第49課方程、函數(shù)與幾何相結(jié)合型綜合問題 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) 考題分析 以幾何量為一元二次方程的根或系數(shù)構(gòu)成方程與幾何相 結(jié)合型綜合題，解決這類問題的關(guān)鍵，是把一元二次方程的 知識與幾何圖形的性質(zhì)以及計算與證明有機結(jié)合起來 函數(shù)與幾何相結(jié)合型綜合題，各地中考常常作為壓軸題 進行考查，這類題目難度大，考查知識多，解這類習(xí)題的關(guān) 鍵就是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)和函數(shù)的有關(guān)知識，并 注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的 難點正本疑點清源 1代數(shù)、幾何綜合題對解題的要求 代數(shù)幾何綜合題從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等 式、函數(shù)、幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三 角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機地結(jié)合在一起，同時也融入 了開放性、探究性等問題，如探究條件、探究結(jié)論、探究存在性等經(jīng) ?？疾榈念}目類型主要有坐標(biāo)系中的幾何問題(簡稱坐標(biāo)幾何問題)，以 及圖形運動過程中求函數(shù)解析式問題等 2代數(shù)、幾何綜合題的解題策略 解決代數(shù)幾何綜合題，第一，需要認真審題，分析、挖掘題目的隱 含條件，翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件；第二，要善于將復(fù)雜問題分解為基本 問題，逐個擊破；第三，要善于聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將以上得到的顯性條件進 行恰當(dāng)?shù)亟M合，進一步得到新的結(jié)論，尤其要注意的是，恰當(dāng)?shù)厥褂梅?析綜合法及方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思 想、運動觀點等數(shù)學(xué)思想方法，能更有效地解決問題基礎(chǔ)自測 1(2010紹興)一輛汽車和一輛摩托車分別從A、B兩地去同一城市，它們離A地的路程隨時間變化的圖象如圖所示則下列結(jié)論錯誤的是() A摩托車比汽車晚到1 h BA、B兩地的路程為20 km C摩托車的速度為45 km/h D汽車的速度為60 km/h 答案C 解析摩托車的速度應(yīng)該是(18020)440 km/h. 2(2010德化)已知：如圖，點P是正方形 ABCD的對角線AC上的一個動點(A、C 除外)，作PEAB于點E，作PFBC于 F，設(shè)正方形的邊長為x，矩形PEBF的 周長為y，在下列圖象中，大致表示y與 x之間的函數(shù)關(guān)系的是()答案答案A解析由解析由APE是等腰直角三角形，四邊形是等腰直角三角形，四邊形PEBF是矩形，得是矩形，得PEAE，PFBE，PEPFAEBEABx.y2x. 3(2011河北)如圖，在矩形中 截取兩個相同的圓作為圓柱 的上、下底面，剩余的矩形 作為圓柱的側(cè)面，剛好能組 合成圓柱設(shè)矩形的長和寬 分別為y和x，則y與x的函數(shù)圖象大致是()答案答案A 4(2011威海)如圖，在正方形ABCD中， AB3 cm，動點M自A點出發(fā)沿AB方 向以每秒1 cm的速度運動，同時動點 N自A點出發(fā)沿折線ADDCCB以每 秒3 cm的速度運動，到達B點時運動同 時停止設(shè)AMN的面積為y(cm2)，運動時間為x(秒)，則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是()答案答案B 5(2010潼南)如圖，四邊形ABCD是邊長為1 的正方形，四邊形EFGH是邊長為2的正方形，點D與點F重合，點B、D(F)、H在同一條直線上，將正方形ABCD沿FH方向平移至點B與點H重合時停止，設(shè)點D、F之間的距離為x，正方形ABCD與正方形EFGH重疊部分的面積為y，則能大致反映y與 x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()可得圖象：可得圖象：故選故選B.