111平方根與立方根第1課時平方根學習目標1.從實際問題的需要出發(fā)，引進平方根概念，體現(xiàn)從實際到理論、具體到抽象這樣一個一般的認識過程，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點；2.從求二次冪的平方運算引出求平方根的運算，突出平方運算和開平方運算的互逆性；3.使學生理解數(shù)的平方根的概念，能運用根號表示一個數(shù)的平方根；4.掌握用平方運算求某些數(shù)的平方根的方法學習過程一、創(chuàng)設(shè)情境問題1 要剪出一塊面積為25 cm2的正方形紙片，紙片的邊長應是多少？問題2 已知圓的面積是16cm2，求圓的半徑長(學生探索，回答問題)二、探究歸納問題1解 設(shè)正方形紙片的邊長為xcm，依題意有：x225，求出滿足x225的x值，就可得正方形紙片的邊長因5225，(-5)225，故滿足x225的x的值可以是5，也可以是5，但正方形邊長只能取正值所以x5答 正方形紙片的邊長為5cm這個問題實質(zhì)上就是要找一個數(shù)，這個數(shù)的平方等于25問題2解 設(shè)圓的半徑為R cm，依題意有：R2=16，即R2=16，求出滿足R216的R的值即可求出圓的半徑因4216，(4)216，故滿足R216的R的值為4或4，但圓的半徑只能取正值所以數(shù)R4答 圓的半徑為4cm這個問題實質(zhì)上就是要找一個數(shù)，這個數(shù)的平方等于16剛才具體的二個例子，從數(shù)學意義上都是要解決這樣一個共同的問題：已知某數(shù)的平方，要求這個數(shù)用式子來表示就是如果x2a，求x的值概括 如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）在上述例1問題中，因為5225，所以5是25的一個平方根又因為(5)25225，所以5也是25的一個平方根這就是說，25的平方根有兩個：5與5在上述例2問題中，因為4216，所以4是16的一個平方根又因為(4)24216，所以4也是16的一個平方根這就是說，16的平方根有兩個： 4與4所以，根據(jù)平方根的意義，我們可以利用平方來檢驗或?qū)ふ乙粋€數(shù)的平方根三、實踐應用例1 求100的平方根解 因為102100，(-10)2100，除了10和10以外，任何數(shù)的平方都不等于100，所以100的平方根是10和10，也可以說，100的平方根是10.學生試一試：(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)4有沒有平方根？為什么？請學生也編三道求平方根的題目，并給出解答與同學交流，你發(fā)現(xiàn)了什么？1平方根的性質(zhì)：問 正數(shù)的平方根是什么？答 如果數(shù)是正數(shù)，它們都有兩個平方根，這些數(shù)的兩個平方根都分別是互為相反數(shù)問 0的平方根是什么？答 0的平方根是0，這是因為020由于任何不為零的數(shù)的平方都不等于零，所以零的平方根只有一個，它就是零本身問 負數(shù)有平方根嗎？為什么？答 負數(shù)沒有平方根由于正數(shù)、零和負數(shù)的平方都不是負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根請同學概括數(shù)的平方根的性質(zhì)答 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根2.一個非負數(shù)a的平方根的表示法當a0時，a的正的平方根用符號“”表示，其中a叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，a的負的平方根用符號“”表示，這兩個平方根合起來可以記作“”這里，符號“”，讀作“二次根號”，“”讀作“二次根號a”當根指數(shù)是2時，通常將這個2省略不寫，如記作，讀作“根號a”；記作，讀作“正負根號a”一般地，如果a(a0)，那么a的平方根可以表示為x=例如，9的平方根記作，讀作正負根號93.開平方求一個數(shù)a(a0)的平方根的運算，叫做開平方開平方運算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)平方與開平方互為逆運算一個數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)或者是0，它的平方數(shù)只有一個，正數(shù)或負數(shù)的平方都是正數(shù)，0的平方是0但一個正數(shù)的平方根卻有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的平方根是0負數(shù)沒有平方根因為平方與開平方互為逆運算，因此我們可以通過平方運算來求一個數(shù)的平方根，也可以通過平方運算來檢驗一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根例2 將下列各數(shù)開平方：(1)49， (2)1.69分析 開方運算就是求平方根，我們可以通過平方運算來解決解 (1)因為，所以49的平方根是，即(2) 因為，所以1.69的平方根是，即例3 下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，請說明理由(1)64；(2)0；(3)(4)2分析 因為只有正數(shù)和零才有平方根，所以首先應觀察所給出的數(shù)是否為正數(shù)或0解 (1)因為64是負數(shù)，所以64沒有平方根；(2)0有一個平方根，它是0；(3)因為，所以有兩個平方根，且四、交流反思1.一般地，如果a，那么叫做a的平方根(也叫a的二次方根)用表示當a0時a有兩個平方根，即，表示a的正的平方根，-表示a的負的平方根，它們互為相反數(shù)；當a0時，a有一個平方根，就是它本身；負數(shù)沒有平方根2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，平方和開平方運算有區(qū)別又有聯(lián)系區(qū)別在于，平方運算中，已知的是底數(shù)和指數(shù)，求的是冪；而在開平方運算中，已知的是指數(shù)和冪，求的是底數(shù)在平方運算中的底數(shù)可以是任意數(shù)，平方的結(jié)果是唯一的；在開平方運算中，被開方數(shù)必須是非負數(shù)，開平方的結(jié)果不一定是唯一的3.平方和開平方運算又有聯(lián)系，二者互為逆運算4.求一個數(shù)的平方根，可以通過平方運算來解決五、檢測反饋1.說出下列各數(shù)的平方根(1)64；(2)0.25；(3) 2.求下列各數(shù)的平方根(1)；(2) 0.36；(3) 3243. 平方根等于本身的數(shù)是 .4. 已知，y是的正的平方根，求代數(shù)式的值.答案：1. (1)8； (2) 0.5； (3) 2. (1) ；(2) 0.6；(3) 183. 04.x 2，y5，的值是.六、學習小結(jié)回憶一下：本節(jié)課你有什么收獲？1. 平方根、開平方的定義；2. 平方根的表示；3. 平方根的性質(zhì)；4. 求一個數(shù)的平方根.