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2019-2020年中考專題復(fù)習(xí)：第二十講 多邊形與平行四邊形 【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】 考點(diǎn)一：多邊形內(nèi)角和、外角和公式 例1 （xx?梅州）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和小于其外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 思路分析：由于任何一個(gè)多邊形的外角和為360，由題意知此多邊形的內(nèi)角和小于360．又根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可知任何一個(gè)多邊形的內(nèi)角和必定是180的整數(shù)倍，則此多邊形的內(nèi)角和等于180．由此可以得出這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 解：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)題意得 （n-2）?180＜360 解之得n＜4． ∵n為正整數(shù)，且n≥3， ∴n=3． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件．本題既可用整式方程求解，也可用不等式確定范圍后求解． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（xx?長(zhǎng)沙）下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（　?。? A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形 1．A 考點(diǎn)二：平面圖形的密鋪 例2 （xx?漳州）用下列一種多邊形不能鋪滿地面的是（　?。? A．正方形 B．正十邊形 C．正六邊形 D．等邊三角形 思路分析：根據(jù)平面圖形鑲嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角．若能構(gòu)成360，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌；反之則不能，即可得出答案． 解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正方形，正六邊形，等邊三角形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案． ∴不能鋪滿地面的是正十邊形； 故選B． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面鑲嵌，用到的知識(shí)點(diǎn)是只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（xx?呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進(jìn)行平面鑲嵌的是（　?。? A．正十邊形 B．正八邊形 C．正六邊形 D．正五邊形 2．C 考點(diǎn)三：平行四邊形的性質(zhì) 例3 （xx?益陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　?。? A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD 思路分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形對(duì)邊平行以及對(duì)邊相等和對(duì)角相等分別判斷得出即可． 解：∵在平行四邊形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠2，故此選項(xiàng)正確，不合題意； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C選項(xiàng)正確，不合題意； 無法得出AC⊥BD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 例4 （xx?瀘州）如圖，已知?ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：AB=BE． 思路分析：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，證△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可． 證明：∵F是BC邊的中點(diǎn)， ∴BF=CF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC，AB∥CD， ∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E， ∵在△CDF和△BEF中 ， ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴BE=DC， ∵AB=DC， ∴AB=BE． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△CDF≌△BEF 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3．（xx?黔西南州）已知?ABCD中，∠A+∠C=200，則∠B的度數(shù)是（　　） A．100 B．160 C．80 D． 60 3．C 4．（xx?長(zhǎng)春）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別是AC、BC、BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，四邊形ADEF為平行四邊形．求證：AD=BF． 4．證明：∵四邊形ADEF為平行四邊形， ∴AD=EF，AD∥EF， ∴∠ACB=∠FEB， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∴∠FEB=∠B， ∴EF=BF， ∴AD=BF． 考點(diǎn)四：平行四邊形的判定 例5 （xx?荊門）四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD 從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（　　） A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 思路分析：根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可． 解：①②組合可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ③④組合可根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ①③可證明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ①④可證明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； 故選：B． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5．（xx?瀘州）四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC 5．D 【聚焦山東中考】 1．（xx?煙臺(tái)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720，那么原多邊形的邊數(shù)為（　?。? A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 1．D 2．（xx?泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長(zhǎng)為（　?。? A．2 B．4 C．4 D．8 2．B 3．（xx?萊蕪）正十二邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 150 ． 3．150 4．（xx?菏澤）如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，∠AEB=45，BD=2，將△ABC沿AC所在直線翻折180到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)B的落點(diǎn)記為B′，則DB′的長(zhǎng)為 ． 4． 5．（xx?萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形． 5．（1）證明：如圖，連結(jié)CE． ∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形，∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30． ∵∠DCB=150， ∴∠EDC+∠DCB=180． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180． ∴∠B=30． 在Rt△ACB中，sinB=，sin30==，AC=AB或AB=2AC． ∴當(dāng)AC=AB或AB=2AC時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形． 6．（xx?日照）如圖，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AC、CE，使AB=AC． （1）求證：△BAD≌△AEC； （2）若∠B=30，∠ADC=45，BD=10，求平行四邊形ABDE的面積． 6．解：（1）證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． 又∵四邊形ABDE是平行四邊形 ∴AE∥BD，AE=BD， ∴∠ACB=∠CAE=∠B， 在△DBA和△AEC中 ， ∴△DBA≌△AEC（SAS）； （2）解：如圖，過A作AG⊥BC，垂足為G． 