22.2坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)1.極坐標(biāo)系(1)在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox,一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.O點(diǎn)稱(chēng)為極點(diǎn),Ox軸稱(chēng)為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長(zhǎng)度和從Ox到OM的角度來(lái)刻畫(huà)(如圖所示).這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(,)稱(chēng)為點(diǎn)M的極坐標(biāo),稱(chēng)為極徑,稱(chēng)為極角.知識(shí)清單(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化設(shè)M為平面上任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)為(,).由圖可知下面的關(guān)系式成立:或順便指出,上式對(duì)0也成立. x,ycossin222,(0).xyytanxx這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.(3)圓的極坐標(biāo)方程a.圓心在極點(diǎn),半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為=R.b.圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處,且圓過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為=2acos .c.圓心在點(diǎn)處且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為=2asin .注:當(dāng)圓心M(x0,y0)不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時(shí),要建立圓的極坐標(biāo)方程,通常把極點(diǎn)放置在圓心處,極軸與x軸正半軸同向,然后運(yùn)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式求解.或a,200 x,yxcosysin2220000()() ,.xxyyyytanxx2.參數(shù)方程(1)直線的參數(shù)方程過(guò)點(diǎn)(x0,y0)且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(2)圓的參數(shù)方程若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(3)橢圓的參數(shù)方程若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)M0(x0,y0),相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).00 x,yxtcosytsin00 x,yxRcosyRsin00 x,yxacosybsin通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0,2). 解決參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程問(wèn)題的方法解決參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程問(wèn)題的方法極坐標(biāo)方程往往要與普通方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,在轉(zhuǎn)化時(shí),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.參數(shù)方程化為普通方程的常見(jiàn)方法有三種:代入法:利用解方程的技巧表示出參數(shù),然后代入消去參數(shù).三角法:利用三角恒等式消去參數(shù).整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去.化參數(shù)方程為普通方程.在消參過(guò)程中,注意變量x、y取值范圍的一致性.例1 (2017江蘇南通中學(xué)期中)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,直線l的極坐標(biāo)方程為 sin=m.若直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值.6方法技巧方法解析曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,表示以(1,0)為圓心,1為半徑的圓.直線l的極坐標(biāo)方程是sin=m,即cos +sin =m,化為直角坐標(biāo)方程為x+y-2m=0.因?yàn)橹本€l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以=1,解得m=-或m=.所以,所求實(shí)數(shù)m的值為-或. 61232322|1 2m|1( 3)12321232例2 (2017江蘇南通中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C: (為參數(shù),R),直線l: (t為參數(shù),tR),求曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值. x4,y3cossin2x3,22y32tt 解析將直線l的參數(shù)方程 化為普通方程為x-y-6=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C: (為參數(shù))上,所以設(shè)P(4cos ,3sin ).點(diǎn)P到直線l的距離d= = ,其中tan =,是銳角.所以當(dāng)cos(+)=1時(shí),dmin=.所以點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為.2x3,22y32tt x4,y3cossin|436|2cossin|5()6|2cos342222