離散型隨機(jī)變量及其分布一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 若X-B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，則P=( )A. 12 B. 3 C. 13 D. 2（正確答案）A解：隨機(jī)變量B(n,p)，且E=6，D=3，np=6，且np(1-p)=3，解得n=12，p=12故選：A根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布的期望和方差公式，得到關(guān)于n和p的方程組，整體計(jì)算求解方程組得答案本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查二項(xiàng)分布的期望公式與方差公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題2. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P(x=4)<P(X=6)，則p=( )A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3（正確答案）B解：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事件，滿足XB(10,p)，P(x=4)<P(X=6)，可得C104p4(1-p)6<C106p6(1-p)4，可得1-2p<0.即p>12因?yàn)镈X=2.4，可得10p(1-p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去)故選：B利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力3. 設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個(gè)，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，X表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個(gè)小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對(duì)立，則方差D(X)=( )A. 2 B. 1 C. 23 D. 34（正確答案）C解：每一次紅球被摸到的概率P=2131=23由題意可得：X=0，1，2，3.XB(3,23)則D(X)=323(1-23)=23故選：C每一次紅球被摸到的概率P=2131=23.由題意可得：X=0，1，2，3.XB(3,23).即可得出本小題主要考查二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題4. 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是( )A. =4 B. =5 C. =6 D. 5（正確答案）C解：由題意知，袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球，取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，所以“放回5個(gè)紅球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取紅球，即=6，故選C根據(jù)題意和無放回抽樣的性質(zhì)求出表示“放回5個(gè)紅球”事件的值本題考查了離散型隨機(jī)變量的取值，以及無放回抽樣的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題5. 已知隨機(jī)變量X+Y=10，若XB(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是( )A. 6和2.4 B. 4和5.6 C. 4和2.4 D. 6和5.6（正確答案）C解：由題意XB(10,0.6)，知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，n=10，p=0.6，則均值E(X)=np=6，方差D(X)=npq=2.4，又X+Y=10，Y=-X+10，E(Y)=-E(X)+10=-6+10=4，D(Y)=D(X)=2.4故選：C先由XB(10,0.6)，得均值E(X)=6，方差D(X)=2.4，然后由X+Y=10得Y=-X+10，再根據(jù)公式求解即可解題關(guān)鍵是若兩個(gè)隨機(jī)變量Y，X滿足一次關(guān)系式Y(jié)=aX+b(a,b為常數(shù))，當(dāng)已知E(X)、D(X)時(shí)，則有E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)6. 已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)的次數(shù)為，則E=( )A. 3 B. 72 C. 185 D. 4（正確答案）B解：由題意知的可能取值為2，3，4，P(=2)=2514=110，P(=3)=253413+352413+352413=310，P(=4)=1-110-310=610，E=2110+3310+4610=72故選：B由題意知的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E本題離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用7. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，規(guī)定：“石頭贏剪刀”、“剪刀贏布”、“布贏石頭”.現(xiàn)有甲、乙兩人玩這個(gè)游戲，共玩3局，每一局中每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢(shì).設(shè)甲贏乙的局?jǐn)?shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是( )A. 13 B. 49 C. 23 D. 1（正確答案）D解：由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為：0、1、2、3，每一局中甲勝的概率為333=13，平的概率為13，輸?shù)母怕蕿?3，故P(=0)=C30(1-13)3=827，P(=1)=C31(1-13)2(13)=49，P(=2)=C32(1-13)(13)2=29，P(=3)=C33(13)3=127，故B(3,13)，故E=313=1 故選D的可能取值為：0、1、2、3，每一局中甲勝的概率為13，進(jìn)而可得B(3,13)，由二項(xiàng)分布的期望的求解可得答案本題考查離散型隨機(jī)變量的期望的求解，得出B(3,13)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題8. 設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是012P1-p212p2則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，( )A. D()減小 B. D()增大C. D()先減小后增大 D. D()先增大后減?。ㄕ_答案）D解：設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是E()=01-p2+112+2p2=p+12；方差是D()=(0-p-12)21-p2+(1-p-12)212+(2-p-12)2p2=-p2+p+14=-(p-12)2+12，p(0,12)時(shí)，D()單調(diào)遞增；p(12,1)時(shí)，D()單調(diào)遞減；D()先增大后減小故選：D求出隨機(jī)變量的分布列與方差，再討論D()的單調(diào)情況本題考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a,b，c(0,1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2，則2a+13b的最小值為( )A. 323 B. 283 C. 163 D. 4（正確答案）C解：由題意可得：3a+2b+0c=2，即3a+2b=2.a，b，c(0,1)，2a+13b=12(3a+2b)(2a+13b)=12(203+4ba+ab)12(203+24baab)=163，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=12時(shí)取等號(hào)故選：C由題意可得：3a+2b+0c=2，即3a+2b=2.a，b，c(0,1)，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出本題考查了數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10. 口袋中有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號(hào)分別為0，1，2，3，4，從中任取3個(gè)球，以表示取出球的最小號(hào)碼，則E=( )A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6（正確答案）B解：由題意可得=0，1，2則P(=0)=114253=610=35，P(=1)=113253=310，P(=2)=153=110可得分布列為： 0 1 2 P 35 310 110E()=0+1310+2110=12故選：B由題意可得=0，1，2.可得P(=0)=114253，P(=1)=113253，P(=2)=153.即可得出本題考查了隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123PP1P2P3則EX=2的充要條件是( )A. P1=P2 B. P2=P3 C. P1=P3 D. P1=P2=P3（正確答案）C解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列知：當(dāng)EX=2時(shí)，P1+P2+P3=1P1+2P2+3P3=2，解得P1=P3，當(dāng)P1=P3時(shí)，P1+P2+P3=2P1+P2=1EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2EX=2的充要條件是P1=P3故選：C當(dāng)EX=2時(shí)，由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)列出方程組得P1=P3，當(dāng)P1=P3時(shí)，P1+P2+P3=2P1+P2=1能求出EX=2.