第六章圓6.1圓的有關(guān)性質(zhì)學(xué)用P64過(guò)關(guān)演練(40分鐘80分)1.(xx山東青島)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在O上,AOC=140,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),則D的度數(shù)是(D)A.70B.55C.35.5D.35【解析】連接OB,點(diǎn)B是AC的中點(diǎn),AOB=12AOC=70,由圓周角定理得D=12AOB=35.2.(xx四川樂(lè)山)九章算術(shù)是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書(shū)中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長(zhǎng)1尺(AB=1尺=10寸),問(wèn)這塊圓形木材的直徑是多少?”如圖所示,請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算圓形木材的直徑AC是(C)A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸【解析】設(shè)O的半徑為r.在RtADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,則有r2=52+(r-1)2,解得r=13,故O的直徑為26寸.3.如圖,在RtABC中,ACB=90,A=56,以BC為直徑的O交AB于點(diǎn)D,E是O上一點(diǎn),且CE=CD,連接OE,過(guò)點(diǎn)E作EFOE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則F的度數(shù)為(C)A.92B.108C.112D.124【解析】ACB=90,A=56,B=34,CE=CD,COE=2B=68,又EFOE,OEF=90,F=360-90-90-68=112.4.如圖,O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為C.連接AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E.連接BE,CE,若AB=8,CD=2,則BCE的面積為(A)A.12B.15C.16D.18【解析】ODAB,AC=BC=12AB=4,在RtAOC中,設(shè)半徑OA=OD=x,則OC=x-2,根據(jù)勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,AE=10,AE是O的直徑,ABE=90,BE=AE2-AB2=102-82=6.SBCE=12BCBE=1246=12.5.如圖,AB是O的直徑,AC,BC分別與O相交于點(diǎn)D,E,連接DE,現(xiàn)給出兩個(gè)命題:若AC=AB,則DE=CE;若C=45,記CDE的面積為S1,四邊形DABE的面積為S2,則S1=S2.那么(D)A.是真命題,是假命題B.是假命題,是真命題C.是假命題,是假命題D.是真命題,是真命題【解析】由題意知四邊形DABE是O的內(nèi)接四邊形,CDE=B,若AC=AB,則B=C,CDE=C,DE=CE,是真命題;連接BD,AB為O的直徑,ADB=90,CDB=90,C=45,DCCB=22,C=C,CDE=B,CDECBA,SDCESBCA=12,SDCES四邊形DABE=1,即S1=S2,為真命題.6.(xx山東泰安)如圖,M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P是M上的任意一點(diǎn),PAPB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),則AB的最小值為(C)A.3B.4C.6D.8【解析】PAPB,APB=90,AO=BO,AB=2PO,若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,連接OM,交M于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí),OP取得最小值,過(guò)點(diǎn)M作MQx軸于點(diǎn)Q,則OQ=3,MQ=4,OM=5,又MP=2,OP=3,AB=2OP=6.7.(xx吉林)如圖,A,B,C,D是O上的四個(gè)點(diǎn),AB=BC,若AOB=58,則BDC=29.【解析】連接OC.AB=BC,AOB=BOC=58,BDC=12BOC=29.8.如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點(diǎn)D,且AB=8 cm,DC=2 cm,則OC=5 cm.【解析】連接OA,因?yàn)榘霃絆CAB于點(diǎn)D,所以AD=12AB=4 cm,設(shè)O的半徑為x cm,在RtOAD中,OA2=OD2+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,所以O(shè)C=5 cm.9.(xx湖北黃岡)如圖,ABC內(nèi)接于O,AB為O的直徑,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,則AC=23.【解析】連接BD.AB是直徑,C=D=90,CAB=60,AD平分CAB,DAB=30,AB=ADcos 30=43,AC=ABcos 60=23.10.