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應用舉例 第1課時　仰角、俯角與圓弧問題　[見B本P84] 1．身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加放風箏比賽，四人放出風箏的線長、線與地面的夾角如下表(假設風箏線是拉直的)，則四名同學所放的風箏中最高的是(　D　) 同學 甲 乙 丙 丁 放出風箏線長 140 m 100 m 95 m 90 m 線與地面夾角 30 45 45 60 A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁 【解析】 設風箏的線長、風箏高分別為l，h，線與地面的夾角為α，所以h＝lsinα，代入計算，比較大?。? 2．如圖28－2－9，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30，朝物體AB方向前進20米，到達點C，再次測得A點的仰角為60，則物體AB的高度為(　A　) A．10米 B．10米 C．20米 D.米 圖28－2－9 3．如圖28－2－10，在兩建筑物正中間有一旗桿，高15米，從A點經(jīng)過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60，又從A點測得D點的俯角β為30，若旗桿底G點為BC的中點，則矮建筑物的高CD為(　A　) A．20米 B．10米 C．15米 D．5米 圖28－2－10 4．如圖28－2－11，⊙O的半徑為4 cm，PA，PB是⊙O的兩條切線，∠APB＝60，則AP＝__4__cm__． 圖28－2－11 5．如圖28－2－12，在高度是21米的小山A處測得建筑物CD頂部C處的仰角為30，底部D處的俯角為45，則這個建筑物的高度CD＝__7＋21__米(結(jié)果可保留根號)． 圖28－2－12 6．如圖28－2－13，為測量江兩岸碼頭B，D之間的距離，從山坡上高度為50米的點A處測得碼頭B的俯角∠EAB為15，碼頭D的俯角∠EAD為45，點C在線段BD的延長線上，AC⊥BC，垂足為C，求碼頭B，D之間的距離(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin15≈0.26，cos15≈0.97，tan15≈0.27)． 圖28－2－13 解：∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45. 又∵AC⊥CD，∴CD＝AC＝50. ∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15. 又∵tan∠ABC＝，∴BC＝≈185.2， ∴BD＝BC－CD≈185.2－50≈135(米)． 答：碼頭B，D之間的距離約為135米． 圖28－2－14 7. 天封塔歷史悠久，是寧波著名的文化古跡．如圖28－2－14，從位于天封塔的觀測點C測得兩建筑物底部A，B的俯角分別為45和60，若此觀測點離地面的高度為51米，A，B兩點在CD的兩側(cè)，且點A，D，B在同一水平直線上，求A，B之間的距離(結(jié)果保留根號) 解：由題意得，∠ECA＝45，∠FCB＝60， ∵EF∥AB， ∴∠CAD＝∠ECA＝45，∠CBD＝∠FCB＝60， ∵∠ADC＝∠CDB＝90， 在Rt△CDB中，tan∠CBD＝， ∴BD＝＝17米， ∵AD＝CD＝51米， ∴AB＝AD＋BD＝51＋17. 答：A，B之間的距離為(51＋17)米． 8．如圖28－2－15，甲樓AB的高度為123 m，自甲樓樓頂A處，測得乙樓頂端C處的仰角為45，測得乙樓底部D處的俯角為30，求乙樓CD的高度(結(jié)果精確到0.1 m，取1.73)． 圖28－2－15 第8題答圖 解：如圖，過點A作AE⊥CD于點E，根據(jù)題意，∠CAE＝45，∠DAE＝30. 在Rt△ADE中，DE＝AB＝123，∠DAE＝30， ∴AE＝DE＝123. 在Rt△ACE中，由∠CAE＝45，得CE＝AE＝123， ∴CD＝CE＋DE＝123(＋1)≈335.8(m)． 答：乙樓CD的高度為335.8 m. 圖28－2－16 9. 如圖28－2－16，小明為了測量小山頂上的塔高，他在A處測得塔尖D的仰角為45，再沿AC方向前進73.2米到達山腳B處，測得塔尖D的仰角為60，塔底E的仰角為30，求塔高。(精確到0.1米，≈1.732) 解：∵ 在山腳B處測得塔尖D的仰角為60，塔底E的仰角為30。 ∴ ∠DBC ＝ 60，∠EBC＝ 30 ∴ ∠DBE ＝ ∠DBC－∠EBC＝60－30＝ 30 又∵ ∠BCD＝90 ∴ ∠BDC ＝ 90－∠DBC ＝ 90－60＝ 30 即 ∠BDE ＝ 30 ∴ ∠BDE ＝∠DBE，BE＝DE. 設EC＝x，則BE＝2EC＝2x，BC＝＝＝x DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x 又∵ 在A處測得塔尖D的仰角為45，AB＝73.2 ∴ △ACD為等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2 ∴ x＝3x－73.2，即1.732x＝3x－73.2，2.268x＝73.2，x≈32.3(米) 故塔高約為64.6米． 10．