從而得到EX=2的充要條件是P1=P3本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為2的充要條件的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)的合理運(yùn)用12. 隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)=13，則D(3X-2)=( ) X-101P16abA. 9 B. 7 C. 5 D. 3（正確答案）C解：E(X)=13，由隨機(jī)變量X的分布列得：16+a+b=1-16+b=13，解得a=13，b=12，D(X)=(-1-13)216+(0-13)213+(1-13)212=59D(3X-2)=9D(X)=959=5故選：C由E(X)=13，利用隨機(jī)變量X的分布列列出方程組，求出a=13，b=12，由此能求出D(X)，再由D(3X-2)=9D(X)，能求出結(jié)果本題考查方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX= _ （正確答案）1.96解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，p=0.02，n=100，則DX=npq=np(1-p)=1000.020.98=1.96故答案為：1.96判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵14. 隨機(jī)變量的取值為0，1，2，若P(=0)=15，E()=1，則D()= _ （正確答案）25解析：設(shè)P(=1)=p，P(=2)=q，則由已知得p+q=45，015+1p+2q=1，解得p=35，q=15，所以D()=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25故答案為：25 結(jié)合方差的計(jì)算公式可知，應(yīng)先求出P(=1)，P(=2)，根據(jù)已知條件結(jié)合分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算公式不難求得本題綜合考查了分布列的性質(zhì)以及期望、方差的計(jì)算公式15. 射擊比賽每人射2次，約定全部不中得0分，只中一彈得10分，中兩彈得15分，某人每次射擊的命中率均為45，則他得分的數(shù)學(xué)期望是_分.（正確答案）12.8解：射擊的命中的得分為X，X的取值可能為0，10，15P(X=0)=(1-45)(1-45)=0.04，P(X=10)=C2145(1-45)=0.32，P(X=15)=4545=0.64，E(X)=00.04+100.32+150.64=12.8故答案為：12.8射擊的命中得分為X，X的取值可能為0，10，15，然后分別求出相應(yīng)的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可本題主要考查了二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，同時(shí)考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題16. 隨機(jī)變量的分布列為： 0123Px0.20.30.4隨機(jī)變量的方差D() _ （正確答案）1解：由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：x+0.2+0.3+0.4=1，解得x=0.1，E=00.1+10.2+20.3+30.4=2，D=(0-2)20.1+(1-2)20.2+(2-2)20.3+(3-2)20.4=1故答案為：1由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得求出x=0.1，從而得E=2，由此能求出D本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)用三、解答題（本大題共3小題，共40分）17. 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（正確答案）解：()由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P(X=16)=(20100)2=125，P(X=17)=20100401002=425，P(X=18)=401002+2201002=625，P(X=19)=24010020100+2(20100)2=625，P(X=20)=(20100)2+24010020100=525，P(X=21)=2(20100)2=225，P(X=22)=(20100)2=125，X的分布列為： X 16 17 18 19 20 21 22 P 125 425 625 625 525 225 125()由()知：P(X18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)=125+425+625=1125P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=125+425+625+625=1725P(Xn)0.5中，n的最小值為19()由()得：P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)=125+425+625+625=1725買19個(gè)所需費(fèi)用期望：EX1=200191725+(20019+500)525+(20019+5002)225+(20019+5003)125=4040，買20個(gè)所需費(fèi)用期望：EX2=200202225+(20020+500)225+(20020+2500)125=4080，EX1<EX2，買19個(gè)更合適()由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列()由X的分布列求出P(X18)=1125，P(X19)=1725.由此能確定滿足P(Xn)0.5中n的最小值()由X的分布列得P(X19)=1725.求出買19個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買20個(gè)所需費(fèi)用期望EX2，由此能求出買19個(gè)更合適本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用18. 某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？（正確答案）解：(1)由題意知X的可能取值為200，300，500，P(X=200)=2+1690=0.2，P(X=300)=3690=0.4，P(X=500)=25+7+490=0.4，X的分布列為： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4(2)由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮200n500，當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y=6n-4n=2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n；若最高氣溫低于20，則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n，EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n，當(dāng)200n300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y=6n-4n=2n，若最高氣溫低于20，則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n，EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2nn=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查數(shù)學(xué)期望的最大值的求法，考查函數(shù)、離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題(1)由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列(2)由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮200n500，根據(jù)300n500和200n300分類討論經(jīng)，能得到當(dāng)n=300時(shí)，EY最大值為520元19. 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立()求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；()若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望（正確答案）解：()設(shè)至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件，則事件B為一種新產(chǎn)品都沒有成功，因?yàn)榧滓已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35則P(B)=(1-23)(1-35)=1325=215，再根據(jù)對(duì)立事件的概率之間的公式可得P(A)=1-P(B)=1315，故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為1315()由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤(rùn)為X，則X的取值有0，120，100，220，由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得，P(X=0)=(1-23)(1-35)=215，P(X=120)=23(1-35)=415，P(X=100)=(1-23)35=15，P(X=220)=2335=25，所以X的分布列如下： X0120100220P(x) 215 415 15 25則數(shù)學(xué)期望E(X)=0215+120415+10015+22025=140()利用對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算即可，()求出企業(yè)利潤(rùn)的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可本題主要考查了對(duì)立事件的概率，分布列和數(shù)學(xué)期望，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，也是近幾年高考題目的?？嫉念}型