2.5 二次函數(shù)與一元二次方程第1課時 二次函數(shù)與一元二次方程1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；(重點)2理解二次函數(shù)與x 軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根；(重點)3通過觀察二次函數(shù)與x 軸交點的個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想(難點)一、情境導(dǎo)入一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖所示現(xiàn)測得，當(dāng)水面寬AB1.6m時，涵洞頂點與水面的距離OC2.4m.當(dāng)水位上升一定高度到達點F時，這時，離水面距離CF1.5m，則涵洞寬ED是多少？是否會超過1m?根據(jù)已知條件，要求ED寬，只要求出FD的長度在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，只要求出點D的橫坐標(biāo)即可由已知條件可得到點D的縱坐標(biāo)，又因為點D在涵洞所成的拋物線上，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進一步算出點D的橫坐標(biāo)你會求嗎？二、合作探究探究點一：二次函數(shù)與一元二次方程 【類型一】 求拋物線與x軸的交點坐標(biāo) 已知二次函數(shù)y2x24x6，它的圖象與x軸交點的坐標(biāo)是_解析：y2x24x62(x22x3)2(x3)(x1)，設(shè)2(x3)(x1)0，解得x13，x21，它的圖象與x軸交點的坐標(biāo)是(3，0)，(1，0)故答案為(3，0)，(1，0)方法總結(jié)：拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)，就是二次函數(shù)為0時，一元二次方程的解變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】 判斷拋物線與x軸交點的個數(shù) 已知關(guān)于x的二次函數(shù)ymx2(m2)x2(m0)(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值解析：(1)只需證明(m2)24m20即可；(2)利用因式分解法求得拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)x的值來求正整數(shù)m的值(1)證明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)20，0，此拋物線與x軸總有兩個交點；(2)解：令y0，則(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20，解得 x11，x2.當(dāng)m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)所以正整數(shù)m的值為1或2.方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是明確當(dāng)根的判別式0拋物線與x軸有兩個交點變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第8題【類型三】 已知拋物線與x軸的交點個數(shù)，求字母系數(shù)的取值范圍 已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點，求k的取值范圍解析：應(yīng)分k30和k30兩種情況進行討論，(1)當(dāng)k30即k3時，此函數(shù)是一次函數(shù)；(2)當(dāng)k30，即k3時，此函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸有交點可知b24ac0，求出k的取值范圍即可解：當(dāng)k3時，函數(shù)y2x1是一次函數(shù)一次函數(shù)y2x1與x軸有一個交點，k3；當(dāng)k3時，y(k3)x22x1是二次函數(shù)二次函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點，b24ac0.b24ac224(k3)4k16，4k160.k4且k3.綜上所述，k的取值范圍是k4.方法總結(jié)：由于k的取值范圍不能確定，所以解決本題的關(guān)鍵是要注意分類討論，不要漏解變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題【類型四】 二次函數(shù)與一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合 已知：拋物線yx2axa2.(1)求證：不論a取何值時，拋物線yx2axa2與x軸都有兩個不同的交點；(2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值解析：(1)利用關(guān)于x的一元二次方程x2axa20的根的判別式的符號進行證明；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1、x2的平方和是xx(x1x2)22x1x2a22a43，由此可以求得a的值(1)證明：a24(a2)(a2)240，不論a取何值時，拋物線yx2axa2與x軸都有兩個不同的交點；(2)解：x1x2a，x1x2a2，xx(x1x2)22x1x2a22a43，a1.方法總結(jié)：判斷一元二次方程與x軸的交點，只要看根的判別式的符號即可，而要判斷一元二次方程根的情況，要利用根與系數(shù)關(guān)系變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題探究點二：利用二次函數(shù)解決運動中的拋物線問題 如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起據(jù)實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；(2)足球第一次落地點C距守門員多少米(取47)?(3)運動員乙要搶到第二個落點D，他應(yīng)再向前跑多少米(取25)?解析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據(jù)已知條件確定點A和頂點M的坐標(biāo)，因為OA1，OB6，BM4，所以點A的坐標(biāo)為(0，1)，頂點M的坐標(biāo)是(6，4)根據(jù)頂點式可求得拋物線關(guān)系式因為點C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點C的縱坐標(biāo)y0代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得OC的長要計算運動員乙要搶到第二個落點D，他應(yīng)再向前跑多少米，實際就是求DB的長求解的方法有多種解：(1)設(shè)第一次落地時，拋物線的表達式為ya(x6)24，由已知：當(dāng)x0時，y1，即136a4，所以a.所以函數(shù)表達式為y(x6)24或yx2x1；(2)令y0，則(x6)240，所以(x6)248，所以x14613，x246<0(舍去)所以足球第一次落地距守門員約13米；(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CDEF(即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)所以2(x6)24，解得x162，x262，所以CD|x1x2|410.所以BD1361017(米)方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是先進行數(shù)學(xué)建模，將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的條件常有兩個步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題；(2)應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作答三、板書設(shè)計二次函數(shù)與一元二次方程1.二次函數(shù)與一元二次方程2.利用二次函數(shù)解決運動中的拋物線問題本節(jié)課注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生通過自主探究、合作學(xué)習(xí)來主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，實現(xiàn)師生互動，通過這樣的教學(xué)實踐取得一定的教學(xué)效果，再次認(rèn)識到教師不僅要教給學(xué)生知識，更要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，使他們能夠在獨立思考與合作學(xué)習(xí)交流中解決學(xué)習(xí)中的問題.