校車安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學數(shù)學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗(如圖28－2－17)：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道l上確定點D，使CD與l垂直，測得CD的長等于21米，在l上點D的同側(cè)取點A，B，使∠CAD＝30，∠CBD＝60. (1)求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41)； (2)已知本路段對校車限速為40千米/時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由． 圖28－2－17 解：(1)由題意得：在Rt△ADC中， AD＝＝＝21≈36.33. 在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11， 所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)． (2)校車從A到B用時2秒， 所以該車速度約為24.22＝12.1(米/秒)． 因為12.13 600＝43 560， 所以該車速度約為43.56千米/時，大于40千米/時， 所以此校車在AB路段超速． 圖28－2－18 11. 如圖28－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F. (1)求證：BD＝BF； (2)若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半徑． 解：(1)證明：連接OE.∵AC與⊙O相切于點E， ∴OE⊥AC.∴∠OEA＝90. ∵∠ACB＝90，∴∠OEA＝∠ACB，∴OE∥BC.∴∠OED＝∠F. ∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠F＝∠ODE，∴BD＝BF. (2)設BC＝3x，則AB＝5x，又CF＝1， ∴BF＝3x＋1， 由(1)知BD＝BF，∴BD＝3x＋1，∴OE＝，AO＝5x－＝. ∵OE∥BF.∴∠AOE＝∠B，∴＝， 即＝，解之，得：x＝. ∴⊙O的半徑為＝. 第2課時　方位角與坡度問題　[見A本P86] 1．如圖28－2－19，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長l為(　A　) A.　 B. 　C. 　D．hsinα 【解析】 ∵sinα＝，∴l(xiāng)＝. 圖28－2－19 圖28－2－20 2.河堤橫斷面如圖28－2－20所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1∶，則AB的長為(　A　)． A．12米　　　　　　 B．4米 C．5米 D．6米 圖28－2－21 3.如圖28－2－21是某水庫大壩橫斷面示意圖．其中AB，CD分別表示水庫上下底面的水平線，∠ABC＝120，BC的長是50 m，則水庫大壩的高度h是(　A　) A. 25 m B．25 m C. 25 m D. m 4．如圖28－2－22，小明同學在東西方向的沿江大道A處，測得江中燈塔P在北偏東60方向上，在A處正東400米的B處，測得江中燈塔在北偏東30方向上，則燈塔P到沿江大道的距離為__200__米． 【解析】 過P作PD⊥AB于D，在Rt△APD中， PD＝ADtan30，在Rt△BPD中， PD＝BDtan60， ∴(400＋BD)＝BD， ∴BD＝200米， ∴PD＝BD＝200米． 圖28－2－22 5．某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i＝1∶，壩外斜坡的坡度i＝1∶1，則兩個坡角的和為__75__．xx 【解析】 設兩個坡角分別為α、β，壩內(nèi)斜坡的坡度i＝1∶，即tanα＝＝，α＝30；壩外斜坡的坡度i＝1∶1，即tanβ＝＝1，β＝45，α＋β＝30＋45＝75. 圖28－2－23 6．一個長方體木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如圖28－2－23位置時，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ m，斜面坡角為30，求木箱端點E距地面AC的高度EF. 解：連結(jié)AE，在Rt△ABE中，已知AB＝3，BE＝， ∴AE＝＝2 又∵tan∠EAB＝＝， ∴∠EAB＝30 在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60， ∴EF＝AE sin∠EAF＝2sin60＝2＝3 答：木箱端點E距地面AC的高度是3 m. 圖28－2－24 7．某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線l(如圖28－2－24)．救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號．他立即沿AB方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙．