第31練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第三篇攻堅(jiān)克難壓軸大題多得分明考情函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題是高考的必考題，作為試卷的壓軸題，在第21題或第22題的位置.知考向1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值.研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義要點(diǎn)重組要點(diǎn)重組導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率.方法技巧方法技巧(1)已知斜率求切點(diǎn)：已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(2)求切線傾斜角的取值范圍：先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即確定切線斜率的取值范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決.123解解由計(jì)算可知，點(diǎn)(2，6)在曲線yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線的斜率kf(2)13，切線方程為y13(x2)(6)，即y13x32.1.已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，6)處的切線方程；解答(2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；解答123解解設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，又直線l過點(diǎn)(0，0)，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直線l的方程為y13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，26).123(1)求a的值；解答解解由題意知，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為2，所以f(1)2，123(2)是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說明理由；解答123解解當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根.當(dāng)x(0，1時(shí)，h(x)0.所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.所以當(dāng)x(1，2)時(shí)，h(x)0，123當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)0，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根.123解答(1)若a1，求b的值；123設(shè)yf(x)與yg(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同，由題意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，123解答(2)用a表示b，并求b的最大值.123解解設(shè)yf(x)與yg(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同，由題意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，123則當(dāng)2t(13ln t)0，即0t 時(shí)，h(t)0；當(dāng)2t(13ln t)0，即t 時(shí)，h(t)0.故h(t)在(0，)上的最大值為故b的最大值為 .13e13e12333(e )e2h，233e2123考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性方法技巧方法技巧(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法： 在某個(gè)區(qū)間(a， b)內(nèi)， 如果f (x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.(2)常數(shù)函數(shù)的判定方法：如果在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.(3)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)，從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注意等號(hào)成立的檢驗(yàn)).4解答5678結(jié)合可知，45678解答(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.解解若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號(hào).結(jié)合與條件a0知，ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0知，00，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答解解由(1)，得f(x)x2axx(xa)(a0)，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a).45678(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解解g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使g(x)x2ax20，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.45678解答證明4567845678當(dāng)x(0，1)時(shí)，g(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0時(shí)，g(x)0.45678(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；因?yàn)閒(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.45678解答解答45678(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.令g(x)3x2(6a)xa，當(dāng)xx1時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x1xx2時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)xx2時(shí)，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù).456788.已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex (xR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；45678解解當(dāng)a2時(shí)，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因?yàn)閑x0，解答解答45678(2)若函數(shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.解解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)0對(duì)x(1，1)都成立.因?yàn)閒(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0對(duì)x(1，1)都成立.因?yàn)閑x0，所以x2(a2)xa0對(duì)x(1，1)都成立，對(duì)x(1，1)都成立.4567845678考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值要點(diǎn)重組要點(diǎn)重組(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(diǎn).(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)x0，當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)取得極值，在x0處有f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.(3)一般地，在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)yf(x)在a，b上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.9.(2017北京)已知函數(shù)f(x)excos xx.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；9101112解解因?yàn)閒(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，又因?yàn)閒(0)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y1.解答9101112解答解解由(1)可知，f(x)ex(cos xsin x)1，設(shè)h(x)ex(cos xsin x)1，則h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.即f(x)0.9101112910111210.設(shè)函數(shù)f(x)x aln x(aR).若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸垂直，求函數(shù)f(x)的極值；9101112解答解解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，).所以f(1)5a，故曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為5a.由題意可得5a0，解得a5.由f(x)0，解得x1或4.9101112f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：9101112x(0，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)極大值極小值9101112(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；解答曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為xey10.(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)的最大值為a，求a的取值范圍.解解f(x)在x0時(shí)的最大值為a，等價(jià)于f(x)a對(duì)于x0恒成立，于是g(x)在0，2上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，9101112解答(1)求a，b的值；經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.9101112解答9101112解答x1是f(x)的極大值點(diǎn).91011129101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)設(shè)函數(shù)f(x) a2x2ln x(aR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)如果函數(shù)f(x)的圖象不在x軸的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.模板體驗(yàn)審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)；(2)f(x)的圖象不在x軸的下方，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒成立，構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)求導(dǎo)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f(x).第二步轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化：“判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(最值)”常轉(zhuǎn)化為“判斷f(x)的符號(hào)”，“切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點(diǎn)坐標(biāo)”，常轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，“恒成立問題”常轉(zhuǎn)化為“求最值”等.第三步求解求解：根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問題.第四步反思反思：單調(diào)區(qū)間不能用“”連接；范圍問題的端點(diǎn)能否取到.(1)確定a的值；解解對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f(x)3ax22x，規(guī)范演練12345解答(2)若g(x)f(x)ex，討論g(x)的單調(diào)性.12345解答令g(x)0，解得x0，x1或x4.當(dāng)x4時(shí)，g(x)0，故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)4x1時(shí)，g(x)0，故g(x)為增函數(shù)；當(dāng)1x0時(shí)，g(x)0，故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，故g(x)為增函數(shù).綜上可知，g(x)在(，4)和(1，0)上為減函數(shù)，在(4，1)和(0，)上為增函數(shù).123452.已知函數(shù)f(x)(ax2bxc)ex在0，1上單調(diào)遞減且滿足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范圍；解解由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，則f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依題意對(duì)任意x(0，1)，f(x)0且a1時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2(a1)xa的圖象開口向上，而f(0)a0，所以f(1)(a1)e0，即0a1；當(dāng)a1時(shí)，對(duì)任意x(0，1)，有f(x)(x21)ex0，f(x)符合條件；當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意x(0，1)，有f(x)xex0，f(x)符合條件；當(dāng)a0，f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0，1.12345解答(2)設(shè)g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0，1上的最大值和最小值.12345解答解解g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex.當(dāng)a0時(shí)，g(x)ex0，g(x)在x0處取得最小值g(0)1，在x1處取得最大值g(1)e；當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于任意x(0，1)，有g(shù)(x)2xex0，g(x)在x0處取得最大值g(0)2，在x1處取得最小值g(1)0；g(x)在0， 1上單調(diào)遞增，12345g(x)在x0處取得最小值g(0)1a，在x1處取得最大值g(1)(1a)e；122 eaaa，在x0或x1處取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，123453.已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR).若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.12345解答解解函數(shù)f(x)ln xa2x2ax的定義域?yàn)?0，)，所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；12345所以f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，不合題意；12345當(dāng)a0時(shí)，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，只需f(x)0在區(qū)間1，)上恒成立.因?yàn)閤0，所以只要2a2x2ax10在區(qū)間1，)上恒成立.123454.(2017全國)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；解解f(x)(12xx2)ex.12345解答(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a的取值范圍.12345解答解解f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，則h(x)xex0)，因此h(x)在0，)上單調(diào)遞減.而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.當(dāng)0a0(x0)，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增.而g(0)0，故g(x)g(0)，exx1.當(dāng)0 x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，故f(x0)ax01.12345則x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.綜上，a的取值范圍是1，).123455.已知函數(shù)f(x)x2ax2ln x.(1)若函數(shù)yf(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解解因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以a4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，4.12345解答12345解答由題意可得x1，x2為方程 f(x)0，即2x2ax20(x0)的兩個(gè)不同實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x21.12345顯然當(dāng)xe2時(shí)，p(x)0，函數(shù)p(x)單調(diào)遞增，1234512345