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第三章量子力學中的力學量 第4 5 節(jié)厄米算符本征函數(shù)的正交性 定理1 厄米算符分屬不同本征值的本征函數(shù)彼此正交 定理 厄米算符的本征值是實數(shù) 定理2 若厄米算符某個本征值存在k個不同 線性無關 本征函數(shù) 則必可從它們的線性組合中選擇k個彼此正交的 本征 函數(shù) 顯然k維子空間V中一定存在k個正交矢量 函數(shù) 且都是算符F的本征函數(shù) 第4 5 節(jié)厄米算符本征函數(shù)的正交性 根據前面2個定理 我們總可適當選擇厄米算符的本征函數(shù) 使它們滿足正交歸一性 例如一維無限深勢阱 動量算符本征函數(shù) 角動量算符本征函數(shù) 一維線性諧振子 氫原子 波函數(shù) 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 前面提到 系統(tǒng)處于力學量算符 厄米算符 的本征函數(shù)描述的狀態(tài) 本征態(tài) 該力學量有確定值 就是本征函數(shù)對應的本征值 例如定態(tài)能量 動量本征態(tài)時的動量 角動量本征態(tài)時的角動量 等等 現(xiàn)在推廣這個假定 先引入概念 展開系數(shù) 稱為幾率幅 注意展開系數(shù)滿足 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 測量F的結果是其本征值 一般不確定是那個本征值 因此 測量的平均值是 平均值公式 例題氫原子處于基態(tài) 求電子動量的幾率分布 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 例題 p1013 6題 設t 0時 粒子處于狀態(tài)求此時粒子的平均動量和平均動能 平均動能 平均動量 平均動能 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 例題 p1013 7題 一維運動粒子的狀態(tài)是歸一化常數(shù)A 若粒子的能量為E 求系統(tǒng)的勢能 動量的幾率分布函數(shù)平均動量 動量的幾率分布函數(shù) 平均動量 實際上 平均動量一看就知道為零 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 平均能量 實際上 平均能量可以非常方便地計算出 能量本征函數(shù)和能量本征值是 能量的幾率分布 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 是能量 角動量平方及角動量z分量算符的共同本征函數(shù) 氫原子定態(tài)波函數(shù) 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 2個有用的定理 H F定理系統(tǒng)處于束縛定態(tài) 則 維里定理系統(tǒng)處于束縛定態(tài) 若勢能是 次齊次函數(shù) 則 由前面的定理 第5 6 節(jié)算符與力學量的關系 由維里定理得 動量幾率分布 例題一維諧振子處于能量本征態(tài)1 求勢能的平均值 2 求動能的平均值 3 求動量幾率分布 例題p100的3 2題氫原子處于基態(tài)1 求r的平均值 2 求勢能的平均值 3 最可幾半徑 前面已講 略 4 求動能的平均值 5 求動量幾率分布 前面已講 略 該題當n 0時就是p100的3 1題 由維里定理得 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 兩個算符乘積一般與次序有關 定義對易式 坐標算符與動量算符的對易式 基本對易關系 同理得到坐標算符與動量算符的其它對易關系 其它 有經典對應的 物理量的對易關系可從基本對易關系導出 例如角動量算符的對易式 對易式的公式 對易 兩力學量算符對易 兩力學量同時有確定值的條件 不對易 定理兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數(shù)集 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 定理兩個力學量算符有共同的構成完全系的本征函數(shù)集 若系統(tǒng)處于兩個力學量算符的共同本征函數(shù)描述的狀態(tài) 則這兩個力學量同時有確定值 注意 兩個力學量不對易 沒有共同構成完全系的本征函數(shù)集 但它們可能有共同本征函數(shù) 例如 兩力學量算符對易 兩力學量同時有確定值的條件 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 測不準關系 不對易情況 若2個厄米算符F G滿足對易關系 定義2個新厄米算符 定理兩個力學量算符滿足對易關系 則它們滿足測不準關系 引入非負積分 厄米算符 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 定理兩個力學量算符滿足對易關系 則它們滿足測不準關系 Heisenburg 也稱為基本 測不準關系 這也解釋了勢壘現(xiàn)象中似乎動能為負值的疑問 例題 第6 7 節(jié)算符的對易關系兩力學量同時有確定值的條件測不準關系 注意線性諧振子束縛態(tài)必定有確定宇稱 例題 Heisenburg測不準關系可以說明線性諧振子零點能的存在 第7 8 節(jié)力學量平均值隨時間的演化守恒定律 力學量平均值 其中歸一化波函數(shù)滿足 含時 薛定諤方程 若力學量算符不顯含時間 則 如果力學量算符不顯含時間 守恒量 又滿足 第7 8 節(jié)力學量平均值隨時間的演化守恒定律 空間平移不變 動量守恒 空間平移不變 轉動不變 角動量守恒 時間平移不變 能量守恒 時間平移不變 系統(tǒng)轉動不變 空間反演不變 宇稱守恒 第3節(jié)氫原子 習題 習題書中第三章3 1 3 9前面都已講過 習題書中第三章3 10題 球形腔中的運動 求能級與能量本征函數(shù) 定態(tài)薛定諤方程變?yōu)?球貝塞爾方程 球貝塞爾函數(shù) 球貝塞爾函數(shù)與貝塞爾函數(shù)的聯(lián)系 定態(tài)能量滿足方程 記 表示貝塞爾函數(shù)的第n個零點 即 第3節(jié)氫原子 習題 球坐標結果 柱坐標結果 習題書中第三章3 11題 不明確 有問題 1 定軸轉動 2 定點轉動 習題書中第三章3 12題 習題