第二篇熟練規(guī)范中檔大題保高分第24練數(shù)列的綜合問題明考情數(shù)列與函數(shù)方程、方程不等式的綜合問題是高考的重點，往往和數(shù)列的通項、求和結(jié)合考查，在高考中經(jīng)常出現(xiàn).知考向1.數(shù)列與函數(shù)的綜合.2.數(shù)列與不等式的綜合.3.數(shù)列與其他知識的綜合.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一數(shù)列與函數(shù)的綜合方法技巧方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列的通項或遞推關(guān)系.(2)數(shù)列中的函數(shù)問題，一般利用數(shù)列的性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)，用函數(shù)思想求解數(shù)列問題.(1)求數(shù)列xn的通項公式；123解答解答1232.已知定義域為R的二次函數(shù)f(x)的最小值為0，且有f(1x)f(1x)，直線g(x)4(x1)的圖象被f(x)的圖象截得的弦長為 ，數(shù)列an滿足a12，(an1an)g(an)f(an)0(nN*).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；解解設(shè)f(x)a(x1)2(a0)，所以a1，所以f(x)(x1)2.解答123(2)求數(shù)列an的通項公式；解解f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，因為(an1an)4(an1)(an1)20，所以(an1)(4an13an1)0.因為a12，所以an1，所以4an13an10，解答123(3)設(shè)bn3f(an)g(an1)，求數(shù)列bn的最值及相應(yīng)的n.解解bn3(an1)24(an11)，當(dāng)n1時，bn有最大值0.解答123(1)當(dāng)nN*時，求f(n)的表達(dá)式；解答123(2)設(shè)annf(n)，nN*，求證：a1a2a3an2；證明證明設(shè)Tn為an的前n項和，即a1a2a3an2.證明123當(dāng)n8時，bn0；當(dāng)n9時，bn0；當(dāng)n9時，bn0.當(dāng)n8或9時，Sn取得最大值.解答123考點二數(shù)列與不等式的綜合方法技巧方法技巧(1)數(shù)列中的最值問題可以利用基本不等式求解.(2)與數(shù)列求和有關(guān)的不等式證明可以對中間過程或最后結(jié)果放縮得到.(3)可利用比較法或數(shù)列的單調(diào)性解決比較大小問題.4.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1a，an1Sn3n，nN*.(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項公式；解解依題意，得Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n+12(Sn3n)，因此bn12bn.當(dāng)a3時，bn為等比數(shù)列，且首項b1a3，公比q2，所以通項公式為bn(a3)2n1，nN*.當(dāng)a3時，b1a30，bn2bn122bn223bn32n1b10，也適合式.故數(shù)列bn的通項公式為bn(a3)2n1，nN*.解答456(2)若an1an，nN*，求實數(shù)a的取值范圍.解解由(1)知，Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，當(dāng)n2時，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，則an1an23n(a3)2n123n1(a3)2n2又a2a13a1成立，所以所求實數(shù)a的取值范圍是9，).解答456解答4565.已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項公式；因為b13，所以bnn3n.證明4564566.已知數(shù)列an滿足an1an2f(n1)f(n)(nN*).(1)若a11，f(x)3x5，求數(shù)列an的通項公式；解解因為an1an2f(n1)f(n)(nN*)，f(n)3n5，所以an1an2(3n83n5)6，所以an是等差數(shù)列，首項為a11，公差為6，即an6n5.解答456(2)若a16，f(x)2x且an2nn2對一切nN*恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解答456解解因為f(x)2x，所以f(n1)f(n)2n+12n2n，所以an1an22n2n+1.當(dāng)n2時，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n+12，當(dāng)n1時，a16，符合上式，所以an2n+12.456考點三數(shù)列與其他知識的綜合方法技巧方法技巧數(shù)列和其他知識的綜合問題解題的關(guān)鍵是通過對其他知識的轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的通項關(guān)系式或遞推關(guān)系式.(1)求a1，b1的值；789解答解答(2)點P1，P2，P3，Pn，能否在同一條直線上？請證明你的結(jié)論.789設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則由于P1，P2，P3，Pn，互不相同，所以d0，q1不會同時成立.789若d0且q1，P1，P2，P3，Pn，在同一條直線上，789所以(anan1)(bn1bn)(an1an)(bnbn1)0d(bn1bn)d(bnbn1)0bn1bnbnbn1q1，這與q1矛盾.