第一講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1三角函數(shù)的定義若角的終邊過(guò)點(diǎn)P(x，y)，則sin，cos，tan(其中r)2誘導(dǎo)公式(1)sin(2k)sin(kZ)，cos(2k)cos(kZ)，tan(2k)tan(kZ)(2)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(3)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(4)sin()sin，cos()cos，tan()tan.(5)sincos，cossin，sincos，cossin.3基本關(guān)系sin2xcos2x1，tanx.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018山東壽光一模)若角的終邊過(guò)點(diǎn)A(2,1)，則sin()A B C. D.解析根據(jù)三角函數(shù)的定義可知cos，則sincos，故選A.答案A2已知sin，則cos()A B. C. D解析coscossinsinsinsin.答案A3已知P(sin40，cos140)為銳角終邊上的點(diǎn)，則()A40 B50 C70 D80解析P(sin40，cos140)為角終邊上的點(diǎn)，因而tantan50，又為銳角，則50，故選B.答案B4(2018福建泉州質(zhì)檢)已知為第四象限角，sin3cos1，則tan_.解析由(sin3cos)21sin2cos2，得6sincos8cos2，又因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以cos0，所以6sin8cos，所以tan.答案快速審題(1)看到終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，想到三角函數(shù)的定義(2)看到三角函數(shù)求值，想到誘導(dǎo)公式及切弦互化誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用策略(1)已知角求值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用(2)對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的式子，結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與解析式1“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)的圖象設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線(xiàn)可得2兩種圖象變換解析(1)f(x)cossinsin，只需將函數(shù)g(x)sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到f(x)的圖象故選C.(2)由，得T，又知T，2，f(x)2sin(2x)又知f2，2sin2，即sin1.2k(kZ)2k(kZ)，又<<0，.答案(1)C(2)解決三角函數(shù)圖象問(wèn)題的策略(1)已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向?qū)c(diǎn)訓(xùn)練1原創(chuàng)題將函數(shù)f(x)sin(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)先伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)sinx的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析解法一：將函數(shù)f(x)sin(x)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，則函數(shù)變?yōu)閥sin，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為ysinsinsinx，又>0，所以又<，所以2，所以f(x)sin，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.故選C.解法二：將ysinx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為ysin，將函數(shù)ysin的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，則函數(shù)變?yōu)閥sinf(x)，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，故選C.答案C2(2018湖北七市(州)3月聯(lián)考)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)()A1 B. C. D.解析由題圖知A1，函數(shù)f(x)的最小正周期T2，所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因?yàn)辄c(diǎn)在圖象的上升段上，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，又|<，所以，故f(x)sin，可知在上，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閤1，x2，f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)fsin.故選D.答案D考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ysinx的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)；ycosx的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytanx的遞增區(qū)間是(kZ)2三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱(chēng)軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)角度1：研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性解析f(x)的最小正周期為，2，f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)sinsin的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，k，kZ，k，kZ，又|<，<，k1，f(x)sin，當(dāng)x時(shí)，2x，A、C錯(cuò)誤，當(dāng)x時(shí)，2x，B正確，D錯(cuò)誤答案B探究追問(wèn)在本例中條件不變，若將“圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”改為“圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”，則f(x)的圖象對(duì)稱(chēng)性是怎樣的？解析g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，kZ，可得x，kZ，令k1，則x，故選D.答案D角度2：求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值解(1)f(x)2cosxsinxsin2xcos2xsin2xcos2x2sin.由f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為，知，即1.所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)因?yàn)?x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的解題策略(1)討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱(chēng)性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)(2)求函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的單調(diào)區(qū)間，是將x作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當(dāng)A>0，<0時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間(3)求函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)在某一區(qū)間的最值時(shí)，將x視為整體，借助正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1角度1(2018內(nèi)蒙古赤峰二中三模)已知函數(shù)f(x)2sin1，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Af(x)的最小正周期為Bf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)Cf(x)在區(qū)間上是增函數(shù)D函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)2sin2x1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到解析對(duì)于函數(shù)f(x)2sin1，由于它的最小正周期為，故A項(xiàng)正確；當(dāng)x時(shí)，f(x)2sin11，函數(shù)取得最大值，故f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，故B項(xiàng)正確；當(dāng)x在區(qū)間上時(shí)，2x，故f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C項(xiàng)正確；由于把g(x)2sin2x1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2sin212sin1的圖象，故D項(xiàng)錯(cuò)誤故選D.答案D2角度2(2018河南濮陽(yáng)一模)先將函數(shù)f(x)sinx的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(其中N*)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)解析由題意易知g(x)sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有kZ，即12k48k，kZ.由12k48k可得k，當(dāng)k1時(shí)，所以正整數(shù)的最大值為9.