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于O,點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn),連接OE,OF,分別與AB,BC交于點(diǎn)G,H,且EOF=90,有下列結(jié)論:AE=BF;OGH是等腰直角三角形;四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;GBH周長(zhǎng)的最小值為4-2.其中正確的是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)【解析】連接OA,OB,則有AOB=90,又EOF=90,所以AOE=BOF,所以AE=BF,故正確;連接OC,則OBG=OCH=45,OB=OC,BOG=COH,所以O(shè)BGOCH,所以O(shè)G=OH,OGH是等腰直角三角形,故正確;由OBGOCH,得S四邊形OGBH=SOBG+SOBH=SOCH+SOBH=SOBC=1442=4,所以四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而不變,故錯(cuò)誤;設(shè)BG=x,則BH=4-x,GH=BG2+BH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,由于BG+BH=x+4-x=4,所以GBH的周長(zhǎng)取最小值時(shí),只需GH取最小值,這時(shí)x=2,GH的最小值為22,所以GBH的周長(zhǎng)的最小值為4+22,故錯(cuò)誤.11.(8分)如圖,MN是O的直徑,MN=4,點(diǎn)A在O上,AMN=30,點(diǎn)B為AN的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).(1)利用尺規(guī)作圖,確定當(dāng)PA+PB最小時(shí)P點(diǎn)的位置;(不寫(xiě)作法,但要保留作圖痕跡)(2)求PA+PB的最小值.解:(1)如圖,點(diǎn)P即為所求.(2)如圖,連接OA,OA,OB.由(1)可得,PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng),AMN=30,AON=AON=2AMN=60.又點(diǎn)B為AN的中點(diǎn),BON=12AON=30,AOB=90.又MN=4,OB=OA=2.在RtAOB中,由勾股定理得AB=22+22=22.PA+PB的最小值是22.12.(8分)如圖,AB是半圓的直徑,O是圓心,C是半圓上一點(diǎn),D是弧AC中點(diǎn),OD交弦AC于點(diǎn)E,連接BE,若AC=8,DE=2.(1)求半圓的半徑長(zhǎng);(2)求BE的長(zhǎng)度.解:(1)設(shè)圓的半徑為r,D是弧AC的中點(diǎn),ODAC,AE=12AC=4,在RtAOE中,OA2=OE2+AE2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,即圓的半徑長(zhǎng)為5.(2)連接BC,AO=OB,AE=EC,BC=2OE=6,AB是半圓的直徑,ACB=90,BE=EC2+BC2=213.13.(10分)如圖,AB是O的直徑,C,D是O上的點(diǎn),且OCBD,AD分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F.(1)求證:CB平分ABD;(2)若AB=6,OF=1,求CE的長(zhǎng).解:(1)OCBD,C=DBC,OC=OD,C=OBC,OBC=DBC,CB平分ABD.(2)OFBD,OA=OB,OF為ABD的中位線,BD=2OF=2,AB是O的直徑,ADB=90,在RtABD中,AD=62-22=42,DF=22,而CF=OC-OF=3-1=2,CF=BD,在CEF和BDE中,CEF=DEB,CFE=BDE,CF=BD,CEFBED,DE=EF=2,在RtCEF中,CE=22+(2)2=6.14.(10分)如圖,點(diǎn)C為ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不在BAD上,且不與點(diǎn)B,D重合),ACB=ABD=45.(1)求證:BD是該外接圓的直徑;(2)連接CD,求證:2AC=BC+CD;(3)若ABC關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)圖形為ABM,連接DM,試探究DM2,MA2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解:(1)ADB=ACB=45,且ABD=45,ABD+ADB=90,BAD=90,BD是ABD外接圓的直徑.(2)如圖1,作AEAC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.EAC=BAD=90,EAB+BAC=DAC+BAC,EAB=DAC.由ACB=ABD=45,可得ACE與ABD是等腰直角三角形,AE=AC,AB=AD,ABEADC,CD=BE.在等腰RtACE中,由勾股定理,得CE=2AC.CE=BC+BE,2AC=BC+CD.(3)DM2=BM2+2MA2.證明:如圖2,延長(zhǎng)MB交圓于點(diǎn)F,連接AF,DF.BFA=ACB=BMA=45,MAF=90,MA=AF,MA2+AF2=2MA2=MF2.又AC=MA=AF,AC=AF,又AD=AB,CD=BF,DF=BC,DF=BC=BM.BD是直徑,BFD=90.在RtMDF中,由勾股定理,得DM2=DF2+MF2,DM2=BM2+2MA2.名師預(yù)測(cè)1.如圖,O中,OABC,AOC=50,則ADB的度數(shù)為(B)A.15B.25C.30D.50【解析】連接OB,OABC,AOC=50,AOB=AOC=50,則ADB=12AOB=25.2.