2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理 (V) 注意事項(xiàng)： 1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。時(shí)量120分鐘，滿分150分。 2. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上。 3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 2． 設(shè)某中學(xué)的女生體重y（kg）與身高x（cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的線性回歸直線方程為，給出下列結(jié)論，則錯(cuò)誤的是 A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線至少經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一個(gè) C．若該中學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg D．回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn) 3. 用0,1，...,9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 A.243 B.252 C.261 D.279 4.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 A. 5 B. 10 C. 40 D. 5.下圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)框圖，其中菱形判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(　　) A． B． C． D． 6.設(shè)是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為 A． B． C． D． 7．若不等式組x+2y?3≤02x?y+4≥0y≥0表示的區(qū)域?yàn)棣福坏仁絰2+y2?2x?2y+1≤0表示的區(qū)域?yàn)門，則在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在區(qū)域T中的概率為（ ） A．π4 B．π8 C．π5 D．π10 8．下圖是正態(tài)分布N（0，1）的正態(tài)曲線圖，下面3個(gè)式子中，等于圖中陰影部分面積的個(gè)數(shù)為（ ）。注：ΦP ① ② ③ A．0 B．1 C．2 D．3 9．由“0”、“1”、“2” 組成的三位數(shù)碼組中，若用A表示“第二位數(shù)字為0”的事件，用B表示“第一位數(shù)字為0”的事件，則P（A|B）= A． B． C． D． 10．設(shè)f(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若，則 A．f(2)<f(e)ln2,2f(e)>f(e2) B．f(2)<f(e)ln2,2f(e)<f(e2) C．f(2)>f(e)ln2,2f(e)<f(e2) D．f(2)>f(e)ln2,2f(e)>f(e2) 第Ⅱ卷：本卷包括填空題與解答題兩部分。 二、填空題 13．已知，則 15．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)來估計(jì)的值．假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，那么可以估計(jì)___．（用分?jǐn)?shù)表示） 16．已知拋物線y2=2px(p>0)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線，過F任作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A，B分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點(diǎn)，給出下列命題：①AF⊥BF；②AM⊥BM；③AF∥BM；④AF與AM的交點(diǎn)在y軸上；⑤AB與AB交于原點(diǎn).其中真命題是__．（寫出所有真命題的序號(hào)） 三、解答題 17．（本題10分）在的展開式中，已知第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等． （1）求展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)； （2）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù) 18．（本題12分）一項(xiàng)研究機(jī)構(gòu)培育一種新型水稻品種， 首批培育幼苗xx株，株長(zhǎng)均介于185mm-235mm， 從中隨機(jī)抽取100株對(duì)株長(zhǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下頻率 分布直方圖。 （1） 求樣本平均株長(zhǎng)x和樣本方差S2（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū) 間的中點(diǎn)值代替）； （2） 假設(shè)幼苗的株長(zhǎng)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差S2，試估計(jì)xx株幼苗的株長(zhǎng)位于區(qū)間（201,219）的株數(shù)； （3）在第（2）問的條件下，選取株長(zhǎng)在區(qū)間（201，219）內(nèi)的幼苗進(jìn)入育種試驗(yàn)階段，若每株幼苗開花的概率為34，開花后結(jié)穗的概率為23，設(shè)最終結(jié)穗的幼苗株數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望.附：83≈9；若X：N(μ,σ2)，則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683； P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954；P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 19．（本題12分）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) （2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）。 P（ K2≥k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 20．（本題12分）如圖，在四棱錐M-ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，點(diǎn)F在線段DM上，且AF⊥MC． （1）證明： （2）若AB=2，DM=MC，且直線AF與平面MBC所成的角的余弦值為223，試確定點(diǎn)F的位置． 21． （本題12分）已知橢圓的焦點(diǎn)是,,點(diǎn)在橢圓上且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，. (i)求使 的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (ii)設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的值. 22．