答案91(2018天津卷)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)()A在區(qū)間上單調(diào)遞增B在區(qū)間上單調(diào)遞減C在區(qū)間上單調(diào)遞增D在區(qū)間上單調(diào)遞減解析將ysin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為ysinsin2x，令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以ysin2x的遞增區(qū)間為(kZ)，當(dāng)k1時(shí)，ysin2x在上單調(diào)遞增，故選A.答案A2(2018全國(guó)卷)若f(x)cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D解析f(x)cosxsinxcos，由題意得a>0，故a<，因?yàn)閒(x)cos在a，a是減函數(shù)，所以解得0<a，所以a的最大值是，故選A.答案A3(2017全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在單調(diào)遞減解析f(x)的最小正周期為2，易知A正確；fcoscos31，為f(x)的最小值，故B正確；f(x)coscos，fcoscos0，故C正確；由于fcoscos1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤答案D4(2017山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)sinsin，其中0<<3.已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值解(1)因?yàn)閒(x)sinsin，所以f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由題設(shè)知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又0<<3，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因?yàn)閤，所以x，當(dāng)x，即x時(shí)，g(x)取得最小值.高考對(duì)此部分內(nèi)容主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下，大多出現(xiàn)在612或第1415題位置上，命題的熱點(diǎn)主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題熱點(diǎn)課題7函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用感悟體驗(yàn)1(2018西安三模)若將函數(shù)f(x)2sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值是()A. B. C. D解析將函數(shù)f(x)2sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y2sin的圖象因?yàn)樗脠D象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以2k(kZ)，所以(kZ)當(dāng)k1時(shí)，.故選A.答案A2(2018湖南湘中高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實(shí)數(shù)，若f(x)對(duì)xR恒成立，且f>f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析因?yàn)閒(x)對(duì)xR恒成立，即1，所以k(kZ)因?yàn)閒>f()，所以sin()>sin(2)，即sin<0，所以2k(kZ)，所以f(x)sin，所以由三角函數(shù)的單調(diào)性知2x(kZ)，得x(kZ)，故選C.答案C專(zhuān)題跟蹤訓(xùn)練(十四)一、選擇題1若sin，且，則sin(2)()A. B. C D解析由sincos，且，得sin，所以sin(2)sin22sincos，故選D.答案D2(2018福州質(zhì)量檢測(cè))若將函數(shù)y3cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是()A. B. C. D.解析將函數(shù)y3cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得y3cos3cos的圖象，由2xk(kZ)，得x(kZ)，當(dāng)k0時(shí)，x，所以平移后圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，故選A.答案A3(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知tan，則sin(sincos)()A. B. C. D.解析sin(sincos)sin2sincos，將tan代入，得原式，故選A.答案A4(2018太原模擬試題)已知函數(shù)f(x)sinxcosx(>0)在(0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.解析f(x)2sin，設(shè)tx，因?yàn)?<x<，所以<t<，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以<2，解得<，故選B.答案B5(2018武漢綜合測(cè)試)如圖是函數(shù)yAsin(x)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)ysinx(xR)的圖象上所有的點(diǎn)()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變解析由圖象可知，A1，最小正周期T，所以2.將點(diǎn)代入ysin(2x)可得，所以ysin，故只需將ysinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的即可故選D.答案D6(2018太原質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin(x)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且函數(shù)f是偶函數(shù)，下列判斷正確的是()A函數(shù)f(x)的最小正周期為2B函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)D函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增解析由題意得函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為2，所以，解得2.因?yàn)楹瘮?shù)f是偶函數(shù)，所以2k，kZ，即k，kZ，因?yàn)閨<，所以，f(x)sin.函數(shù)f(x)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；因?yàn)閒sin10，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)閒sin1，所以C錯(cuò)誤；由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，令k1得函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，因?yàn)?，所以D正確綜上所述，故選D.答案D二、填空題7(2018河北滄州模擬)已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線(xiàn)2xy0上，則_.解析設(shè)點(diǎn)P(a,2a)(a0)為角終邊上任意一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義有tan2，再根據(jù)誘導(dǎo)公式，得2.答案28(2018河北石家莊一模)若函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)在上的最小值為_(kāi)解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，則由題意，知f2sin0，又因?yàn)?<<，所以<<，所以2，所以，所以f(x)2sin2x，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在上是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在上的最小值為f2sin.答案9已知函數(shù)f(x)sinxcosxm(>0，xR，m是常數(shù))圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為，且與點(diǎn)距離最近的一個(gè)最低點(diǎn)是，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)解析f(x)sinxcosxm2sinm，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別是函數(shù)f(x)圖象上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且它們是相鄰的，所以，且m，所以2，m1.所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin1.答案f(x)2sin1三、解答題10(2018北京西城二模)已知函數(shù)f(x)tan.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)設(shè)(0，)，且f()2cos，求的值解(1)由xk，kZ，得xk，kZ.所以函數(shù)f(x)的定義域是.(2)依題意，得tan2cos.所以2sin.整理得sin0，所以sin0或cos.因?yàn)?0，)，所以.由sin0，得，即；由cos，即，即.所以或.11(2018云南曲靖一中模擬)已知函數(shù)f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期(2)若f(x)m0在恰有一實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2x2sin.故函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)在x時(shí)，f(x)2sin的圖象如下f(0)2sin，f2sin0，當(dāng)方程f(x)m0在恰有一實(shí)數(shù)根時(shí)，m的取值范圍為，0)212原創(chuàng)題已知函數(shù)f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的最小值和最大值解(1)由題意，得f(x)(sinx)(cosx)cos2xsinxcosxcos2xsin2x(cos2x1)sin2xcos2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，則x(kZ)，故所求圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x(kZ)(2)當(dāng)0x時(shí)，2x.由函數(shù)圖象(圖略)可知，sin1，即0sin.故f(x)的最小值為0，最大值為.