如圖所示,O的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24,ONAB,垂足為N,則ON=(A)A.5B.7C.9D.11【解析】因?yàn)镺NAB,所以AN=12AB=1224=12,ANO=90.在RtAON中,由勾股定理得ON=OA2-AN2=132-122=5.3.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在O上,CB=CD,CAD=30,ACD=50,則ADB=70.【解析】CB=CD,CAD=30,CAD=CAB=30,DBC=DAC=30,ACD=50,ABD=50,ACB=ADB=180-CAB-ABC=180-50-30-30=70.4.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,過(guò)點(diǎn)C作CEAD交ABC的外接圓O于點(diǎn)E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接BE,若AD=365,sin EBC=2425,求O的半徑.解:(1)CEAD,ACE=CAD,B=AEC,B=D,AEC=D,EAC=ACD,AECD,四邊形AECD為平行四邊形.(2)作OHCE于點(diǎn)H,連接OE,OC,如圖,則EH=CH=12CE,CE=AD=365,EH=185,EOC=2EBC,EOH=COH,EOH=EBC,在RtEOH中,sin EOH=EHOE=2425,OE=2524185=154,即O的半徑為154.5.如圖,以ABC的一邊AB為直徑的半圓與AC,BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,且DE=BE.(1)試判斷ABC的形狀,并說(shuō)明理由;(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sin ABD的值.解:(1)ABC是等腰三角形.理由:DE=BE,EBD=EDB.AB是O的直徑,ADB=90.CDE+EDB=C+EBD=90.CDE=C.四邊形ABED內(nèi)接于O,CDE=CBA,C=CBA,AC=AB,ABC是等腰三角形.(2)CDE=C,CE=DE.DE=BE,DE=EB,CE=EB=12BC=1212=6.O的半徑是5,AC=AB=10.CDE=CBA,C=C,CDECBA,CDBC=CEAC,即CD12=610,解得CD=7.2.AD=AC-CD=10-7.2=2.8.在RtADB中,sin ABD=ADAB=2.810=725.6.如圖,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且DC=DE.(1)求證:A=AEB;(2)連接OE,交CD于點(diǎn)F,OECD,求證:ABE是等邊三角形.解:(1)四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,A+BCD=180.DCE+BCD=180,A=DCE.DC=DE,DCE=AEB.A=AEB.(2)A=AEB,ABE是等腰三角形.EOCD,CF=DF.EO是CD的垂直平分線.ED=EC.DC=DE,DC=DE=EC.DCE是等邊三角形.AEB=60.ABE是等邊三角形.7.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,EC=BC=DC.(1)若CBD=39,求BAD的度數(shù);(2)求證:1=2.解:(1)BC=DC,BC=DC.BAC=CAD=CBD.CBD=39,BAC=CAD=39.BAD=BAC+CAD=78.(2)EC=BC,CBE=CEB.CBE=1+CBD,CEB=2+BAC,1+CBD=2+BAC.又BAC=CBD,1=2.8.如圖,已知O是ABC的外接圓,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,AEBC,AE=BD.(1)求證:AD=CE;(2)如果點(diǎn)G在線段CD上(不與點(diǎn)D重合),且AG=AD,求證:四邊形AGCE是平行四邊形.解:(1)在O中,AB=AC,AB=AC,B=ACB.AEBC,EAC=ACB,B=EAC.又BD=AE,ABDCAE,AD=CE.(2)解法1:連接AO并延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)H,AB=AC,OA是半徑,AHBC,BH=CH.AD=AG,DH=HG,BH-DH=CH-GH,即BD=CG.BD=AE,CG=AE.又CGAE,四邊形AGCE是平行四邊形.解法2:ABDCAE,ACE=BAD,B=ACB,B+BAD=ACE+ACB,又B+BAD=ADC,ACE+ACB=BCE,BCE=ADC.AG=AD,ADC=AGB,AGB=BCE,AGCE,又CGAE,四邊形AGCE是平行四邊形.9.已知O上兩個(gè)定點(diǎn)A,B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,D,AC與BD交于點(diǎn)E.(1)如圖1,求證:EAEC=EBED;(2)如圖2,若AB=BC,AD是O的直徑,求證:ADAC=2BDBC;(3)如圖3,若ACBD,點(diǎn)O到AD的距離為2,求BC的長(zhǎng).解:(1)ABD=ACD,BAC=CDB,ABEDCE,EAED=EBEC,EAEC=EBED.(2)連接OB,OB=OD,DBO=BDO,又AB=BC,BAC=BCA=BDO=DBO,ABCDOB,ACBD=BCOB=2BCAD,ADAC=2BDBC.(3)作直徑AM,連接DM,過(guò)點(diǎn)O作OFAD,垂足為F,則F是AD的中點(diǎn),又O是AM的中點(diǎn),DM=2OF=4,ACBD,AM為直徑,ABD+BAC=AMD+MAD=90,又ABD=AMD,BAC=MAD,BC=DM=4.