（本題12分） （1）函數(shù)的圖象能否與x軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a，若不能，請(qǐng)說明理由； （2）求最大的整數(shù)a，使得對(duì)任意 參考答案 1．D 2．B 【解析】 試題分析：A．∵0.85＞0，∴y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故正確； B．回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)，但不一定過樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一個(gè)，故錯(cuò)誤． C．∵回歸方程為，∴該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg，故正確； D．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，故正確； 故選：B． 考點(diǎn)：線性回歸方程． 3．B 【解析】 4．D 【解析】 試題分析：由題可知，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,故選D. 考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式 5. A 6．B 【解析】試題分析：由題意2c=|AB|，所以，由雙曲線的定義，有2a=|AC|?|BC|=2(3?1)c，所以a=(3?1)c，∴e=ca=13?1=3+12，故選B． 考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 7．D 【解析】 【分析】 作出不等式組x+2y-3≤02x-y+4≥0y≥0對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論． 【詳解】 作出不等式組x+2y-3≤02x-y+4≥0y≥0表示的區(qū)域Ω， 不等式x2+y2-2x-2y+1≤0化為x?12+y?12≤1 它表示的區(qū)域?yàn)門，如圖所示； 則區(qū)域Ω表示△ABC，由2x?y+4=0x?2y?3=0，解得點(diǎn)B?1，2； 又A?2，0，B（3，0），∴S△ABC=123+22=5， 又區(qū)域T表示圓，且圓心M1，1在直線x+2y?3=0上， 在△ABC內(nèi)的面積為12π12=π2； ∴所求的概率為P=π25=π10，故選D． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，利用數(shù)形結(jié)合求出對(duì)應(yīng)的面積是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 8．C 【解析】 試題分析：∵ΦP，∴圖中陰影部分面積，再根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知圖中陰影部分面積，故正確的個(gè)數(shù)為①③兩個(gè)，故選C 考點(diǎn)：本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì) 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 9．B 【解析】 試題分析： 10．B 令F(x)=f(x)lnx，則Fx=fxlnx-f(x)x(lnx)2>0成立，所以函數(shù)F(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增． 因?yàn)閑>2，所以fe>f(2)ln2，即f2<feln2;因?yàn)閑2>e，所以f(e2)2>fe，即2fe<fe2．故選B． 11．B 12．C 13．1 【解析】由(x+2)(x-1)4=a0+a1(x+1)+?+a5(x+1)5， 令x=0可得：2=a0+a1+…+a5； 令x=?2可得：0=a0?a1+a2+…?a5. 相減可得：2(a1+a3+a5)=2， 則a1+a3+a5=1. 14． 15． 【解析】由題意，200對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)，滿足，面積為1，兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)滿足且，區(qū)域面積 為，由已知，解得． 點(diǎn)睛：本題考查幾何概型，關(guān)鍵是構(gòu)造出樣本空間．對(duì)于實(shí)數(shù)對(duì)，我們把它作為平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，則樣本空間是平面上的以為頂點(diǎn)的正方形，其面積為1，而約束條件是，在平面上作出圖形，求出其面積，利用幾何概型概率公式可得概率，而估值法就是把題中的頻率看作是這個(gè)概率，從而建立等量關(guān)系，得到估值． 16．①②③④⑤ 【解析】因?yàn)锳，B在拋物線y2=2px上，由拋物線的定義，得AA=AF,BB=BF，又A，B分別為A，B在l上的射影，所以AF⊥BF，即①正確；取AB的中點(diǎn)N，則MN=12(AF+BF)=12AB，所以AM⊥BM，即②正確；由②得AM平分∠AAF，所以AF⊥AM，又因?yàn)锽M⊥AM，所以AF∥BM，即③正確；取AB⊥x軸，則四邊形AFMA為矩形，則AF與AM的交點(diǎn)在y軸上，且AB與AB交于原點(diǎn)，即④⑤正確；故填①②③④⑤. 點(diǎn)睛：要注意填空題的一些特殊解法的利用，可減少思維量和運(yùn)算量，如本題中的特殊位置法（取AB⊥x軸）. 17．（1）時(shí)，展開式中的系數(shù)最小，時(shí)，展開式中的系數(shù)最大（2）48 【解析】本試題主要考查了的運(yùn)用。 解：由已知得 …………………2分 （1）的通項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)最小，即為展開式中的系數(shù)最小的項(xiàng)；… 6分 當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)最大，即為展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng) （2） 展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 18．(1) x=210， S2=83 (2)1366(3)683 【解析】 【分析】 （1）使用加權(quán)平均數(shù)公式求x，再由方差公式求方差；（2）求出μ及σ的值，得到P(201<X<219)，乘以xx得答案；（3）求出每株幼苗最終結(jié)穗的概率，再由正態(tài)分布的期望公式求期望． 