標的統(tǒng)一.-5-一二三四五六一、審清條件信息審視條件一般包括“挖掘隱含信息、洞察結(jié)構(gòu)特征、洞悉圖形趨勢、研讀圖表數(shù)據(jù)”等幾方面.審題時要避開過去熟悉的同類題目的影響,看似相同,就按過去同類型題目進行求解,要審出同還是不同,不能似是而非.例1(1)若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=1-ln 2.(1)審題指導(dǎo)一 直線y=kx+b是兩條曲線的切線,但從已知中看不出它們的切點相同,所以應(yīng)分別設(shè)出切點坐標.審題指導(dǎo)二 曲線y=ln x上的所有點向上平移2個單位長度得到曲線y=ln x+2,曲線y=ln x上的所有點向左平移1個單位長度得到曲線y=ln(x+1).七-6-一二三四五六七-7-一二三四五六七(法二)設(shè)曲線y=ln x的切點為P(x0,y0), -8-一二三四五六(2)在ABC中,D為邊BC上一點,BD=DC,ADB=120,AD=2,若ADC的面積為3-,則BAC=60.(2)審題指導(dǎo)一 先作出草圖了解題意,由ADC的面積為3-DCDBBC.在ADC中,由余弦定理得AC,在ABD中,由余弦定理得AB,在ABC中,由余弦定理得BAC.審題指導(dǎo)二 考慮已知的條件ADB=120,AD=2,SADC=3-,作AEBC,在RtDAE中易得AE,DE,由SADC易得DC,從而得BC;分別在RtAEC,RtAEB中由勾股定理易得AC,AB,這樣由余弦定理得BAC.審題指導(dǎo)三 在審題指導(dǎo)二得出AE,DE,BE后,如能及時審視出AE=BE,則有EAB=45,在RtAEC中易求tanEAC,從而利用tanBAC=tan(45+EAC)得出BAC.七-9-一二三四五六七-10-一二三四五六七(法二)如圖,作AEBC,由ADB=120,AD=2, -11-一二三四五六七(法三)如圖,作AEBC,由ADB=120,AD=2, -12-一二三四五六二、審條件中的隱含有的數(shù)學試題條件并不明顯,審題時要注意挖掘隱含條件和信息,對條件進行再認識、再加工,只有這樣,方可避免因忽視隱含條件而出現(xiàn)錯誤.要注意已知條件中的概念本身容易疏忽的限定信息,關(guān)注問題中易于疏忽的特殊情形、可能情形,相近概念之間的差異,要清晰定理成立、公式存在的前提.七-13-一二三四五六例2(1)若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,且最大邊長與最小邊長的比值為m,則m的取值范圍是( B )A.(1,2)B.(2,+)C.3,+)D.(3,+)(1)審題指導(dǎo) 由三角形三內(nèi)角A,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,可以立即得到B的度數(shù),B=60.設(shè)三角形的三個內(nèi)角為A,B,C,其中A為鈍角,七-14-一二三四五六七解析:設(shè)ABC的三邊為a,b,c,且abc.因為ABC為鈍角三角形且三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,所以B=60,且A90.所以0C0時,f(x)=4x-ex,作y=4x與y=ex的圖象如圖所示,故存在實數(shù)x0(0,1),使得f(x0)=0,則當x(0,x0)時,f(x0)0,所以f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(2)=8-e28-7.4=0.6,故選D.七-23-一二三四五六七解析: 特殊值驗證法,取x=2,則y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;當0 x19,分別探求y與x的函數(shù)解析式;(2)本題的統(tǒng)計圖表不是高頻考查的頻率分布直方圖,而是統(tǒng)計圖表中的柱狀圖;(3)許多考生沒有讀懂題意,本問是判斷購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件,而判斷的決策依據(jù)是:這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),為此需計算兩種方案時的平均數(shù).每一種方案,如何求解其平均數(shù)呢?自然借助于柱形圖!七-28-一二三四五六七解 (1)當x19時,y=3 800;當x19時,y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700.所以y與x的函數(shù)解析式為(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.-29-一二三四五六七(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3 800,20臺的費用為4 300,10臺的費用為4 800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000.若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4 000,10臺的費用為4 500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為 (4 00090+4 50010)=4 050.比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件.-30-一二三四五六六、審結(jié)論善轉(zhuǎn)換結(jié)論是解題的最終目標,解決問題的思維在很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的.審視結(jié)論是要探索已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律,可以從結(jié)論中捕捉解題信息,確定解題方向.有些問題的結(jié)論看似不明確或不利于解決,我們可以轉(zhuǎn)換角度,達到解決問題的目的.七-31-一二三四五六例6如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60.(1)證明平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.審題指導(dǎo) 本題第(1)小題要證明平面ABEF平面EFDC,只需證明AF平面EFDC;第(2)小題要求二面角E-BC-A的余弦值,只需探求半平面BCE與半平面BCA的法向量,為此需建立適當?shù)目臻g直角坐標系,利用向量求解.七-32-一二三四五六解 (1)由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作DGEF,垂足為G,由(1)知DG平面ABEF.建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.由(1)知DFE為二面角D-AF-E的平面角,故DFE=60,則|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ).由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDC=CD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,七-33-一二三四五六所以CEF為二面角C-BE-F的平面角,CEF=60.七-34-一二三四五六七七、審已知與結(jié)論建聯(lián)系高考試題的條件和結(jié)論是兩個信息源,其條件和結(jié)論,很多都是以數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進行搭配和呈現(xiàn)的.弄清問題不僅要弄清條件,弄清結(jié)論,而且還要弄清條件與所求結(jié)論的相互聯(lián)系,以求手段與目標的統(tǒng)一.-35-一二三四五六七-36-1.試題的條件和結(jié)論是解題的兩個信息源,題目的條件對于得出結(jié)論是充分的,解題的鑰匙就放在題目的條件里,其中的許多信息常常是通過語言文字、公式符號以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們,所以,審題要逐字逐句看清楚,力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)字含義、條件特征、答題形式、數(shù)據(jù)聯(lián)系等各方面真正弄懂題意.只有細致審題才能挖掘出來,讓其“現(xiàn)出原形”,避免發(fā)生會而不對、對而不全的現(xiàn)象.欲速則不達,磨刀不誤砍柴工,審題不要怕慢!當然這有待于平時的審題訓練.2.審題決定成敗.審題是解題的一個重要步驟,通過審題收集信息、加工信息,熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考,去分析,我們就會找到問題解決的突破口.審題是通向成功的起點,也是成功的歸宿.