設(shè)AG=x， 在Rt△AGD中，∵∠ADC=45， ∴AG=DG=x， 在Rt△AGB中，∵∠B=30， ∴BG=x， 又∵BD=10． ∴BG-DG=BD，即x-x=10， 解得AG=x==5+5， ∴S平行四邊形ABDE=BD?AG=10（5+5）=50+50． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（xx?資陽）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于36，那么它是（　?。? A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十 1．C 2．（xx?湛江）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540，則這個(gè)多邊形是（　?。? A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形 2．B 3．（xx?六盤水）下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（　?。? A．正三角形 B．正六邊形 C．正方形 D．正五邊形 3．D 4．（xx?襄陽）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB=5，△OCD的周長(zhǎng)為23，則平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和是（　?。? A．18 B．28 C．36 D．46 4．C 5．（xx?湘西州）如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接BE，并延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則△EDF與△BCF的周長(zhǎng)之比是（　?。? A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 5．A 6．（xx?云南）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論正確的是（　?。? A．S?ABCD=4S△AOB B．AC=BD C．AC⊥BD D．?ABCD是軸對(duì)稱圖形 6．A 7．（xx?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60，E在AB上，且AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（　?。? A．3：4 B．：2 C．：2 D．2： 7．D 二、填空題 8．（xx?無錫）六邊形的外角和等于 360 度． 8．360 9．（xx?遂寧）若一個(gè)多邊形內(nèi)角和等于1260，則該多邊形邊數(shù)是 9 ． 9．9 10．（xx?三明）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是 答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180或∠C+∠D=180等 ． 10．答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180或∠C+∠D=180等 11．（xx?樂山）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=45．直線l與邊AB，AD分別相交于點(diǎn)M，N，則∠1+∠2= 225 ． 11．225 12．（xx?江西）如圖，?ABCD與?DCFE的周長(zhǎng)相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數(shù)為 25 ． 12．25 13．（xx?安徽）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2，若S=2，則S1+S2= 8 ． 13．8 14．（xx?荊州）如圖，△ACE是以?ABCD的對(duì)角線AC為邊的等邊三角形，點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱．若E點(diǎn)的坐標(biāo)是（7，-3），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是 （5，0） ． 14．（5，0） 15．（xx?十堰）如圖，?ABCD中，∠ABC=60，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長(zhǎng)是 1 ． 15．1 三、解答題 16．（xx?大連）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE=DF． 16．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四邊形DEBF是平行四邊形， ∴BE=DF． 17．（xx?郴州）如圖，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形． 17．證明：∵BE∥DF， ∴∠BEC=∠DFA， 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴BE=DF， 又∵BE∥DF， ∴四邊形DEBF是平行四邊形． 18．（xx?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：△ABE≌△CDF． 18．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD， ∵AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴AE=CF，AF=CF， ∴BE=DE， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）． 19．（xx?鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． 求證： （1）△AFD≌△CEB； （2）四邊形ABCD是平行四邊形． 19．證明：（1）∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）． 20．（xx?臺(tái)州）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點(diǎn)G，連接DG，B′G． 求證：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． 20．證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，DC∥AB， ∴∠2=∠FEC， 由折疊得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2； （2）∵∠1=∠2， ∴EG=GF， ∵AB∥DC， ∴∠DEG=∠EGF， 由折疊得：EC′∥B′F， ∴∠B′FG=∠EGF， ∵DE=BF=B′F， ∴DE=B′F， ∴△DEG≌△B′FG， ∴DG=B′G． 21．（xx?重慶）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF、EG、AG，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE的長(zhǎng)； （2）求證：∠CEG=∠AGE． 21．（1）解：∵CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=4， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==； （2）證明：如圖，過G作GM⊥AE于M， ∵AE⊥BE， ∴GM∥BC∥AD， ∵在△DCF和△ECG中， ， ∴△DCF≌△ECG（AAS）， ∴CG=CF， ∵CE=CD，CE=2CF， ∴CD=2CG 即G為CD中點(diǎn)， ∵AD∥GM∥BC， ∴M為AE中點(diǎn)， ∵GM⊥AE， ∴AM=EM， ∴∠AGE=2∠MGE， ∵GM∥BC， ∴∠EGM=∠CEG， ∴∠CEG=∠AGE． 22．（xx?北京）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=BC，連接DE，CF． （1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60，求DE的長(zhǎng)． 22．（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC． ∵F是AD的中點(diǎn)， ∴DF=AD． 又∵CE=BC， ∴DF=CE，且DF∥CE， ∴四邊形CEDF是平行四邊形； （2）解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥BE于點(diǎn)H． 在?ABCD中，∵∠B=60， ∴∠DCE=60． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=2，DH=2． 在?CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1． ∴在Rt△DHE中，根據(jù)勾股定理知DE=． 23．（xx?蘭州）如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)． 23．（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)， ∴DO=DA， ∴∠DAO=∠DOA=30，∠EOA=90， ∴∠AEO=60， 又∵△OBC為等邊三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60， ∴BC∥AE， ∵∠BAO=∠COA=90， ∴CO∥AB， ∴四邊形ABCE是平行四邊形； （2）解：設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x， 在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90，∠AOB=30，BO=8， ∴AO=BO?cos30=8=4， 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， x2+（4）2=（8-x）2， 解得：x=1， ∴OG=1．