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高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學思想方法與高考數(shù)學文化 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想課件 文

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高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學思想方法與高考數(shù)學文化 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想課件 文

第第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學思想解讀1.分類討論的思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時,就需要對研究的對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結(jié)論,最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零,各個擊破,再集零為整”的數(shù)學思想.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學問題時,思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決,這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略,同時也是獲取成功的思維方式.探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a,因此,當?shù)讛?shù)a的大小不確定時,應分0a1兩種情況討論.2.利用等比數(shù)列的前n項和公式時,若公比q的大小不確定,應分q1和q1兩種情況進行討論,這是由等比數(shù)列的前n項和公式?jīng)Q定的. 解析(1)當n1時,a1S12a12,解得a12.因為Sn2an2,當n2時,Sn12an12,兩式相減得,an2an2an1,即an2an1,則數(shù)列an為首項為2,公比為2的等比數(shù)列,則S5S4a52532.探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時,常按橢圓、雙曲線來分類討論,求圓錐曲線的方程時,常按焦點的位置不同來分類討論.2.相關計算中,涉及圖形問題時,也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論. 應用3由變量或參數(shù)引起的分類討論【例3】已知f(x)xaex(aR,e為自然對數(shù)的底).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)e2x對xR恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)1aex,當a0時,f(x)0,函數(shù)f(x)是(,)上的單調(diào)遞增函數(shù);當a0時,由f(x)0得xln a,所以函數(shù)f(x)在(,ln a)上的單調(diào)遞增,在(ln a,)上的單調(diào)遞減. 探究提高1.(1)參數(shù)的變化取值導致不同的結(jié)果,需對參數(shù)進行討論,如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導數(shù)的符號應進行討論.(2)解析幾何中直線點斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在,涉及直線與圓錐曲線位置關系要進行討論.2.分類討論要標準明確、統(tǒng)一,層次分明,分類要做到“不重不漏”.【訓練3】(2015全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a2時,求a的取值范圍.探究提高1.一般問題特殊化,使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化,可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律,從而達到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題,如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時,可以把題中變化的量用特殊值代替,即可得到答案.應用2函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【例5】已知函數(shù)f(x)3e|x|,若存在實數(shù)t1,),使得對任意的x1,m,mZ且m1,都有f(xt)3ex,試求m的最大值.解當t1,)且x1,m時,xt0,f(xt)3exextext1ln xx.原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù)t1,),使得不等式t1ln xx對任意x1,m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm). 探究提高1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)與方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡,一般可將不等關系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題,從而求出參變量的范圍.探究提高1.第(1)題是正與反的轉(zhuǎn)化,由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況,先求出其反面,體現(xiàn)“正難則反”的原則.題目若出現(xiàn)多種成立的情形,則不成立的情形相對很少,從后面考慮較簡單,因此,間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.2.第(2)題是把關于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變元的數(shù)學問題時,我們可以選取其中的參數(shù),將其看作是“主元”,而把其它變元看作是參數(shù).【訓練6】已知函數(shù)f(x)x33ax1,g(x)f(x)ax5,其中f(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足1a1的一切a的值,都有g(shù)(x)0,則實數(shù)x的取值范圍為_.1.分類討論思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題,通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實行分類與整合,分類標準等于增加一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設,將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題),優(yōu)化解題思想,降低問題難度.常見的分類討論問題: (1)集合:注意集合中空集 討論.(2)函數(shù):對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a,一般應分a1和0a1的討論,函數(shù)yax2bxc有時候分a0和a0的討論,對稱軸位置的討論,判別式的討論.(3)數(shù)列:由Sn求an分n1和n1的討論;等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù):角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式:解不等式時含參數(shù)的討論,基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何:點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論.(7)平面解析幾何:直線點斜式中k分存在和不存在,直線截距式中分b0和b0的討論;軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論.(8)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而解決問題的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

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