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專題30 小題不小----比較大小 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 高考命題中，常常在選擇題或填空題中出現(xiàn)一類比較大小的問題，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序.這類問題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答.本專題以一些典型例題來說明此類問題的方法與技巧. （一）常用技巧和方法 1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負(fù)”，容我慢慢道來： 判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和 （1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù) （2）如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中，一個(gè)在中，那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù) 例如：等 2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖象觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了 3、比較大小的兩個(gè)理念： （1）求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況 例如：，比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤? ，從而只需比較底數(shù)的大小即可 （2）利用特殊值作“中間量”：在指對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如，可知，進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較 4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式： （1） （2） （3） （4）換底公式： 進(jìn)而有兩個(gè)推論： （令） （二）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則 (在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁） 2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則： （1） （2） 3、常見描述單調(diào)性的形式 （1）導(dǎo)數(shù)形式：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減 （2）定義形式：或：表示函數(shù)值的差與對(duì)應(yīng)自變量的差同號(hào)，則說明函數(shù)單調(diào)遞增，若異號(hào)則說明函數(shù)單調(diào)遞減 4、技巧與方法： （1）此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點(diǎn).所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析.在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么.兩者對(duì)接通?？梢源_定入手點(diǎn) （2）在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù).在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整 （3）在比較大小時(shí)，通?？衫煤瘮?shù)性質(zhì)（對(duì)稱性，周期性）將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進(jìn)行比較 （三）數(shù)形結(jié)合比較大小 1、對(duì)稱性與單調(diào)性：若已知單調(diào)性與對(duì)稱性，則可通過作出草圖觀察得到諸如“距軸越近，函數(shù)值越……”的結(jié)論，從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離，即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系 （1）若關(guān)于軸對(duì)稱，且單調(diào)增，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越小 （2）若關(guān)于軸對(duì)稱，且單調(diào)減，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越大 2、函數(shù)的交點(diǎn)：如果所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).抓住共同的函數(shù)作為突破口，將其余函數(shù)的圖象作在同一坐標(biāo)系下，觀察交點(diǎn)的位置即可判斷出自變量的大小. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)1，理11】設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù)，在用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的，通過作差或作商進(jìn)行比較大小.對(duì)數(shù)運(yùn)算要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見的運(yùn)算法則，尤其是換底公式和0與1的對(duì)數(shù)表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時(shí)，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式. 例3.已知均為正數(shù)，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為的形式，而第三個(gè)等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).先作出圖象，再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出，比較交點(diǎn)的位置即可. 例4.【2018屆山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺模擬（三）】已知a=2-??13，b=log213,c=log1213,則a,b,c的大小關(guān)系為（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 【答案】D 【解析】分析：借助于中間值1和0，利用各實(shí)數(shù)的范圍可比較大小. 詳解：a=2-??13∈(0,1)，b=log213<0,c=log1213=log23>1， ∴c>a>b，故選D. 點(diǎn)睛：比較大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小； （3）借助中間變量比較大小. 例5.