題型分類 深度剖析 【例 2】如圖，拋物線yax2bx3與 x 軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且 經(jīng)過點(2，3a)，對稱軸是直線x1， 頂點是M. (1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式； (2)經(jīng)過C、M兩點作直線與x軸交于點N， 在拋物線上是否存在這樣的點P，使以 點P、A、C、N為頂點的四邊形為平行 四邊形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由； (3)設(shè)直線yx3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E(不與B、 D重合)，經(jīng)過A、B、E三點的圓交直線BC于點F，試判斷AEF的 形狀，并說明理由； (4)當(dāng)E是直線yx3上任意一點時，(3)中的結(jié)論是否成立？(請直接 寫出結(jié)論) 探究提高根據(jù)題意，解方程求得待定系數(shù)a、b的值，從而求得函數(shù)表達式；通過計算，證得ANCP，又ANCP，證明四邊形ANCP是平行四邊形；判斷AEF的形狀，應(yīng)從邊、角兩方面去探索其形狀 解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 探究提高圖形作翻折、旋轉(zhuǎn)、平移后，雖然位置發(fā)生了變化，但是形狀、大小保持不變，即圖形是全等的解題時創(chuàng)造全等三角形，轉(zhuǎn)化已知的數(shù)量關(guān)系是常用的方法圖圖圖圖圖圖圖圖 探究提高PAB是等腰三角形，有PAPB，PAAB，PBAB三種情形，解題時應(yīng)用尺規(guī)作出點P的大致位置，這樣對形成解題思路大有幫助易錯警示 試題如圖，點O是坐標(biāo)原點，點A(n,0) 是x軸上一動點(n0)，以AO為一邊作矩 形AOBC，使OB2AO，點C在第二象限， 將矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得矩 形AGDE，過點A的直線ykxm(k0) 交y 軸于點F，F(xiàn)BFA，拋物線yax2bxc過點E、F、G且和 直線AF交于點H，過點H作x軸的垂線，垂足為M. (1)求k的值； (2)點A的位置改變時，AMH的面積和矩形AOBC的面積比是否改變？說明你的理由36不能混淆點的坐標(biāo)與距離的概念 剖析在第(1)問中運用方程思想找出m與n的關(guān)系，再代入A點坐標(biāo)，算出k值的思路是對的，但由于混淆坐標(biāo)與距離的概念，將B點坐標(biāo)確定為(0,2n)，沒有考慮到A點在x軸負半軸上，n0，B點在y軸的正半軸上，故B點坐標(biāo)應(yīng)為(0，2n)，此錯誤導(dǎo)致后面求k值出錯 第(2)問中根據(jù)A點位置改變使AMH和矩形AOBC的面積改變，判斷面積比改變也考慮不深入，此問可根據(jù)題中所給條件，先將AMH和矩形AOBC的面積用含變量n的代數(shù)式表示出來(顯然圖形的面積與點A的位置即n的大小有關(guān))，再求出兩個圖形面積的比值，若比值為常數(shù)，則面積比不隨點A的位置的改變而改變；若比值為與n有關(guān)的式子，則面積比要隨A點位置的改變而改變思想方法 感悟提高 方法與技巧 聚焦近幾年中考的動態(tài)幾何問題，主要是研究在幾何圖形的 運動中，出現(xiàn)的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的變化，在“變”中探求“不變 ”的本質(zhì) 方法規(guī)律：近幾年中考試題中的綜合題大多以代數(shù)幾何綜合 題的形式出現(xiàn)，其解題關(guān)鍵是借助幾何直觀解題，運用方程、函 數(shù)的思想解題，靈活運用數(shù)形結(jié)合，由形導(dǎo)數(shù)，以數(shù)促形，綜合 運用代數(shù)和幾何知識解題值得注意的是近年中考幾何綜合計算 的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運動型、情境 型等，背景鮮活，具有實用性和創(chuàng)造性，在考查考生計算能力的 同時，考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、 建模能力，力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識運用到實際生活中去 失誤與防范 1在解幾何綜合題時，常常需要畫圖并分解出其中的基本圖形，挖掘出其中隱含的等量關(guān)系，另外，也要注意使用數(shù)形結(jié)合、方程、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法來解決問題 2幾何圖形中也存在著變量，特別是含有運動元素的幾何圖形，這就需要用方程、函數(shù)的觀點來加以解釋這類綜合性試題，大多帶有探究性，自然也就具有較強的綜合性，是體現(xiàn)中考選拔性的主要形式之一解好此類試題，要求我們能靈活運用代數(shù)和幾何的基本知識，掌握基本的數(shù)學(xué)思想，具有較強的轉(zhuǎn)化等方面的數(shù)學(xué)能力完成考點跟蹤訓(xùn)練49