所以當(dāng)d0且q1時，P1，P2，P3，Pn，不可能在同一條直線上.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答又a11，所以an2n1.789解答789解解當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn(b1b3bn1)(b2b4bn)當(dāng)n為奇數(shù)時，n1為偶數(shù)，而Tn1Tnbn1Tn2n，789(1)判斷非零的常數(shù)列是否為“to mall數(shù)列”？并說明理由；解解設(shè)常數(shù)列為anp，其前n項和為Snpn，789解答(2)等差數(shù)列bn的首項為3，公差不為零，若bn為“to mall 數(shù)列”，求數(shù)列bn的通項及前n項和Sn；789解答解解設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，因為b13，因為bn為“to mall數(shù)列”，789故數(shù)列bn的通項公式為bn32(n1)，即bn2n1.789789證明規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnan ，Snb1b2bn，求使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值.模板體驗12logna審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)評分標(biāo)準(zhǔn)解解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.由題意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，所以a2a420，又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，所以q2，a12，所以數(shù)列an的通項公式為an2n.5分(2)因為bn n2n，6分所以Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n+1，兩式相減，得Sn222232nn2n+12n+12n2n+1. 8分又Snn2n+130，可得2n+1230，即2n+13225，10分所以n15，即n4.所以使Snn2n+130成立的正整數(shù)n的最小值為5.12分1122log2 log 2nnnnaa構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步求通項求通項：根據(jù)題目條件， 列方程(組)求解， 得到數(shù)列的通項公式.第二步求和求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求出數(shù)列的前n項和.第三步求最值求最值：根據(jù)題目條件，建立相應(yīng)的函數(shù)或不等式，通過解相應(yīng)函數(shù)或不等式求出n的最小值.1.(2017佛山一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Snann21 (nN*).(1)求an的通項公式；規(guī)范演練解解Snann21(nN*)，a1a2a2221，解得a13.當(dāng)n2時，anSnSn1ann21an1(n1)21化為an12n1，可得an2n1，當(dāng)n1時也成立.an2n1.12345解答證明證明由(1)可得Sn2n1n21n22n，12345證明(1)求數(shù)列an的通項公式；x2k1，kZ.又x0，an2n1(nN*).12345解答解解|f(x)|2，12345證明12345(1)求數(shù)列an的通項公式；解答當(dāng)n2時，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.當(dāng)n1時，a1S1312211615，所以an6n5(nN*).12345解答故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.4.已知等比數(shù)列an的公比q1，a11，且a1，a3，a214成等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足：b11，且a1b1a2b2anbn(n1)3n1(nN*).(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；12345解答解解等比數(shù)列an滿足：a11，且a1，a3，a214成等差數(shù)列，2a3a1a214，即2a1q2a1a1q14，2q2q150，q3或q .又q1，q3，an3n1.a1b1a2b2anbn(n1)3n1， 當(dāng)n2時，有a1b1a2b2an1bn1(n2)3n11， 可得anbn(2n1)3n1(n2).bn2n1(n2).又當(dāng)n1時，b11，符合bn2n1，故bn2n1(nN*).1234512345解答(2)若manbn8恒成立，求實數(shù)m的最小值.當(dāng)Cn1Cn，即n5時，C5C6，當(dāng)Cn1Cn，即n5時，C1C2C3C4C5，當(dāng)Cn1Cn，即n5時，C6C7C8.123455.設(shè)函數(shù)f(x)x2， 過點C1(1， 0)作x軸的垂線l1交函數(shù)f(x)的圖象于點A1， 以點A1為切點作函數(shù)f(x)的圖象的切線交x軸于點C2，再過點C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f(x)的圖象于點A2，以此類推得點An，記An的橫坐標(biāo)為an，nN*.(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列并求出通項公式；又a11，12345證明12345解答12log x12345