乙馬上從C處入海，徑直向B處游去．甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處，再向B處游去，若CD＝40米，B處在C處的北偏東35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，那么誰先到達B處？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin55≈0.82，cos55≈0.57，tan55≈1.43)． 【解析】 在直角△CDB中，利用三角函數(shù)即可求得BC，BD的長，則可求得甲、乙到達B處所需的時間，比較二者之間的大小即可． 解：由題意得 ∠BCD＝55，∠BDC＝90， ∵tan∠BCD＝， ∴BD＝CDtan∠BCD＝40tan55≈57.2(米)． ∵cos∠BCD＝， ∴BC＝＝≈70.2(米)． ∴t甲＝＋10＝38.6(秒)，t乙＝＝35.1(秒)． ∴t甲>t乙． 答：乙先到達B處． 8．如圖28－2－25，學校校園內(nèi)有一小山坡AB，經(jīng)測量，坡角∠ABC＝30，斜坡AB長為12米，為方便學生行走，決定開挖小山坡，使斜坡BD的坡比改為1∶3(即CD與BC的長度之比)，A，D兩點處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度AD. 圖28－2－25 【解析】 在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求得BC，AC的長，然后在Rt△BCD中，利用坡比的定義求得CD的長，根據(jù)AD＝AC－CD即可求解． 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30， ∴AC＝AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12＝6. ∵斜坡BD的坡比是1∶3， ∴CD＝BC＝2，∴AD＝AC－CD＝6－2. 答：開挖后小山坡下降的高度AD為(6－2)米． 9．如圖28－2－26，一段河壩的橫斷面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD.(i＝CE∶ED，單位：m) 圖28－2－26 【解析】 作BF⊥AD于點F，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求得AF的長，在Rt△CED中，利用坡比的定義即可求得ED的長，進而即可求得AD的長． 解：如圖所示，過點B作BF⊥AD于點F，可得矩形BCEF， ∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4. 在Rt△ABF中，∠AFB＝90，AB＝5，BF＝4， 由勾股定理可得AF＝＝＝3. 又∵在Rt△CED中，i＝＝， ∴ED＝2CE＝24＝8. ∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)． 圖28－2－27 10．如圖28－2－27，C島位于我國南海A港口北偏東60方向，距A港口60海里處．我海監(jiān)船從A港口出發(fā)，自西向東航行至B處時，接上級命令趕赴C島執(zhí)行任務，此時C島在B處北偏西45的方向上，海監(jiān)船立刻改變航向以每小時60海里的速度沿BC行進，則從B處到達C島需要多少小時？ 解：過點C作CD⊥AB于點D，由題意，得∠CAD＝30，∠CBD＝ 45，∴CD＝ACsin∠CAD＝60＝30，∴BC＝＝60，∴t＝6060＝1(h) 答：從B處到達C島需要1小時． 圖28－2－28 11．釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理。如圖28－2－28，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A，B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．(結(jié)果保留根號) 解：作BD⊥AC于點D， 由題意可知，∠BAC＝45，∠ABC＝105， ∴∠ACB＝180－∠BAC－∠ABC＝ 30， 在Rt△ABD中， BD＝ABsin∠BAD＝20＝10(海里)， 在Rt△BCD中，BC＝＝＝ 20(海里)． 答：此時船C與船B的距離是20海里． 12．如圖28－2－29，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長江邊一處長600米，高10米，背水坡的坡角為45的防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶. ①求加固后壩底增加的寬度AF；(結(jié)果保留根號) ②求完成這項工程需要土石多少立方米？(≈1.732) 圖28－2－29 解：①過E作EM⊥BF于M，過D作DN⊥BF于N，則MN＝ DE＝2米，EM＝DN＝10米， 在Rt△AND中AN＝＝10米 ∵i＝＝，∴FM＝10米 ∴AF＝FM＋MN—AN＝(10—8)米 ②∵S梯形ADEF＝＝(50—30)米2 ∴完成這項工程需要土石為(50—30)600≈ 33 960米3.