習(xí)題課函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用課前篇自主預(yù)習(xí)課前篇自主預(yù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【問(wèn)題思考】 1.填空.(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)定義域上的概念,而函數(shù)的單調(diào)性是區(qū)間上的概念,因此在判定函數(shù)的單調(diào)性的時(shí)候,一定要指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,f(x)=x2n-1(nZ)型函數(shù)都是奇函數(shù);f(x)=x2n(nZ)型函數(shù)及常數(shù)函數(shù)都是偶函數(shù).(3)設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,則它們?cè)诠捕x域上,滿足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶.課前篇自主預(yù)習(xí)(4)若f(x)為奇函數(shù),且在區(qū)間a,b(ab)上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間-b,-a上是增(減)函數(shù);若f(x)為偶函數(shù),且在區(qū)間a,b(ab)上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間-b,-a上是減(增)函數(shù),即奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同;而偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反.(5)若f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0;若f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=f(|x|).課前篇自主預(yù)習(xí)2.做一做:(1)若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),則f(x)()A.在1,7上是增函數(shù)B.在-7,2上是增函數(shù)C.在-5,-3上是增函數(shù)D.在-3,3上是增函數(shù)(2)若奇函數(shù)f(x)滿足f(3)f(1),則下列各式中一定成立的是()A.f(-1)f(1)C.f(-2)f(3)D.f(-3)f(5)(3)定義在R上的偶函數(shù)f(x),對(duì)任意x1,x20,+)(x1x2),都有 0,則f(3),f(-2),f(1)按從小到大的順序排列為 .課前篇自主預(yù)習(xí)解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),所以m=1.所以f(x)=-x2+2,結(jié)合函數(shù)f(x)可知選C.(2)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(1),所以-f(-3)f(-1).(3)由已知條件可知f(x)在0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,f(3)f(2)f(1).再由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)f(-2)f(1).答案:(1)C(2)A(3)f(3)f(-2)0時(shí),f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)當(dāng)x0時(shí),f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.分析:(1)利用奇函數(shù)的定義求f(0);課前篇自主預(yù)習(xí)探究一探究二思想方法解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)當(dāng)x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x0.(3)函數(shù)f(x)在R上的解析式為反思感悟利用函數(shù)奇偶性求解析式的注意事項(xiàng)1.在哪個(gè)區(qū)間求解析式,就把“x”設(shè)在哪個(gè)區(qū)間;2.利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入;3.利用f(x)的奇偶性把f(-x)寫(xiě)成-f(x)或f(x),從而解出f(x);4.定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足f(0)=0.課前篇自主預(yù)習(xí)探究一探究二思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1本例中若把“奇函數(shù)”換成“偶函數(shù)”,求x0時(shí)f(x)的解析式.解:設(shè)x0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.f(x)是偶函數(shù),f(-x)=f(x).f(x)=-2x2-3x+1,xf(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函數(shù),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而23,且f(x)在0,+)內(nèi)為增函數(shù),f(2)f(3)f().f(-2)f(-3)f(3)f().又f(x)是R上的偶函數(shù),故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)f(-3)f().課前篇自主預(yù)習(xí)探究一探究二思想方法化歸思想在解抽象不等式中的應(yīng)用【典例】 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),且滿足下列條件:f(x)為奇函數(shù);f(x)在定義域上單調(diào)遞減;f(1-a)+f(1-a2)0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)0求實(shí)數(shù)a的取值范圍,應(yīng)利用函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性去掉“f”,建立關(guān)于a的不等式組求解.解:f(x)是奇函數(shù),f(1-a2)=-f(a2-1).f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a)-f(1-a2)f(1-a)f(a2-1).f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是單調(diào)遞減的,a的取值范圍為(0,1). 課前篇自主預(yù)習(xí)探究一探究二思想方法方法點(diǎn)睛1.本題的解答充分體現(xiàn)了化歸思想的作用,將抽象不等式借助函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成為具體不等式,問(wèn)題從而解決.2.當(dāng)然本題中還要注意以下化歸與計(jì)算等細(xì)節(jié)易錯(cuò)問(wèn)題:(1)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),將不等式f(1-a)+f(1-a2)0等價(jià)變形時(shí)出錯(cuò);(2)利用函數(shù)f(x)單調(diào)遞減去掉“f”,建立關(guān)于a的不等式組時(shí),因忽略函數(shù)f(x)的定義域出錯(cuò);(3)解錯(cuò)不等式(組)或表示a的取值范圍出錯(cuò).課前篇自主預(yù)習(xí)探究一探究二思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在區(qū)間(-,0)內(nèi)是減函數(shù),實(shí)數(shù)a滿足不等式f(3a2+a-3)f(3a2-2a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)是減函數(shù),f(x)的圖象在y軸左側(cè)遞減.又f(x)是奇函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,則在y軸右側(cè)同樣遞減.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,f(x)的圖象在R上遞減.f(3a2+a-3)3a2-2a,解得a1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+).課前篇自主預(yù)習(xí)123451.設(shè)f(x)是定義在-6,6上的偶函數(shù),且f(4)f(1),則下列各式一定成立的是()A.f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D課前篇自主預(yù)習(xí)123452.已知x0時(shí),f(x)=x-2 017,且知f(x)在定義域R上是奇函數(shù),則當(dāng)x0時(shí),f(x)的解析式是()A.f(x)=x+2 017B.f(x)=-x+2 017C.f(x)=-x-2 017D.f(x)=x-2 017解析:設(shè)x0,所以f(-x)=-x-2 017.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=x+2 017.故選A.答案:A課前篇自主預(yù)習(xí)123453.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)= .解析:f(-2)=(-2)5+a(-2)3+b(-2)-8=10,25+a23+2b=-18.f(2)=25+a23+2b-8=-26.答案:-26課前篇自主預(yù)習(xí)12345課前篇自主預(yù)習(xí)123455.已知奇函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范圍.解:f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a).f(x)為奇函數(shù),-f(4-2a)=f(2a-4).f(3a-10)2a-4.a6,即a的取值范圍為(6,+).