【詳解】 解(1) x=1900.02+2000.315+2100.35+2200.275+2300.04=210 S2=2020.02+1020.315+1020.275+2020.04=83 (2)由(I)知, μ=x=210,σ=83≈9, ∴P(201<X<219)=P(210-9<X<210+9)=0.683 xx0.683=1366 ∴xx株幼苗的株長(zhǎng)位于區(qū)間(201,219)的株數(shù)大約是1366. (3)由題意, 進(jìn)入育種試驗(yàn)階段的幼苗數(shù)1366,每株幼苗最終結(jié)穗的概率P=12, 則ξ-B(1366,12), 所以Eξ=136612=683 19析： （I）根據(jù)所給的頻率分布直方圖得出數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，再代入公式計(jì)算得出K2，與3.841比較即可得出結(jié)論； （II）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是，由于X∽B（3，），從而給出分布列，再由公式計(jì)算出期望與方差即可 解答： 解：（I）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得： K2==≈3.03， 因?yàn)?.03＜3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． （II）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率是0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是， 由題意X∽B（3，），從而分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E（X）=np=3=．D（X）=npq=3=． 20．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）F是DM的中點(diǎn)． 【解析】 【分析】 (Ⅰ)推導(dǎo)出AD⊥平面MCD，AD⊥MC，再由AF⊥MC，能證明MC⊥平面ADM． (Ⅱ)由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，從而MC=MD=2，過M作MO⊥CD，交CD于O，則MO⊥平面ABCD，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出F是DM的中點(diǎn)． 【詳解】 (Ⅰ)平面ABCD⊥平面MCD，平面ABCD∩平面MCD=CD， AD⊥CD，AD?平面ABCD， ∴AD⊥平面MCD， ∵M(jìn)C?平面MCD，∴AD⊥MC， 又AF⊥MC，AD∩AF=A， 由線面垂直的判定定理可得MC⊥平面ADM． (Ⅱ)由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，所以MC=MD=2， 過M作MO⊥CD，交CD于O， 因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面MCD，所以MO⊥平面ABCD， 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，M(0,1，1)， 設(shè)DF=λDM，(λ>0)，則F(0,λ,λ)， ∴AF=(-2,λ,λ)，BC=(-2,0，0)，BM=(-2,-1,1)， 設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量n=(x,y，z)， 則由BC?n=0BM?n=0，得-2x-y+z=0-2x=0，取y=1，得n=(0,1，1)， 設(shè)直線AF與平面MBC所成的角為θ，則cosθ=223， 所以sinθ=|AF?n||AF|?|n|=|2λ|2?4+λ2+λ2=13，(λ>0) 解得λ=12，即F是DM的中點(diǎn)． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了直線與平面垂直的判定與證明，以及直線與平面所成角的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題. 21.（Ⅰ）（Ⅱ）(i)符合條件的點(diǎn)有2個(gè)(ii) 【解析】（Ⅰ）∵> ∴點(diǎn)滿足的曲線的方程為橢圓 ∵ ∴ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …………4分 （Ⅱ）(i) ∵ 直線與橢圓的交點(diǎn)為， ∴, 若 ∴ ∵原點(diǎn)到直線的距離是 ∴在直線的右側(cè)有兩個(gè)符合條件的點(diǎn) 設(shè)直線與橢圓相切，則 有且只有一個(gè)交點(diǎn) ∴有且只有一個(gè)解 由解得（設(shè)負(fù)） 此時(shí)，與間距離為 ∴在直線的左側(cè)不存在符合條件的點(diǎn) ∴符合條件的點(diǎn)有2個(gè). ………………10分 (ii)設(shè)，則滿足方程： ∵ ∴ 即：，從而有 ∴. ……………14分 22．（1）不能（2）3 【解析】試題分析： （Ⅰ）假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象能與x軸相切．設(shè)切點(diǎn)為(t,0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于t的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結(jié)論．（Ⅱ）將不等式變形為fx1+x2+x1+x2>fx1-x2+x1-x2,設(shè)g(x)=f(x)+x，則問題等價(jià)于gx1+x2>gx1-x2對(duì)任意x1∈R,x2∈(0,+∞)恒成立，故只需函數(shù)gx=x-1ex-a2x2+x在R上單調(diào)遞增，因此g′(x)=xex?ax+1≥0在R上恒成立即可，由g′(1)=e?a+1≥0可得 a≤e+1，即為g′(x)≥0成立的必要條件，然后再證a=3時(shí)，xex?3x+1≥0即可得到結(jié)論． 試題解析： （Ⅰ）∵fx=x?1ex?a2x2， ∴． 假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)， 則有， 即． 顯然，將代入方程中可得． ∵， ∴方程無解． 故無論a取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切． （Ⅱ）由題意可得原不等式可化為， 故不等式在R上恒成立． 設(shè)，則上式等價(jià)于， 要使對(duì)任意恒成立， 只需函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴在上恒成立． 則，解得， ∴在上恒成立的必要條件是：． 下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立． 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，h(x)單調(diào)遞增． ∴，即． 則當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，，． ∴恒成立． 所以實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3． 點(diǎn)睛： （1）解決探索性問題時(shí)，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，若得到矛盾，則假設(shè)不成立；若得不到矛盾，則假設(shè)成立． （2）解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)gx，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx單調(diào)遞增的問題處理，然后轉(zhuǎn)化為g′(x)≥0恒成立，可求得實(shí)數(shù)a的值．