【2018年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】函數(shù)fx=ex+e-xex-e-x，若a=f-12，b=fln2，c=fln13，則有（ ） A. c>b>a B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a 【答案】D 【解析】分析：首先分離常數(shù)得出fx=1+2e2x-1，可判斷出fx在-∞,0上單調(diào)遞減，且x>0時(shí)，fx>0，x<0時(shí)，fx<0，從而判斷出 b>0,a,c<0，再根據(jù)fx在-∞,0上減函數(shù)，判斷出a,c的大小關(guān)系，從而最后得出a,b,c大小關(guān)系. 且-lne>-ln3，∴-12>ln13， ∴fx在-∞,0上單調(diào)遞減， ∴f-12a,∴ b>c>a，故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間-∞,0,0,1,1,+∞ ）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用 例6.【2018屆天津市十二校二模】已知定義在R上的函數(shù)fx=x+cosx，則三個(gè)數(shù)a=f7log314，b=f17log1295，c=f1，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（ ） A. a>c>b B. a>b>c C. b>c>a D. c>b>a 【答案】C 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得 0<7log314<1,由log1295=-log295<0可得 17log1295>1,所以7log314<1<17log1295， 根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性可得b>c>a，故選C. 例7．【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測(cè)】已知fx為定義在 R上的偶函數(shù)，且fx+2=fx，當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=2x+1，記a=flog0.56,b=flog27,c=f8，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ） A. ab>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b 【答案】D 【解析】∵fx=lnx2+1-x ∴f(x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+x ∴f(-x)=ln(x2+1+x) ∵當(dāng)x>0時(shí)，x2+1+x>1；當(dāng)x<0時(shí)，00時(shí)，f(x)=ln(x2+1-x)=-ln(x2+1-x)=ln(x2+1+x)，f(-x)=ln(x2+1+x)； 當(dāng)x<0時(shí)f(x)=ln(x2+1-x)=ln(x2+1-x)；f(-x)=-ln(x2+1+x)=ln(x2+1-x). ∴c>a>b 故選D. 例10.【2018屆安徽省六安市第一中學(xué)三模】設(shè)fx是函數(shù)fxx∈R的導(dǎo)數(shù)，且滿足xfx-2fx>0，若A、B、C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，則（） A. fsinA?sin2B>fsinB?sin2A B. fsinA?sin2BfsinB?cos2A D. fcosA?sin2B0， 則有h（x）＞0， 則函數(shù)fx在（0，+∞） 上為增函數(shù)， 若△ABC 是銳角三角形，則有A+B＞π2， 即π2＞A＞π2-B＞0， 即有sinA＞cosB 或cosA＜sinB， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x）并分析其單調(diào)性． 【精選精練】 1.【2018屆北京市海淀區(qū)二模】已知x>y>0，則( ) A. 1x>1y B. (12)x>(12)y C. cosx>cosy D. ln(x+1)>ln(y+1) 【答案】D 【解析】分析：取x=2，y=1，利用排除法，逐一排除即可的結(jié)果. 詳解：因?yàn)閤=2，y=1時(shí)，1x<1y , (12)x<(12)y , cosxa B. c≥a>b C. a>c≥b D. c>a≥b 【答案】A 故選A． 3.【2017年高考山東卷】若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因?yàn)?，且，所? ，所以選B. 4．【2018屆廣東省中山市第一中學(xué)高三第一次統(tǒng)測(cè)】實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知， ， ，即， ， ，∴，故選C. 5．【2018屆福建省龍巖市4月檢查】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)對(duì)于[0,+∞)上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)x1和x2，f(x)都滿足f(x2)-f(x1)x1-x2<0，若a=f(0),b=f(log0.23),c=f(log25)，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ） A. cb>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b 【答案】A 【解析】此題可采用特值法，∵α∈(π2,3π4)，故可取α=2π3，此時(shí)a=sinα=32，b=cosα=-12，c=tanα=-3，即a>b>c成立，故選A. 8.【2018年4月8日 每周一測(cè)】已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)， ， ，則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先判斷出在上為增函數(shù)，由奇偶性可得 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到、、的范圍，可比較其大小，利用單調(diào)性可得結(jié)果. 由單調(diào)性可得， ，故選A. 9．【2018屆福建省閩侯第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)】記A=cos12,B=cos32,C=sin32-sin12, 則A,B,C的大小關(guān)系是（ ） A. A>B>C B. A>C>B C. B>A>C D. C>B>A 【答案】B 【解析】A-C=cos12-sin32+sin12=2sin(12+π4)-sin32， ∵π4<12+π4<π2，∴2sin(12+π4)>1， ∴2sin(12+π4)-sin32>0，即A>C， B-C=cos32-sin32+sin12=sin12-2sin(32-π4)，∵12-32+π4=-1+π4<0，∴12<32-π4，∵0<12<π2,0<32-π4<π2，∴sin12C>B. 本題選擇B選項(xiàng). 10．【2018屆湖北省荊州中學(xué)高三第二次月考】已知 ，則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令， ， ，令在R上單調(diào)遞減，所以>,即a>c,又因?yàn)椋冢?,1）上單調(diào)遞增，所以,即a

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