第四章因式分解1.因式分解的方法名稱提公因式法平方差公式完全平方公式公式ma+mb+mc=m(a+b+c)a2-b2=(a+b)(a-b)a22ab+b2=(ab)2項(xiàng)數(shù)最少兩項(xiàng)兩項(xiàng)三項(xiàng)適用條件有公因式平方差形式(1)兩項(xiàng).(2)每項(xiàng)都是平方的形式.(3)兩項(xiàng)符號(hào)相反完全平方形式(1)三項(xiàng).(2)兩項(xiàng)是平方的形式.(3)另一項(xiàng)是兩數(shù)乘積的二倍【例1】分解因式：2x2-6x=_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】?jī)身?xiàng)中都含有公因式2x，提取公因式2x得2x2-6x=2x(x-3).答案：2x(x-3)【例2】分解因式：4x2-1=_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1).答案：(2x+1)(2x-1)【例3】分解因式：(a+b)3-4(a+b)=_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】(a+b)3-4(a+b)=(a+b)(a+b)2-22=(a+b)(a+b+2)(a+b-2).答案：(a+b)(a+b+2)(a+b-2)【例4】分解因式：a3-10a2+25a=_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】a3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2.答案：a(a-5)2【例5】分解因式：(2a-b)2+8ab =_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】(2a-b)2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2.答案：(2a+b)21.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是()A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+42.分解因式：(x+3)2-(x+3)=_.3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4-4=_.4.因式分解：x3y2-x5=_.5.分解因式：-a3+a2b-14ab2=_.6.給出三個(gè)多項(xiàng)式12x2+x-1，12x2+3x+1，12x2-x，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.2.分解因式與整體代入求值(1)利用平方差公式分解因式，再整體代入求值通過(guò)對(duì)已知條件或?qū)λ蟠鷶?shù)式利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再整體代入求值.【例1】若m2-n2=6，且m-n=2，則m+n=_.【標(biāo)準(zhǔn)解答】m2-n2=(m+n)(m-n)=2(m+n)=6，m+n=3.答案：3(2)利用完全平方公式分解因式，再整體代入求值通過(guò)對(duì)已知條件利用完全平方公式分解因式，對(duì)所求代數(shù)式化簡(jiǎn)分解因式，找出已知條件與所求代數(shù)式之間的關(guān)系，然后整體代入求值.【例2】已知a2+2ab+b2=0，求代數(shù)式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.【標(biāo)準(zhǔn)解答】a2+2ab+b2=0，a+b=0，又a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b).原式=4b0=0.1.若m-n=2，m+n=5，則m2-n2的值為_(kāi).2.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.3.因式分解的解題技巧(1)通過(guò)加減變形，進(jìn)行因式分解分解某些多項(xiàng)式，有時(shí)需要加上并減去一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，從而在多項(xiàng)式的值保持不變的前提下達(dá)到因式分解的目的.【例1】分解因式：4a4+1.【標(biāo)準(zhǔn)解答】本題只需在原式中加上并減去4a2，即能運(yùn)用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解.原式=4a4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2=(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1).(2)通過(guò)拆項(xiàng)變形，進(jìn)行因式分解當(dāng)多項(xiàng)式的因式分解遇到困難時(shí)，有時(shí)也可考慮采用拆項(xiàng)的方法，將多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)進(jìn)行拆分，然后將新得到的多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)組合，同樣可以實(shí)現(xiàn)因式分解.【例2】分解因式：2x3+3x2-1.【標(biāo)準(zhǔn)解答】將3x2拆成2x2+x2，再將2x2與2x3組合，x2與-1組合，則能運(yùn)用提取公因式法與平方差公式進(jìn)行分解.原式=2x3+2x2+x2-1=(2x3+2x2)+(x2-1)=2x2(x+1)+(x+1)(x-1)=(x+1)(2x2+x-1).(3)通過(guò)換元變形，進(jìn)行因式分解當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)較高，且其中含有相同的多項(xiàng)式因子時(shí)，采用換元法就能降低原多項(xiàng)式的次數(shù)，從而簡(jiǎn)化因式分解操作.【例3】分解因式：(a2+2a)(a2+2a+4)+4.【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)y=a2+2a，則原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2，(a2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2.(4)由整式的乘法可知，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系可得，x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式.例如，將式子x2+3x+2分解因式，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)2=12，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2，因此這是一個(gè)符合x(chóng)2+(p+q)x+pq型的式子，利用這個(gè)關(guān)系可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).【例4】利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式.(1)x2+9x+20.(2)x2-7x+12.【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)x2+9x+20=(x+4)(x+5).(2)x2-7x+12=(x-3)(x-4).1.分解因式：(1)x2-7x-8.(2)x2+3x-18.(3)a2+7ab+12b2.(4)(a+b)2-5(a+b)-14.2.先閱讀以下材料，然后解答問(wèn)題.分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)；也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).以上分解因式的方法稱為分組分解法.請(qǐng)用分組分解法分解因式：a3-b3+a2b-ab2.3.觀察下列分解因式的過(guò)程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2，再減去a2)=(x+a)2-4a2(運(yùn)用完全平方公式)=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a).像上面這樣通過(guò)加減項(xiàng)配出完全平方式，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法.請(qǐng)你用配方法分解因式：x2-4xy+3y2.跟蹤訓(xùn)練答案解析1.因式分解的方法【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選D.根據(jù)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2可得，選項(xiàng)A，B，C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式，D選項(xiàng)x2+4x+4=(x+2)2.2.【解析】(x+3)2-(x+3)=(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2).答案：(x+3)(x+2)3.【解析】x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+2)(x-2).答案：(x2+2)(x+2)(x-2)4.【解析】x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x).答案：x3(y-x)(y+x)5.【解析】原式=-aa2-ab+14b2=-aa-12b2.答案：-aa-12b26.【解析】如：12x2+x-1+12x2+3x+1=12x2+12x2+(x+3x)+(-1+1)=x2+4x=x(x+4).又如：12x2+3x+1+12x2-x=x2+2x+1=(x+1)2.2.分解因式與整體代入求值【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】m2-n2=(m+n)(m-n)=52=10.答案：102.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.m+n=3，2(m+n)2-6=232-6=12.3.因式分解的解題技巧【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】(1)x2-7x-8=(x-8)(x+1).(2)x2+3x-18=(x+6)(x-3).(3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b).(4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2).2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2)=(a+b)2(a-b).3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y)+y(x-2y)-y=(x-y)(x-3y).